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50 Integrales resueltas
Leonardo Sáenz Baez.
3
1 ln x
x
dx 1 ln x
1
3
dx
x
1 ln x
4
3
C
ln 1 x
2
x
2
dx , empleando integración por partes (LIATE), tendremos
u ln
1 x
2
du
2 x
1 x
2
dv
dx
x
2
x
2
dx v
x
ln 1 x
2
x
2
dx
ln 1 x
2
x
x
x
1 x
2
dx
ln 1 x
2
x
dx
1 x
2
ln 1 x
2
x
2 arctan x C
e
2 x
e
x
dx
e
2 x
e
x
dx
e
2 x
e
x
e
x
e
x
dx
e
x
e
x
1 e
x
e
x
dx
e
x
e
x
e
x
dx
e
x
e
x
dx
e
x
e
x
1 dx
e
x
e
x
1
2
dx
e
x
3
2
2 e
x
1
2
C
e
x
1 e
x
1 3 C
e
x
1 e
x
2 C
dx
x
2
3
dx
x
2
3
x
2
dx
hagamos
x 2 sec
dx 2 sec tan d
x
2
4 4 sec
2
4 4 sec
2
1 4 tan
2
dx
x
2
3
tan
2
sec tan d
tan
2
sec d
sec
tan
2
d
cos
sin
2
d
sin
2
cos d
csc C
puesto que
sec
x
csc
x
x
2
y el resultado será
dx
x
2
3
x
4 x
2
C
x 3
x
2
4 x 6
dx
9. x
2
arctan
x
dx
empleando integración por partes
u arctan
x
du
dx
2
x
2
4
2 dx
x
2
dv x
2
dx v
x
3
x
2
arctan
x
dx
x
3
arctan
x
x
3
dx
x
2
pero como
x
3
x
2
x
4 x
x
2
x
2
arctan
x
dx
x
3
arctan
x
xdx 2
2 xdx
x
2
x
3
arctan
x
x
2
2 ln x
2
x
3
arctan
x
x
2
4 ln x
2
4 C
10. sin 2 ln x dx
apliquemos integración por partes, poniendo
u sin 2 ln x du 2 cos 2 ln x
dx
x
dv dx v x
sin 2 ln x dx x sin 2 ln x 2 cos 2 ln x dx......... 1
para la integral
cos 2 ln x dx
pongamos u cos 2 ln x du 2 sin 2 ln x
dx
x
dv dx v x
cos 2 ln x dx x cos 2 ln x 2 sin 2 ln x dx......... 2
sustituyendo ( 2 ) en ( 1 )
sin 2 ln x dx x sin 2 ln x 2 x cos 2 ln x 2
sin 2 ln x dx
sin 2 ln x dx x sin 2 ln x 2 x cos 2 ln x
x
sin 2 ln x 2 cos 2 ln x
C
x
2
x 2
x
2
2 x 3
dx
descomponiendo en fracciones parciales el integrando
x
2
x 2 x 3 x 1
A
x 2
B
x 3
C
x 1
x
2
2 A x 3 x 1 B x 2 x 1 C x 2 x 3
Si x 2 , 6 3 A , A 2
Si x 3 , 11 4 B , B
Si x 1 , 3 12 C , C
de manera que
x
2
x 2 x 3 x 1
dx 2
dx
x 2
dx
x 3
dx
x 1
2 ln| x 2 |
ln| x 3 |
ln| x 1 | C
4 x
4 x
2
4 x 5
dx
4 x
4 x
2
4 x 5
dx
8 x 4 4
4 x
2
4 x 5
dx
8 x 4
4 x
2
4 x 5
dx 2
dx
4 x
2
4 x 5
ln 4 x
2
4 x 5
dx
x
2
x
5
4
ln 4 x
2
4 x 5
dx
x
1
2
2
ln 4 x
2
4 x 5
arctan
2 x 1
