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Figura 1
TEMA 9
MOVIMIENTO OSCILATORIO
1.- Vibraciones
Nos encontramos rodeados de objetos que tienen movimiento oscilatorio. Algunos ejemplos obvios son
el péndulo de un viejo reloj o la cuerda de una guitarra. Menos evidentes, pero no por ello menos importantes,
son los ejemplos del mundo microscópico: las vibraciones de las moléculas del aire que transportan una onda
sonora producida por las vibraciones de la cuerda de una guitarra es un buen ejemplo de ello. En este epígrafe
estudiaremos el movimiento vibratorio de algunos sistemas sencillos, partiendo de la idea de que cualquier
cuerpo que tenga una posición de equilibrio estable puede vibrar u oscilar alrededor de dicha posición. En un
tema anterior vimos que un cuerpo se encuentra en un punto de equilibrio estable cuando en él la fuerza neta
es cero y dicho punto corresponde a un mínimo de energía potencial.
1.1.- Movimiento armónico simple. Análisis dinámico y energético
En este subepígrafe veremos la forma más sencilla de oscilación, denominada movimiento armónico
simple. Este tipo de movimiento ocurre siempre que la fuerza recuperadora que actúa sobre una partícula
desplazada de su posición de equilibrio estable sea proporcional al desplazamiento.
Se dice que una partícula en movimiento a lo largo de un eje (el de abscisas, por ejemplo) tiene un
movimiento armónico simple cuando su desplazamiento respecto al equilibrio ( x ) varía con el tiempo en la
forma:
x = A cos(T t + N) [9.1]
donde A , T y N son constantes propias del movimiento. Para dar
significado físico a estas constantes, es conveniente dibujar la
gráfica de x frente a t (Figura 1). En primer lugar observamos
que A , llamada amplitud del movimiento, se corresponde con el
máximo desplazamiento de la partícula. La constante T se
denomina pulsación o frecuencia angular , y la definiremos
posteriormente en la ecuación [9.5]. El ángulo N se llama
constante de fase o fase inicial y junto con A queda unívoca-
mente determinado por el desplazamiento inicial y la velocidad
inicial: N indica el desplazamiento de la partícula y el sentido del
movimiento de la misma en el instante t 0 = 0. La cantidad (T t + N) se denomina fase del movimiento (de ahí
que a N se la llame fase inicial) y resulta muy útil al comparar el movimiento de dos partículas. Al
desplazamiento respecto de la posición de equilibrio ( x ) se le suele llamar elongación. Con estas consideracio-
nes, resulta obvio que un desplazamiento del tipo
x = A sen(T t + N) [9.2]
también corresponde a un movimiento armónico simple, ya que la diferencia entre un seno y un coseno es un
desfase de B/2 radianes. En efecto,
x = A sen(T t + N) = {cos("!B/2) = sen "} = A cos(T t + N!B/2) = { N!B/2 = N'} = A cos(T t +N')
ecuación que se corresponde con la [9.1] vista anteriormente.
La ecuación [9.1] es periódica, ya que x se repite cuando T t aumenta en 2B rad (es, pues, periódica de
período igual a 2B rad) con lo que el movimiento armónico simple es periódico en el tiempo, siendo su período
con lo que la frecuencia será
y la frecuencia angular :
La velocidad de la partícula la obtenemos derivando [9.1] con respecto al tiempo
Con lo que la aceleración será:
La ecuación [9.7] es la que caracteriza al movimiento armónico simple , hasta el punto de que nos
permite definirlo como aquél en el que la aceleración, en todo momento, es proporcional a la posición y de
signo opuesto. La constante de proporcionalidad es siempre el cuadrado de la frecuencia angular.
Puesto que los senos y los cosenos varían entre !1 y 1, las ecuaciones [9.6] y [9.7] nos indican que los
valores máximos de la velocidad y la aceleración son:
v xmax = ± A T [9.8] a xmax = ± A T
2 [9.9]
Como a x =! T 2 x , el valor máximo de la aceleración se alcanza en los extremos de la trayectoria ( x = ± A ),
siendo nula la aceleración en la posición de equilibrio ( x = 0), lo que resulta obvio por definición de equilibrio
y la segunda ley de Newton. De otra parte, puesto que en los extremos de la trayectoria el movimiento cambia
de sentido, la velocidad en ellos es nula. ¿Dónde se alcanza la velocidad máxima dada por la ecuación [9.8]?
