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Propiedades de las Sumas
𝒏
𝒊ୀ𝒂
[
]
𝒏
𝒊ୀ𝒂
𝒏
𝒊ୀ𝒂
𝒏
𝒊ୀ𝒂
𝒏
𝒊ୀ𝒂
𝒏
𝒊ୀ𝒂
[
)]
𝒏
𝒊ୀ𝒂
Algunas Sumas Básicas
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝟐
𝟐
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝒏
𝒊ୀ𝟏
𝟓
𝟒
𝟑
Suma de Riemann
Sea 𝒇(𝒙) una función definida en el intervalo
[𝒂, 𝒃]. El área bajo la curva se obtiene realizando
estimaciones con rectángulos:
Rectángulos Inscritos (Sumas Inferiores)
𝒏→ஶ
𝒏
𝒊ୀ𝟏
Rectángulos Circunscritos (Sumas Superiores)
𝒏→ஶ
𝒏
𝒊ୀ𝟏
Fórmulas Inmediatas
𝒏
𝒏ା𝟏
Integrales de Funciones Exponenciales
𝒙
𝒙
𝒙
𝒙
Integrales de Funciones Trigonométricas
𝟐
Definición de Integral
Si 𝑭(𝒙) es una función con derivada 𝒇′(𝒙), entonces,
𝑭(𝒙) se llama integral definida o anti derivada de
𝒇′(𝒙). La anti derivada de una función NO ES ÚNICA.
Integrales Inmediatas
Son aquellas donde con solo usar las siguientes
fórmulas se pueden encontrar fácilmente.
Continuación Integrales Trigonométricas
𝟐
න tan
𝑑𝑥 = − ln
cos
sec
න sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|sec(𝑥) + tan(𝑥)| + 𝐶
Integrales con expresiones de la forma
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
න
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟐
=
𝟏
𝒂
𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 ቀ
𝒙
𝒂
ቁ + 𝑪
∫
𝒅𝒙
𝒙
𝟐
ି 𝒂
𝟐
=
𝟏
𝟐𝒂
𝐥𝐧 ቚ
𝒙ି 𝒂
𝒙ା𝒂
ቚ + 𝑪
න
𝒅𝒙
𝒂
𝟐
− 𝒙
𝟐
=
𝟏
𝟐𝒂
𝐥𝐧 ฬ
𝒂 + 𝒗
𝒂 − 𝒗
ฬ + 𝑪
න
𝒅𝒙
√𝒂
𝟐
− 𝒙
𝟐
= 𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐢𝐧 ቀ
𝒙
𝒂
ቁ + 𝑪 ; 𝒂 > 𝟎
න
𝒅𝒙
ඥ𝒙
𝟐
± 𝒂
𝟐
= 𝐥𝐧 ቀ𝒙 +
ඥ 𝒙
𝟐
± 𝒂
𝟐
ቁ + 𝑪
න
𝒅𝒙
𝒙 ∙ √𝒙
𝟐
− 𝒂
𝟐
=
𝟏
𝒂
𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐞𝐜 ቀ
𝒙
𝒂
ቁ + 𝑪
න
ඥ 𝒂
𝟐
− 𝒙
𝟐
𝒅𝒙 =
𝒙
𝟐
ඥ 𝒂
𝟐
− 𝒙
𝟐
𝒂
𝟐
𝟐
𝒂𝒓𝒄 𝐬𝐢𝐧 ቀ
𝒙
𝒂
ቁ + 𝑪
න ඥ𝒙
𝟐
± 𝒂
𝟐
𝒅𝒙 =
𝒙
𝟐
ඥ𝒙
𝟐
± 𝒂
𝟐
± 𝐥𝐧 ቀ𝒙 + ඥ𝒙
𝟐
± 𝒂
𝟐
ቁ + 𝑪
Integrales donde se completa el trinomio
cuadrado perfecto para llegar a las formas
anteriores.
Son aquellas con denominadores de la forma:
𝟐
Según sea el caso.
Integrales por cambio de variable.
Algunas integrales no se pueden resolver de forma
inmediata, entonces se tratará de ser posible
transformar la integral a una de las siguientes
expresiones:
𝒏
𝒙
𝒏శ𝟏
𝒏ା𝟏
𝒅𝒙
𝒙
En las integrales de cambio de variable, se sigue el
siguiente procedimiento:
- Se identifica la variable.
- Se obtiene la diferencial de esta variable y se
efectúa el despeje de la misma.
- Se realiza la sustitución correspondiente.
Integrales de la forma:
න sin
(𝑥) 𝑑𝑥 ; න cos
Con “m” y “n” impar.
Se realiza la separación en potencias pares y siempre
sobra una lineal, la cual funcionará como diferencial, el
resto se transforma mediante las siguientes
identidades trigonométricas.
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Integrales de la forma:
න tan
(𝑥) 𝑑𝑥 ; න cot
Con “n” impar o par.
