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Los gradientes
Introducción
Debido a la inflación, se observa que casi todos los renglones de la economía van aumentando de precios, por esta razón, es necesario elaborar modelos matemáticos que ajustándose a los índices de inflación puedan compensar los efectos erosionantes en el dinero, a través del tiempo, entre los modelos matemáticos que pueden suplir esta necesidad están los gradientes.
DEFINICION
Un gradiente es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los pagos cumplen con una ley de formación
- Los pagos se efectúan a iguales intervalos de tiempo
- Todos los pagos se trasladan al principio o al final a la misma tasa de interés.
- El número de pagos es igual al número de períodos.
La ley de formación, de la que habla la primera condición, puede ser de varias clases, sin embargo, las más utilizadas son: la que corresponde al gradiente lineal o aritmético y la que corresponde al gradiente geométrico.
Las anualidades, vienen a ser un caso particular de los gradientes, en el cual, el crecimiento es cero, lo que hace que todos los pagos sean de igual valor, por tal motivo el manejo de los gradientes es similar al manejo de las anualidades.
Las otras tres leyes son las mismas de las anualidades.
GRADIENTE ARITMETICO
En el gradiente aritmético cada pago es igual al anterior, más una constante L; si esta constante es positiva, el gradiente será creciente; si la constante es negativa, el gradiente será decreciente. Obviamente, si L = 0 todos los pagos son iguales y la serie se convierte en una anualidad.
Como en un gradiente todos los pagos son de diferente valor, será necesario distinguir un pago de otro y por eso al primer pago lo representaremos por R 1 ; el segundo pago por R 2 y así sucesivamente, el último pago lo representaremos por Rn.
De acuerdo a la definición de gradiente lineal se tendrá:
R 2 =R 1 +L
R 3 =R 2 +L = R 1 +2L
R 4 =R 3 +L = R 1 +3L
Rn=Rn-1+L = R 1 +(n-1)L
De los anterior se deduce que la fórmula del último término será:
Rn=R 1 +(n-1)L
Ejemplo 1
Hacer la gráfica de un gradiente aritmético de 6 pagos con primera cuota de $ y a) crecimiento de $25 y b) decreciente en $25.
Solución
a)-
b)-
Si substraemos W(1+i) - W resulta:
W(1+i) - W=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)^ -(n-1)(1+i)-n
Simplificando:
W i=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+…+(1+i)-(n+1)^ +(1+i)-n+n(1+i)-n
W i= a n i -n(1+i)-n
Si reemplazamos W en (*) tenemos:
En la fórmula anterior figura R sin indicar cuál de todas las cuotas es pero, en la deducción de la fórmula hemos trabajado con base en que R es el primer pago. En consecuencia cuando en cualquier fórmula aparezca R sin indicar cuál es, deberá asumirse que se trata de la primera cuota.
Ejemplo 2
Hallar el valor presente con interés al 5% de la siguiente serie:
Solución:
ff
VP
W i
O i i
1
n - n(1+ )
-n
VP i
L
i
i n i n
O O
R n n ( 1 )
En la gráfica se observan varias cosas:
a) El gradiente tiene un crecimiento de $200; entonces L = 200 b) El primer pago es $800; entonces R = 800 c) El número de pagos es 6; entonces n=
Reemplazando en la fórmula se tiene:
Ejemplo 3
Hallar el valor presente de la siguiente serie con tasa del 5%
GRAFICO
Solución:
Primera forma: podemos considerar que el gradiente se inicia en el período 2; entonces su primer pago será de $800 (el que está en 3); los otros pagos de $ ubicados en 1 y 2 forman una anualidad:
X=$
ff
X
X O O O R S T
U V W
800 2 5% 800 6 5% ^
6 5% 6 1 0 05 6 1 0 05^2
Anualidad de 2 pagos
Valor presente del gradiente en el punto 2 = $
Para ubicar en la ff
X 800 6 O 5% O
Solución: n = 8, L = -100, R = 500
AMORTIZACION CON CUOTA CRECIENTE
Debido a las altas tasas de inflación, en muchos países se ha impuesto la moda de utilizar una cuota creciente en los sistemas de amortización, lo que ha impulsado el desarrollo de nuevas técnicas.
Actualmente, los sistemas de amortización más utilizados son los que usan una cuota creciente.
Ejemplo 5
Amortizar la suma de $100.000, en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y; a. Crecimiento lineal de la cuota de $ 12. b. Decrecimiento lineal de la cuota de $12.
Solución:
a.
De donde se obtiene que R 1 = $13.344.
Las demás cuotas se pueden calcular con la fórmula del último término del gradiente lineal o aritmético Rn = R 1 + (n-1)L
R 1
R 2
R 3
R 4
VF S O S
500 8 15% O
100
015
8 15% 8 53 .
$3045.
100000 4 8%
12000
0 08
4 8% 4 1 0 08
4 O O
R .
a (. )
R 2 = 13344.56 + 12000=25344.
R 3 = 13344.56 + 2 x 12000=37344.
R 4 = 13344.56 + 3 x 12000=49344.
Con los datos anteriores podemos elaborar la tabla en la misma forma como se trabajó con anualidades.