Para ello, vamos a relacionar la velocidad con la posición.
Sumando miembro a miembro las ecuaciones [9.10] y [9.11]:
Es decir, la velocidad es máxima donde x 2 es mínimo ( x = 0): en el centro de la trayectoria.
(((( ))))
t 2 t T T [9.3]
[9.4]
f
2 f [9.5] T
( ) ( )
cos x sen^ [9.6]
dx^ d^ A^ t v A t dt dt
ω φ ω ω φ
( ) ( )
2 2 2 2
sen cos [9.7]
x x
d x dv^ d^ A^ t a A t x dt dt dt
ω ω φ ω ω φ ω
( ) ( )
2 2 2 cos cos [9.10]
x x A t t A
= ω + φ ⇒ ω + φ =
( ) ( )
2 2 2 2 sen sen [9.11]
v v A t t A
ω ω φ ω φ ω
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sen 1 [9.12]
x v t t v A x A A
ω φ ω φ ω ω
Figura 3
quier instante T t + N. La coordenada x del vector posición es la coordenada x del punto Q (proyección de P
sobre el diámetro) y vale
x = A cos( T t + N)
con lo que el punto Q describe, a lo largo del diámetro, un movimiento armónico simple mientras que la
partícula describe un movimiento circular uniforme por la circunferencia. Así pues, un movimiento armónico
simple a lo largo de un segmento puede representarse por la proyección sobre él de un movimiento circular de
diámetro igual al segmento (movimiento circular uniforme de radio A y velocidad angular T). Mediante un
argumento semejante, la proyección de la posición de la partícula sobre un diámetro perpendicular al anterior
se movería con un movimiento armónico simple dado por
y = A sen( T t + N)
con lo que podemos concluir que el movimiento circular uniforme es el resultado de componer dos movimientos
armónicos simples de igual frecuencia y amplitud.
Puesto que la velocidad lineal del móvil que describe el movimiento circular es v = T R = T A , la
coordenada x del vector velocidad lineal (Figura 3 b ) es! T A sen( T t + N), que es justamente la velocidad del
punto Q. Análogamente, la aceleración normal o centrípeta de la partícula es T 2 R = T 2 A y la coordenada x del
vector (Figura 3 c ) es! T
2 an A cos( T t + N).
Decíamos al principio de este movimiento que la causa dinámica del mismo es una fuerza recuperadora
proporcional al desplazamiento. En efecto, la fuerza causante de este movimiento es, según la Segunda ley de
Newton, la que comunica al móvil la aceleración dada por la ecuación [9.7], por lo que si la masa de la partícula
es m :
F x = m a x =! m T
2 x =! k x [9.17]
es decir, la fuerza no sólo es proporcional al desplazamiento sino contraria a él (de ahí el nombre de fuerza
recuperadora o restauradora). Si conocemos la fuerza que causa el movimiento, es decir, si conocemos el valor
de k , la frecuencia angular será (Ecuación [9.17])
2 [9.18]
k m k m
ω = ⇒ ω=
Figura 4
y el período
Un ejemplo típico de fuerza que verifique la ecuación [9.17] es la fuerza recuperadora de un resorte, por
lo que un objeto unido a un resorte puede describir un movimiento vibratorio armónico simple. La energía
cinética del objeto de masa m en cualquier instante en que la elongación sea x , es:
E C = ½ mv 2 = { v 2 = T 2 ( A 2 ! x 2 )} = ½ m T 2 ( A 2 ! x 2 )
Puesto que m T 2 = k , la ecuación anterior puede escribirse
E C = ½ k ( A
2 ! x
2 ) [9.20]
Por otra parte, la energía potencial de la masa se corresponde con la energía potencial elástica que según
vimos en un tema anterior, es
U = ½ k x
2 [9.21]
por lo que la energía mecánica del sistema masa-resorte es
Es decir, la energía de un oscilador armónico es constante y directamente proporcional al cuadrado de
la amplitud.