Se realiza la separación en potencias pares y se
sustituye por la identidad trigonométrica respectiva.
tan
ଶ
(𝑥) = sec
ଶ
cot
ଶ
(𝑥) = csc
ଶ
Integrales de la forma:
න sec
(𝑥) 𝑑𝑥 ; න csc
Con “n” par.
Se realiza la separación en potencias pares y se
sustituye por la identidad trigonométrica respectiva.
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Integrales de la forma:
න tan
(𝑥) ∙ sec
(𝑥) 𝑑𝑥 ; න cot
(𝑥) ∙ csc
Con “n” par y “m” par o impar.
Se cambia variable 𝑣 = sec(𝑥) o 𝑣 = tan(𝑥) y luego
emplear las identidades mencionadas en el punto
anterior.
Métodos de Integración
Fracciones Parciales
Esta son fracciones formadas por polinomios, en las
que el denominador puede ser un polinomio lineal o
cuadrático y, además, puede estar elevado a alguna
potencia. Esto es, integrales de la forma:
Caso 1.
Los factores de 𝑸(𝒙) son todos lineales que no se
repiten. Esto es, tiene factores de la forma:
Entonces, le corresponde una fracción de la forma,
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
Donde 𝑨, 𝑩, … son las constantes por determinar
Tendremos un número de constantes igual al número
de factores que tenga 𝑸(𝒙).
Caso 2.
Los factores de 𝑸(𝒙) son todos lineales y, algunos, se
repiten, esto es, se tiene algún factor de la forma:
𝒏
Entonces, le corresponde una fracción de la siguiente
forma:
𝑨
(𝒂
𝟏
𝒙 + 𝒃
𝟏
)
𝒏
𝑩
(𝒂
𝟏
𝒙 + 𝒃
𝟏
)
𝒏ି 𝟏
+.. +
𝑬
(𝒂
𝟏
𝒙 + 𝒃
𝟏
)
𝒁
𝒂
𝟐
𝒙 + 𝒃
𝟐
Caso 3.
Los factores de 𝑸(𝒙) contiene factores de segundo
grado sin repetirse, esto es, tiene factores de la forma:
𝟐
Le corresponde una fracción de la forma:
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
Caso 4.
Los factores de 𝑸(𝒙) contiene factores de segundo
grado y, algunos, se repiten, esto es, tiene factores de
la forma:
𝟐
𝒏
Entonces, le corresponde una fracción en la cual se
desarrolla una suma "𝒏" de fracciones parciales (como
el caso 2), de la forma:
𝑨𝒙 + 𝑩
(𝒂𝒙
𝟐
𝒏
𝑪𝒙 + 𝑫
(𝒂𝒙
𝟐
𝒏ି 𝟏
𝑪𝒙 + 𝑫
(𝒂𝒙
𝟐
Esto es algo parecido que al caso 2 pero con
expresiones cuadráticas.
Caso 5.
Cuando 𝑷(𝒙) tiene grado mayor a 𝑸(𝒙), entonces, se
procede a realizar la división, quedando una expresión
de la forma:
Y esta última se procede a resolver con alguno de los
casos antes mencionado.
Métodos de Integración
Integración por sustitución de una nueva
variable.
Caso 1. Diferenciales con potencias
fraccionarias de "𝒙"
Una integral con potencias fraccionarias se puede
transformar mediante la sustitución:
𝒏
Donde "𝒏" es el MCM de los denominadores de los
exponentes fraccionarios.
Caso 2. Diferenciales con potencias
fraccionarias de "𝒂 + 𝒃𝒙"
Una integral con potencias fraccionarias de este tipo
se puede transformar mediante la sustitución:
𝒏
Donde "𝒏" es el MCM de los denominadores de los
exponentes fraccionarios.
Métodos de Integración
Integración de las diferenciales binomias
Estas son integrales que contienen expresiones de la
forma:
𝒘
𝒕
𝒑
𝒒
Recordando que si se presenta alguno como
denominador se puede colocar en el numerador
cambiando el signo.
Caso 1.
Cambio de variable es:
𝒖 =
( 𝒂 + 𝒃𝒙
𝒕
)
𝟏
𝒒
Caso 2.
Cambio de variable es:
𝒖 = ቆ
𝒂 + 𝒃𝒙
𝒕
𝒙
𝒕
ቇ
𝟏
𝒒
Métodos de Integración
Transformaciones de diferenciales
trigonométricas
Estas son integrales que contengan una forma
racional, cuyos elementos sean funciones
trigonométricas seno y coseno. Se emplean las
siguientes sustituciones:
sin
ଶ
; cos
ଶ
ଶ
𝑡 = tan ቀ
ଶ
Fórmulas equivalentes de transformación
sin
ଶ
; cos
ଶ
tan(𝛼) = 𝑡 ; 𝑑𝛼 =
ଶ
Al final, regresamos a las variables originales.
Integral Definida
Propiedades
= 𝑐[𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)] ; 𝑐𝑐 = 𝑐𝑡𝑒
න [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
[
]
