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1.Vectores
Puntos. Se denotan por letras mayúsculas (dan una coordenada). Vectores. Se denotan por letras en minúsculas negritas o letras con una flechita horizontal encima. Números reales. (Escalares) letras minúsculas cursivas. α, β, θ. Traslación. de v a P = P + v 1.1. Operaciones Básicas a) Igualdad. Todas las componentes de los vectores tienen que ser respectivamente iguales. b) Suma y resta [mediante descomposición de vectores]
- Suma. Suma respectiva de componentes. (gráficamente: una bisectriz en el ángulo)
- Resta. Resta respectiva de componentes. (gráficamente: cierra un triángulo) Ejm: v-w la punta estará del lado del "v" y la cola en "w" c) Vector Desplazamiento: EJM: vector PQ o de P a Q = Q - P = (q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3) Ejm: OR = OP + PQ + QR [Cuadrilátero trapezoide] d) Paralelogramos. PS = PQ + PR [Suma de vectores] Resolución: suma de vectores (resultante) S = Q - P + R - P + P = Q + R - P. e) Multiplicación por un escalar. multiplicación a cada componente del vector. k > 1 el vector aumenta 0 < k < 1 el vector disminuye Ejm 1.7 Sist. de ecuaciones Ejm 1. f) Vectores Unitarios i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1) EJM: (a,b,c) = a iˆ+b jˆ+c kˆ g) Combinación Lineal de 2 o más vectores
1.2. Propiedades de los vectores TEOREMA: Propiedades (en la suma) de vectores
Si v,w,u ∈ Rn^ y α,β ∈ R entonces,
1.) Conmutatividad: v+w = w+v 2.) Asociatividad: u+(v+w) = (u+v)+w 3.) Elemento neutro: v+0 = v 4.) Inversos: v+ −v = 0 5.) 1v = v 6.) αβv = α(βv) 7.) α(v+w) = αv+αw 8.) (α+β) v = αv+βv 1.3. Producto punto y norma a) Producto de punto o interior [v.w]. (Producto Escalar)
(Es la sumatoria de los productos respectivos entre las componentes)
TEOREMA: Propiedades del producto punto Nota: No hay propiedad asociativa pues “v ·(w·u)” no tiene sentido dado que w·u es un número real.
Observación: Paralelismo y perpendicularidad. c) Cosenos directores de un vector Son las componentes de un vector unitario. (Las componentes sobre el módulo del vector). donde α, β, γ son los ángulos directores de w α: ángulo entre OP y la parte positiva del eje X β: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Y γ: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Z Observe que, en este caso, si w es unitario, entonces w = (cosα, cosβ, cosγ). 1.5. Proyección Ortogonal (Da como resultado la Normal). a) Proyección Ortogonal de v sobre w La proyección ortogonal de v sobre sobre w = “El producto punto de los 2 vectores, sobre el cuadrado del módulo del vector base y todo eso multiplicado por el vector base”.
1.6. Producto Cruz en R^3 [o Producto Vectorial] {EXCLUSIVO PARA R^3 }
El producto cruz entre dos vectores u, v ∈ R^3 , es un vector que es simúltaneamente
perpendicular a cada uno de los vectores. Se usa la notación u × v para este producto. Un recurso nemotécnico es ver la fórmula como la multiplicación de las diagonales de un arreglo 3×3 (el determinante de una matriz). En los productos de las diagonales que van de izquierda a derecha, se les debe cambiar el signo. Ejm 1.40.
la recta).
- 1 vector director (a,b,c) el cual puede ser paralelo. Con estos elementos, podremos formar la ecuación de la recta. Ecuaciones Simétricas: Ecuación de la recta: Ecuaciones paramétricas Ecuaciones Simétricas:
Si los números directores (a, b, c) = ( v 1 , v 2 , v 3 ) son todos distintos de cero se puede eliminar el
parámetro t, con lo que se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta. 2.1. (Rectas) IMPORTANTE a) Recta que pasa por 2 puntos [Otro modo es formar la ecuación sólo con 2 puntos]: Cuando tengamos 2 puntos, originamos el vector a partir de la resta
de esos 2 puntos. Ejm: Q – P = ( a , b , c ). Y así ya tenemos nuestro
vector director [El punto de paso sería P = ( x 0 , y 0 , z 0 )].
b) Punto Medio. c) Ángulo, paralelismo y perpendicularidad (Entre rectas) “Dos rectas serán paralelas o perpendiculares, si y solo si sus vectores directores también lo son.” d) Intersección. [Los planos se nombrarán con el símbolo π (pi)]
necesitamos calcular el vector que va desde el punto de paso P 0
hasta el punto que te piden (Q), luego lo multiplicamos vectorialmente con el vector director. Para posteriormente sacarle el módulo y luego dividirlo entre el módulo del vector director.”
3. El Plano
Un plano en el espacio queda bien determinado si se conoce su punto de
paso P 0 y un vector (N) perpendicular al plano, llamado vector normal al
plano. El cual se obtiene del producto cruz. Para formar un plano necesitamos 3 elementos:
- 1 punto de paso P 0
- 2 vectores directores NO paralelos, dentro del plano. - La normal que es un vector perpendicular al plano N (IMPORTANTE). 3.1. Ecuación vectorial del plano. CASOS :
- Te dan los 2 vectores, para luego calcular el producto vectorial.
- O te pueden dar los 3 puntos, con los cuales deberás restar para obtener los vectores.
EJM:
3.3. Intersección entre planos. Quien determina que 2 planos son paralelos o perpendiculares, es el vector normal (N). Si tú demuestras que los vectores normales son paralelos, entonces los planos son paralelos. Si tú demuestras que los vectores normales son perpendiculares, entonces los planos son perpendiculares.
Obs: Si no son paralelos ni perpendiculares, esos planos conformarían un ángulo. Entonces… Obs: Con la ecuación de la normal, nosotros determinamos si las normales con paralelas (pueden ser múltiplos), perpendiculares o para hallar el ángulo.