1.2.- El péndulo
El péndulo, de los que hay varios tipos, es otro ejemplo de sistema mecánico que describe un movimiento
periódico oscilatorio. En este subepígrafe estudiaremos 3 tipos de péndulo: el simple, el físico y el de torsión.
a) Péndulo simple
El péndulo simple (también llamado matemático o ideal ) está
constituido por una partícula unida a una cuerda, inextensible y de
masa despreciable, de longitud R fija por el otro extremo (Figura 4). Si
separamos la partícula un ángulo 2 de la posición de equilibrio, la
fuerza neta que actúa sobre la partícula es P t, la cual provocará una
aceleración en su dirección y sentido.
P t = m a t
En la ecuación anterior, P t =! mg sen 2 y
2 2 a t = d s dt
El signo menos se debe al hecho de que la componente P t siempre se encuentra dirigida hacia s = 0 (ó
2 = 0), en sentido opuesto al desplazamiento ( s se mide a lo largo del arco, respecto a la posición de equilibrio
estable).
Así pues, tendremos:
2 [9.19]
m T k
π π ω
1 2 2 E = EC + U = kA [9.22]
2 2
2 2 t t^ sen^ sen^ [9.23]
d s d s P ma mg m g dt dt
= ⇒ θ= − ⇒ θ= −
2
2 sen
d I mgd I dt
Figura 6
con lo que para pequeños desplazamientos (sen 2. 2 ),
y, en consecuencia, el movimiento que describe el sólido rígido es armónico simple. Por tanto,
Si recordamos que el momento de inercia de un sólido rígido con respecto a un eje es igual a su masa por
el cuadrado de su radio de giro respecto de ese eje ( I = m k
2 ), la ecuación [9.31] se puede escribir
La cantidad k
2 / d = I / md se denomina longitud reducida o equivalente: representa la longitud de un péndulo
simple del mismo período que el péndulo físico.
c) Péndulo de torsión (Opcional)
En la figura 6 se muestra un sólido rígido suspendido de un hilo o de un
alambre sujeto en la parte superior a un soporte fijo. Cuando el cuerpo gire un
ángulo pequeño 2 , el hilo torcido ejerce un momento de restitución sobre el
cuerpo que es proporcional al desplazamiento angular. Es decir, J =! 6 2 ,
donde 6 (letra griega kappa) se conoce con el nombre de constante de torsión
del hilo (para signo ver péndulo físico). Aplicando la ecuación fundamental
de la dinámica de rotación,
Una vez más, el movimiento es armónico simple de frecuencia angular y período,
2.- El oscilador amortiguado
Hasta ahora no hemos considerado la posibilidad de existencia de fuerzas de rozamiento en el movimiento
oscilatorio. Esto es, considerábamos que el movimiento oscilatorio era indefinido. Con esta simplificación este
sistema era lo que conocemos con el nombre de oscilador ideal.
Sin embargo, los sistemas oscilantes reales sí están sometidos a fuerzas de rozamiento que disipan energía
provocando una disminución de la amplitud de las oscilaciones y finalmente su extinción. Decimos que el
2
2
[9.29]
d mgd
dt I
[9.30] * 2 [9.31]
mgd I T I mgd
2
2 [9.31 ]
k T bis gd
2 2
2 2
[9.32]
d d I dt dt I
[9.33] * 2 [9.34]
I
T
I
movimiento oscilatorio se amortigua, y por eso se denomina movimiento oscilatorio amortiguado.
Un tipo común de fuerzas de rozamiento son aquéllas que son proporcionales a la velocidad y de sentido
contrario a ella. Esto es:
donde el coeficiente de proporcionalidad b se denomina constante de amortiguamiento o coeficiente de
amortiguamiento , y cuya unidad en el S.I. es el kg/s.
Por tanto, consideraremos un objeto de masa m sometido a una fuerza recuperadora del tipo F = !k x,
sobre el que también existe una fuerza de rozamiento como la de la ecuación [9.35]. Si aplicamos la segunda
ley de Newton a dicho objeto obtendremos:
donde hemos omitido los vectores al considerar el movimiento unidimensional.