C
13. x
7 3
2 x
4
dx ( ver las integrales de diferenciales binomias)
hagamos z x
4
; x z
1
4 , dx
z
3
4 dz
I x
7 3
2 x
4
dx z
7
4
2 z
1
3
z
3
4
dz
z 2 z
1
3
dz
ahora pongamos 2 z t
3
; z t
3
2 ; dz 3 t
2
dt
I
z 2 z
1
3
dz
t
3
2 t 3 t
2
dt
t
6
2 t
3
dt
I
t
7
t
4
C
2 z
7
3
2 z
4
3
C
x
7 3
2 x
4
dx
2 x
4
7
3
2 x
4
4
3
C
14. tan
2
x sec
4
xdx
tan
2
x sec
4
xdx
tan
2
x sec
2
x sec
2
xdx
tan
2
x
1 tan
2
x
sec
2
xdx
tan
2
x sec
2
xdx
tan
4
x sec
2
xdx
tan
3
x
tan
5
x C
x
2
e
3 x
dx
x
2
e
3 x
xe
3 x
e
3 x
x
2
e
3 x
xe
3 x
e
3 x
C
x
2
e
3 x
dx
e
3 x
9 x
2
6 x 2
C
19. e
x
sin
3
e
x
cos e
x
dx , la integral es inmediata aplicando la regla de la potencia
u
n
du
u
n 1
n 1
sin
3
e
x
cos e
x
e
x
dx
sin
4
e
x
C
20. x
2
1 x dx x
2
1 x
1
2
dx
esta integral se resuelve empleando diferenciales binomias
x
m
a bx
n
p
dx
casos resolubles
1 p entero, 2 )
m 1
n
entero y 3 )
m 1
n
p entero
para la integral x
2
1 x
1
2
dx , m 2 , n 1 , p
y se cumple el caso 2 )
para resolverla hagamos t 1 x , 1 x t
2
, x t
2
1 , dx 2 tdt
x
2
1 x
1
2
dx t
2
2
t 2 tdt 2 t
6
2 t
4
t
2
dt
t
7
t
5
t
3
C
x
2
1 x
1
2
dx
1 x
7
2
1 x
5
2
1 x
3
2
C
1 x
3
2
15 1 x
2
42 1 x 35 C
1 x
3
2
15 x
2
12 x 8 C
3 x 7
6 x 9 x
2
dx
3 x 7
6 x 9 x
2
dx Q 6 x 9 x
2
dx
6 x 9 x
2
derivando respecto de x, ambos miembros
3 x 7
6 x 9 x
2
Q
6 18 x
2 6 x 9 x
2
6 x 9 x
2
eliminando el denominador común
3 x 7 Q 3 9 x 9 Qx 3 Q
comparando coeficientes
9 Q 3 Q
3 Q 7 8
de manera que
3 x 7
6 x 9 x
2
dx
6 x 9 x
2
dx
6 x 9 x
2
para la integral
dx
6 x 9 x
2
se tiene
dx
6 x 9 x
2
dx
9 x
2
2
3
x
dx
1
9
x
2
2
3
x
1
9
dx
6 x 9 x
2
dx
1
3
2
x
1
3
2
y aplicando
du
a
2
u
2
arcsin
u
a
se tiene
dx
6 x 9 x
2
dx
1
3
2
x
1
3
2
arcsin 3 x 1 ..... 2
sustituyendo ( 2 ) en ( 1 )
3 x 7
6 x 9 x
2
dx
6 x 9 x
2
arcsin 3 x 1 C
4 x
2
x
3
dx
la integral es inmediata completando diferenciales
4 x
2
x
3
dx
3 x
2
x
3
dx
x
3
1
2
3 x
2
dx
x
3
9 C
x
2
1 3 x
dx
x
4 2 x x
2
dx
x
4 2 x x
2
dx
2 x 2 2
4 2 x x
2
dx
4 2 x x
2
1
2
2 x 2
dx
dx
4 x
2
2 x