Dividiendo la ecuación [9.36] entre la masa del objeto, considerando las expresiones de la velocidad y
de la aceleración en función de la posición y reagrupando, llegamos a:
en donde hemos tenido en cuenta que , siendo la frecuencia angular de las oscilaciones ideales,
2
ω 0 = k m ω 0
es decir la frecuencia angular que tendría el objeto en ausencia de rozamiento, también llamada frecuencia
natural de oscilación del sistema.
La ecuación [9.37] es una ecuación diferencial de segundo grado, cuya resolución nos conduce a la
expresión de la posición en función del tiempo.
¿Cómo se obtiene la solución de la ecuación [9.37]?
En primer lugar debemos obtener las raíces de dicha ecuación, asumiendo que ,
2 2 2 d x dt ≡ y
dx dt ≡ y ,. Por tanto, la ecuación de segundo grado cuyas raíces debemos obtener será:
0 x ≡ y = 1
Dichas raíces serán:
siendo (= b /2 m el denominado parámetro de amortiguamiento , cuya unidad en el S.I. es el s ! 1 .
Una vez obtenidas estas raíces, que denominaremos r 1 y r 2 , la solución genérica que se obtiene para la
ecuación diferencial [9.37] es de la forma:
Para interpretar esta solución resulta conveniente distinguir tres casos diferentes, que dependen de la
relación existente entre ( y T 0.
FR = − bv [9.35]
− k x − bv = ma [9.36]
2 2 2 0 0 [9.37]
d x b dx x dt m dt
2 2 0 0
b y y m
2 2 0 2 2 2 2 0 0
[9.38]
b b
m m b b
m m
1 2 1 2 [9.39]
r t r t x = A e + A e
estar sobreamortiguado, lo que suele aprovecharse para diseñar distintos dispositivos, como galvanómetros,
amortiguadores, etc.
2.1.- Energía del oscilador amortiguado
Estudiaremos sólo el caso en que el sistema realiza oscilaciones amortiguadas. Comprobaremos en primer
lugar el ritmo al que dicho oscilador pierde energía.
La energía mecánica del sistema oscilante será la suma de su energía cinética y la potencial elástica.
Seguidamente obtenemos el ritmo de variación de esta energía mecánica derivándola respecto del tiempo.
En la ecuación característica del movimiento oscilatorio amortiguado, expresión [9.36], podemos
comprobar que el paréntesis de [9.45] se corresponde con el término! bv. Por tanto, llegamos a:
La expresión [9.46] nos indica que el sistema está perdiendo energía (signo negativo) a un ritmo
directamente proporcional al cuadrado de su velocidad.
Ahora determinaremos la energía mecánica que tiene el oscilador amortiguado que lógicamente dependerá
del tiempo. Para ello partiremos de una expresión de la posición similar a la dada por [9.40].
El hecho de que en esta expresión aparezca una función seno o coseno es indiferente, y sólo afectará a
la determinación del valor de la fase inicial N, que en este caso hemos supuesto nula.
Debemos obtener también la expresión de la velocidad, basándonos en la expresión anterior de la
posición. Así, tendremos:
Sustituyendo las expresiones [9.47] y [9.48] en la [9.44], obtenemos la energía mecánica del oscilador
amortiguado en función del tiempo. Realizando las operaciones oportunas llegamos a la siguiente expresión:
Como es lógico la energía mecánica varía sinusoidalmente con el tiempo. No obstante, no suele
interesarnos la energía que el oscilador tiene de forma instantánea porque su frecuencia de variación puede
llegar a impedir su medida por medio de aparatos. Por eso, lo que se suele medir es un promedio de esa energía.