4 2 x x
2
dx
5 x
2
2 x 1
4 2 x x
2
dx
2
x 1
2
x
4 2 x x
2
dx 4 2 x x
2
arcsin
x 1
C
x
4
3 x
3
2 x 3
x
2
3 x
dx
haciendo la división se tiene
x
4
3 x
3
2 x 3
x
2
3 x
dx
x
2
2 x 3
x
2
3 x
dx
x
2
dx
2 x 3
x
2
3 x
dx
x
3
ln| x
2
3 x | C
5 x
2
12 x 1
x
3
3 x
2
dx
5 x
2
12 x 1
x
3
3 x
2
5 x
2
12 x 1
x 1 x 2
2
A
x 1
B
x 2
C
x 2
2
5 x
2
12 x 1 A x 2
2
B x 1 x 2 C x 1
Si x 1 , 18 9 A , A 2
Si x 2 , 3 3 C , C 1
Si x 0 , 1 8 2 B 1 , 2 B 6 , B 3
5 x
2
12 x 1
x
3
3 x
2
dx 2
dx
x 1
dx
x 2
x 2
2
dx
2 ln| x 1 | 3 ln| x 2 |
x 2
C
x 1
1 x
dx
hagamos x t
2
dx 2 tdt , x t
x 1
1 x
dx
t 1
1 t
2
2 tdt 2
t
2
t
1 t
2
dt
1 t
2
t 1
1 t
2
dt 2 1
t 1
1 t
2
dt
dt
2 t
1 t
2
dt
1 t
2
2 t ln 1 t
2
2 arctan t C
2 x ln 1 x 2 arctan x C
29. 3 x ln
2
x dx
integrando por partes (LIATE)
u ln
2
x du 2 ln x
dx
x
dv 3 x v 3
x
1
2 dx 2 x
3
2
3 x ln
2
x
dx 2 x
3
2 ln
2
x 4
x
3
2 ln x
dx
x
3 x ln
2
x
dx 2 x
3
2 ln
2
x 4
x
1
2 ln xdx.................. 1
para la integral x
1
2
ln xdx , pongamos
u ln x du
dx
x
dv x
1
2
dx v x
1
2
dx
x
3
2
x
1
2
ln xdx
x
3
2
ln x
x
3
2
dx
x
x
1
2
ln xdx
x
3
2
ln x
x
3
2
................. 2
sustituyendo ( 2 ) en ( 1 )
3 x ln
2
x dx 2 x
3
2 ln
2
x 4
x
3
2 ln x
x
3
2 C
2 x
3
2 ln
2
x
x
3
2 ln x
x
3
2 C
3 x ln
2
x dx 2 x
3
2 ln
2
x
ln x
C
30. e
x
arcsin
e
x
dx
integrando por partes
u arcsin e
x
du
e
x
1 e
2 x
dx
dv e
x
dx v e
x
x 1
2
26 2 x x
2
dx
I
x 1
2
26 2 x x
2
dx
x
2
2 x 1
26 2 x x
2
dx
x
2
2 x 26 25
26 2 x x
2
dx
x
2
2 x 26
x
2
2 x 26
dx 25
dx
x
2
2 x 26
x
2
2 x 26 dx 25
dx
x
2
2 x 1 25
x
2
2 x 1 25 dx 25
dx
x 1
2
2
x 1
2
2
dx 25
dx
x 1
2
2
empleando las fórmulas
u
2
a
2
du
u
u
2
a
2
a
2
ln u u
2
a
2
du
u
2
a
2
ln u u
2
a
2
, tendremos
I
x 1
x
2
2 x 26
ln x 1 x
2
2 x 26
25 ln x 1 x
2
2 x 26
x 1
2
26 2 x x
2
dx
x 1
x
2
2 x 26
ln x 1 x
2
2 x 26 C
3 x
3
4 x
2
8 x
x
2
dx
haciendo la división de la función del integrando
3 x
3
4 x
2
8 x
x
2
3 x 4
5 x 4
x
2
, tendremos
3 x
3
4 x
2
8 x
x
2
dx
3 x 4 dx
5 x 4
x
2
dx
x
2
4 x
2 x
8
5
x
2
dx
x
2
4 x
2 xdx