En el caso de variaciones periódicas de una magnitud, se utiliza un tiempo igual a un periodo para determinar
su valor medio. Si obtenemos el valor medio de la energía mecánica en un periodo, que simbolizaremos por
1 2 1 2 2 2 E = mv + kx [9.44]
( )
2 2 [9.45]
dE dv dx m v k x mva kxv v ma kx dt dt dt
( ) { }
2 [9.46]
dE v ma kx ma kx bv bv dt
0 sen [9.47]
t A x A e t
γ ω
−
0 (^ sen^ cos^ ) [9.48]
t A A A
dx v A e t t dt
γ
− = = − +
2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 (^2 0 02 2 ) 0 0 0
sen cos sen2 [9.49]
t (^) A A E m A e (^) A t (^) A t (^) At
γ^ ω^ γ ω γω ω ω ω ω ω ω ω
−
^
2 Decimos entonces que las oscilaciones son forzadas por dicha fuerza externa.
E , considerando que el amortiguamiento es pequeño, esto es ( T <<1, lo que nos permite extraer el término
anterior al paréntesis de [9.49] de la evaluación del promedio, porque variará muy poco en un periodo y
consecuentemente obtendremos una razonable aproximación, tendremos:
donde hemos tenido en cuenta que el promedio, en un periodo, de una función seno es cero, y los promedios
tanto de la función seno cuadrado como coseno cuadrado son igual a ½. Se ha incluido el hecho de que
, que y , que es la energía inicial del oscilador amortiguado.
2 m ω (^) 0 = k
2 2 2 ω (^) A = ω 0 − γ
2 kA 0 (^) 2 = E 0
Comparando las expresiones [9.41] y [9.50] podemos comprobar que la energía del oscilador amortiguado
disminuye más rápidamente que su amplitud, debido al factor 2 adicional que aparece en su exponencial
decreciente.
3.- El oscilador forzado
Hemos comprobado que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la
fuerza disipativa que actúa inevitablemente en los osciladores reales. Por tanto, si queremos mantener las
oscilaciones tenemos que compensar esa pérdida de energía aplicando una fuerza externa , a la que
denominaremos fuerza impulsora , que realice trabajo motor (positivo) sobre el sistema 2
. Como ejemplo una
persona en un columpio puede mantenerse en movimiento mediante impulsos sincronizados de forma apropiada.
La amplitud del movimiento se mantendrá constante si la entrada de energía en cada ciclo iguala exactamente
a la disipada debido a la fricción.
Ahora tendremos actuando sobre el sistema la fuerza recuperadora, la fuerza de fricción y la fuerza
impulsora. Por tanto, aplicando la segunda ley de Newton, obtendremos:
Si queremos mantener las oscilaciones lo habitual es utilizar una fuerza impulsora de tipo sinusoidal. Así
que si usamos una fuerza del tipo (^) ( ) , donde F 0 es su valor máximo, la ecuación [9.51] quedará, 0 F t = F sen ω t
considerando las relaciones entre la velocidad y aceleración con la posición y después de ser reorganizada, en
la forma:
Nótese que T es la frecuencia angular de la fuerza impulsora, en tanto que T 0 es la frecuencia angular
natural del sistema. Volveremos a considerar solamente el caso en que el amortiguamiento es pequeño, es decir
( < T 0. Parece lógico pensar que el sistema no oscilará ni con su frecuencia natural ni con la frecuencia de las
oscilaciones amortiguadas, sino que se verá forzado a oscilar con la frecuencia angular de la fuerza impulsora.
La solución general de la ecuación [9.52] consta de dos sumandos.
x El primer sumando, xh , es la solución de la ecuación homogénea. Esto es, la ecuación [9.52] pero con
2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0
[9.50]
t (^) A t t E m A e kA e E e
γ^ ω^ γ^ ω γ γ ω ω ω
− ^ + − −
− kx − bv + F t ( ) = ma [9.51]
2 2 0 2 0 sen^ [9.52]
d x b dx F x t dt m dt m
x = xh + xp [9.53]
en movimiento.
Ahora obtendremos la potencia que suministra la fuerza impulsora, en función del tiempo, en el
movimiento oscilatorio forzado, una vez alcanzado el régimen estacionario. Para ello, partiremos de la expresión
de la posición dada por [9.54].
siendo * = 2 !B/2. De esta forma, 2 y * serán los correspondientes desfases entre la posición y la velocidad,
respectivamente, con la fuerza impulsora.
La potencia que proporciona la fuerza impulsora será:
Teniendo en cuenta que sen (^) ( ω t − δ (^) )= sen ω t cos δ − cos ω t senδ y ,
1 sen ω t cos ω t = 2 sen 2ω t
sustituyendo en la expresión anterior, y reorganizando los términos obtenemos:
La potencia es una magnitud que varía sinusoidalmente con el tiempo. Nuevamente lo que nos interesa
es el valor promedio de potencia suministrada. Por ello promediamos en un periodo, al ser una magnitud
periódica. Recordamos que el promedio en un periodo de la función seno es cero, y de la función seno cuadrado
es ½. Sustituyendo en [9.61], obtenemos para la potencia promedio suministrada por la fuerza impulsora:
Al término cos * se le denomina factor de potencia.
3.2.- Resonancia
L Resonancia en transferencia de potencia
Cuando en un movimiento oscilatorio forzado la fuerza impulsora suministra la máxima potencia al
oscilador se dice que el oscilador y la fuerza impulsora se encuentran en resonancia en transferencia de
potencia. En nuestro caso, puede comprobarse, a partir de la expresión [9.62], que esto ocurre cuando cos *=1,
o lo que es igual, si * = 0, lo que equivale a decir que 2 = B/2, y por tanto tg 264. Finalmente, a partir de la
expresión [9.55] de 2 que vimos anteriormente concluimos que
Es decir, la frecuencia de resonancia en transferencia de potencia coincide con la frecuencia natural del
oscilador.
L Resonancia en amplitud
Cuando en un movimiento oscilatorio forzado la fuerza impulsora suministra la máxima amplitud al
oscilador se dice que el oscilador y la fuerza impulsora se encuentran en resonancia en amplitud.
Partiendo de la expresión de G , se conseguirá su valor máximo cuando dG 0. d ω
x = G sen ( ω t −θ)
cos (^) ( ) sen (^) ( ) sen (^) ( ) [9.59] 2
dx v G t G t G t dt
P = Fv = F 0 (^) ( sen ω t (^) ) ω G sen (^) ( ω t −δ) [9.60]
( )
(^2 ) P = F 0 (^) ω G cos δ sen ω t − 2 sen δ sen 2ω t [9.61]
1 P = 2 F 0 ω G cos δ [9.62]
ω res Energía =ω 0 [9.63]
Si realizamos dicha derivada, comprobamos que existe un valor de T que, efectivamente, conduce a un
valor máximo de la amplitud de la oscilación. Dicho valor viene dado por:
Obsérvese que, en este caso, la frecuencia
de resonancia variará con el parámetro de amor-
tiguamiento, algo que no sucedía en el apartado
anterior. Además, podemos concluir que si el
amortiguamiento es muy pequeño la frecuencia
de resonancia en amplitud puede ser muy pareci-
da a la frecuencia de resonancia en transferencia
de potencia. De hecho son iguales cuando ( 6 0.
Esto puede comprobarse en la figura 9 donde
tenemos la representación gráfica de la amplitud
del movimiento oscilatorio forzado en función
de la frecuencia angular de la fuerza impulsora,
para diferentes constantes de amortiguamiento.
4.- APÉNDICE
L Obtención de G y 2 en un movimiento oscilatorio forzado
Sustituyendo en la ecuación [9.52], tenemos:
operamos, y desarrollamos los senos y cosenos
sacamos ahora factor común el seno y el coseno de T t , respectivamente
2 2 res Ampl 0 ω = ω − 2 γ [9.64]
ω 0
b = 0
b = 4.
b = 2.4 b^ = 1.
b = 0.
b = 0.
G
ω Figura 9
2 2 0 2 0 sen^ [9.52]
d x b dx F x t dt m dt m
x t ( (^) ) = G sen (^) ( ω t −θ) [9.54]
( ) ( )
2 2 2
cos * sen
dx d x
G t G t
dt dt
( ) ( ) ( )
(^2 2 ) 0 sen cos sen sen
b^ F G t G t G t t m m
( ) ( )
( )
0 2
2 0
sen sen cos sen cos cos cos sen sen
sen cos sen cos 0
F (^) bG t G t t t t m m
G t t
ω ω ω ω θ θ ω ω θ ω θ
ω ω θ θ ω
( ) ( )
0 2 2 2 2 0 cos^ sen^ sen^0 sen^ cos^ cos^0
F bG bG G t G t m m m
ω ω ω ω θ θ ω ω ω θ θ ω