x
2
dx
x
2
x
2
4 x
ln x
2
1 4 arctan x C
x 5
4 x
2
dx
x 5
4 x
2
dx
8 xdx
4 x
2
dx
2 x
2
2
ln 4 x
2
2 dx
2 x
2
2
ln 4 x
2
arctan
2 x
C
4 x
2
x
2
dx
sea 2 x tan u , x
tan u , dx
sec
2
udu
1 4 x
2
1 tan
2
u sec
2
u , sec u 1 4 x
2
cot u
2 x
, 1 cot
2
u 1
4 x
2
4 x
2
4 x
2
csc
2
u
csc u
1 4 x
2
2 x
4 x
2
x
2
dx
sec u
1
4
tan
2
u
sec
2
udu
sec
3
u
tan
2
u
du 2
1
cos
3
u
sin
2
u
cos
2
u
du
cos
2
u
cos
3
u sin
2
u
du 2
du
cos u sin
2
u
cos
2
u sin
2
u
cos u sin
2
u
du 2
cos u
sin
2
u
du 2
du
cos u
2 sin
2
u cos udu 2 sec udu
2 csc u 2 ln|sec u tan u | C
4 x
2
x
2
dx
1 4 x
2
x
2 ln 1 4 x
2
2 x C
x
2
2 x
x 1
dx
hagamos x
2
2 x t
2
, t x
2
2 x
x
2
2 x 1 t
2
x 1
2
t
2
1 , diferenciando tendremos
2 x 1 dx 2 tdt
dx
tdt
x 1
tdt
t
2
sustituyendo
1
9
18 x 6 1
2
3
9 x
2
6 x 4
dx
18 x 6
9 x
2
6 x 4
dx
dx
9 x
2
2
3
x
4
9
ln 9 x
2
6 x 4
dx
x
2
2
3
x
1
9
4
9
1
9
ln 9 x
2
6 x 4
dx
x
1
3
2
1
3
2
2 x 1
9 x
2
6 x 4
dx
ln 9 x
2
6 x 4
arctan
3 x 1
C
4 x
2
6 x 8
x 1 x
2
2 x 3
dx
una clásica integración por fracciones parciales con una forma líneal
y una cuadrática irreducible en el denominador
4 x
2
6 x 8
x 1 x
2
2 x 3
A
x 1
Bx C
x
2
2 x 3
4 x
2
6 x 8 A x
2
2 x 3 Bx C x 1
Si x 1 , 6 2 A , A 3 , con este valor conocido podemos escribir
4 x
2
6 x 8 3 x
2
6 x 9 Bx C x 1
x
2
1 x 1 x 1 Bx C x 1
x 1 Bx C
y ahora si x 0 C 1 , y por lo tanto
x 1 Bx 1 B 1
4 x
2
6 x 8
x 1
x
2
2 x 3
dx 3
dx
x 1
x 1
x
2
2 x 3
dx
3 ln| x 1 |
2 x 2
x
2
2 x 3
dx 2
dx
x
2
2 x 3
3 ln| x 1 |
ln x
2
2 x 3 2
dx
x 1
2
2
3 ln| x 1 |
ln x
2
2 x 3
arctan
x 1
C
4 x
2
6 x 8
x 1
x
2
2 x 3
dx 3 ln| x 1 |
ln x
2
2 x 3 2 arctan
x 1
C
x
3
5 x
2
3
dx
hagamos x 5 tan
dx 5 sec
2
d
tan
x
1 tan
2
x
2
sec
2
sec
5 x
2
, cos
5 x
2
x
3
5 x
2
3
dx
5 tan
3
5 5 tan
2
3
5 sec
2
d
tan
3
sec
3
sec
2
d 5
tan
3
sec
d
sin
3
cos
3
1
cos
d 5
sin
3
cos
2
d 5 cos
2
sin
2
sin d
cos
2
1 cos
2
sin d 5
cos
2
sin d
sin d
sec cos
C 5
5 x
2
5 x
2
x
3
5 x
2
3
dx 5
5 x
2
5 5 x
2
C
x
2
5 x
2
C
x 20
5 4 x x
2
3
dx
x 20
5 4 x x
2
3
2
dx I
I
1
2
2 x 4 18
5 4 x x
2
3
2
dx
2 x 4
5 4 x x
2
3
2
dx 18
dx
9 x 2
2
3
2
5 4 x x
2
3
2
2 x 4 dx 18
dx
x 2
2
3
2
x 20
5 4 x x
2
3
dx
5 4 x x
2
dx
9 x 2
2
3
2
para resolver esta segunda integral resultante, hagamos
x 2 3 sin 9 x 2
2
9 1 sin
2
9 cos
2
, dx 3 cos d
dx
9 x 2
2
3
2
3 cos d
9 cos
2
3
2
d
cos
2
dx
9 x 2
2
3
2
sec
2
d
tan
dx
9 x 2
2
3
2
tan
x
3 x
dx
t
3
1 t
2
6 t
5
dt
t
8
1 t
2
dt
dividiendo
t
8
1 t
2
t
6
t
4
t
2
1 t
2
x
3 x
dx 6
t
8
1 t
2
dt
t
7
t
5
t
3
t arctan t C
x
3
x
dx 6
x
7
6
x
5
6
x
1
2
x
1
6 arctan
6
x
C
e
x
ln
e
x
dx
integrando por partes (LIATE)
u ln
e
x
du
e
x
e
x
dx
dv e
x
dx v e
x
e
x
ln
e
x
dx e
x
ln
e
x
e
x e
x
e
x
dx
e
x
ln
e
x
e
x e
x
e
x
dx
e
x
ln
e
x
e
x
e
x
dx
e
x
ln e
x
1 dx e
x
ln e
x
1 e
x
ln e
x
1 C
e
x
1 ln e
x
1 e
x
C
la integral
e
x
ln e
x
1 dx también se puede resolver empleando
ln udu u ln u u C , donde u e
x
e
ax
cos bx dx I
integrando por partes
u cos bx du b sin bx dx
dv e
ax
dx v
a
e
ax
I e
ax
cos bx dx
a
e
ax
cos bx
b
a
e
ax
sin bx dx....................... 1
para la integral e
ax
sin bx dx , integremos de nuevo por partes, poniendo
u sin bx du b cos bx dx
dv e
ax
dx v
a
e
ax
e
ax
sin bx dx
a
e
ax
sin bx
b
a
e
ax
cos
bx
dx
e
ax
sin bx dx
a
e
ax
sin bx
b
a
I................ 2
sustituyendo ( 2 ) en ( 1 )
I
a
e
ax
cos bx
b
a
a
e
ax
sin bx
b
a
I
I
b
2
a
2
I
a
e
ax
cos bx
b
a
2
e
ax
sin bx
a
2
b
2
a
2
I
a
a
2
e
ax
cos bx
b
a
2
e
ax
sin bx
a
2
b
2
I e
ax
a cos bx b sin bx
I
e
ax
a cos bx b sin bx
a
2
b
2
C
e
ax
cos bx dx
e
ax
a cos bx b sin bx
a
2
b
2
C
4 x 5
x
2
2 x 2
3
dx
4 x 5
x
2
2 x 2
3
2
dx
4 x 5
x
2
2 x 2
3
2
dx
2 2 x 2 5 4
x
2
2 x 2
3
2
dx
2 x
2
2 x 2
3
2
2 x 2 dx 9
dx
x 1
2
3
2
4 x 5
x
2
2 x 2
3
2
dx
x
2
2 x 2
dx
x 1
2
3
2
para la integral
dx
x 1
2
1
3
2
que queda en el segundo miembro sea
x 1 tan , dx sec
2
d
sin
2
csc
2
1 cot
2
1
tan
2
sin
2
tan
2
1 tan
2
x 1
2
1 x 1
2
x 1
2
x
2
2 x 2
sin
x 1
x
2
2 x 2
dx
x 1
2
3
2
sec
2
d
sec
3
cos d sin
x 1
x
2
2 x 2
sustituyendo ( 2 ) en ( 1 )