PER. SALDO DEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION 0 100.000.00 -- -- -- 1 94.655.44 8.000.00 13.344.56 5.344. 2 76.883.31 7.572.43 25.344.56 17.772. 3 45.689.41 6.150.66 37.344.56 31.193. 4 0.00 3.655.15 49.344.56 45.689.
De donde se obtiene que R 1 = $47039.
PER. SALDO DEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION 0 100.000.00 -- -- -- 1 60.960.40 8.000.00 47.039.60 39.039. 2 30.797.63 4.876.8 3 35.039.60 30.162. 3 10.221.84 2.463.81 23.039.60 20.575. 4 0.00 817.76 11.039.60 10.221.
Gradiente aritmetico infinito
Igual que en las anualidades, solo tiene sentido el valor presente de un gradiente infinito. Su principal aplicación es el cálculo del costo del capital, tema que se discutirá en un capítulo posterior.
R 4
R 3
R 2
R 1
100000 4 8%
12000
0 08
4 8% 4 1 0 08
4 O
O
R .
a (. )
Final se tiene:
Ejemplo 6.
Calcular el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en $10, si el primer pago vale $200 y la tasa es del 3%.
Solución:
Esto significa que si colocamos $17.777.78 al 3% efectivo, podremos pagar $ al final del primer período, $210 al final del segundo período, $220 al final del tercer período t así sucesivamente.
GRADIENTE GEOMETRICO
Un gradiente geométrico es una serie de pagos, en la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante que representaremos por 1 + G. Si G es positivo el gradiente será creciente. Si G es negativo el gradiente será decreciente y, si G = 0 el gradiente se convierte en una anualidad.
En un gradiente geométrico, el primer pago será: R 1
El segundo pago R 2 =R 1 (1+G)
El tercer pago R 3 =R 2 (1+G)=R 1 (1+G)^2
VP
VP
R
i
L
i
(^2)
VP
200
0 03
10
0 03 2 78
. (. )
$17777.
El último pago Rn=Rn-1(1+G)=R 1 (1+G)n-
Entonces:
Fórmula del valor presente del gradiente geométrico
El planteo de la ecuación de valor será:
VP=R(1+i)-1+R(1+G)(1+i)-2+R(1+g)(1+i)-3+……+(1+G)n-1(1+i)-n
Si multiplicamos la ecuación anterior, por (1+G)(1+i)-1^ , tenemos:
VP(1+G)(1+i)-1=R(1+G)(1+i)-2+R(1+G)^2 (1+i)-3+R(1+G)^3 (1+i)-4^ +…+R(1+G)n(1+i)-n-
Sustrayendo la primera ecuación de la segunda, tenemos:
VP(1+G)(1+i)-1-VP=R(1+G)n(1+i)-n-1-R(1+i)-
Factorizando, se tiene:
VP[(1+G)(1+i)-1-1]=R(1+i)-1[(1+G)n(1+i)-n-1]=R[(1+G)n(1+i)-n-1]/(1+i)
0 1 2 ……………………………….n
R 1
R(1+G)
R(1+G)n-^1
VP
ff
Rn=R 1 (1+G)n-^1
VP
R R
(1+ G) (1+ i) - (1+ i)[(1+ G)(1+ i) -1]
(1+ G) (1+ i) -1] [(1+ G) - (1+ i)]
n -n
[ n^ -n
Ejemplo 7
Hallar el valor presente de 10 pagos anuales, si el primer pago es de $5.000 y de pago subsiguiente crece un 20%. Suponga una tasa del 20%.
Solución:
Como G=i=20% se tiene que:
Ejemplo 8
Hallar el valor presente de 15 pagos que crecen un 25%, si el primer pago es de $800 y suponiendo una tasa del 20%
Solución
Ejemplo 9.
Elaborar una tabla para amortizar la suma de $100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y:
a) crecimiento geométrico de la cuota en 10% b) decrecimiento geométrico de la cuota en -10%
VP
VP
VP
800 1 0 25 1 0 2 1 0 25 0 2
15 15
.. ..
b gb g
Solución
a)
De donde R 1 = $26.261.
R 2 = $26.261.47 (1+0.1) = $28.887.
R 3 = $26.261.47 (1+0.1)^2 = $31.776.
R 4 = $26.261.47 (1+0.1)^3 = $34.954.
PER. SALDO DEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION 0 100.000.00 -- -- -- 1 81.738.53 8.000.00 26.261.47 18.261. 2 59.390.00 6.539.08 28.887.61 22.348. 3 32.364.82 4.751.20 31.776.38 27.025. 4 0.00 2.589.19 34.954.01 32.364.
b)
De donde se obtiene que:
De donde R 1 = $34.766.
R 2 = $34.766.02 (1+0.1) = $31.289.
R 3 = $34.766.02 (1+0.1)^2 =$28.160.
R 1
R 2
R 3
R 4
1
4 4
R..
b gb g
1
4 4
R..
b gb g
De donde se obtiene L = -$64.58, lo que significa que el gradiente es el decreciente como se muestra en la gráfica.
Ejemplo 11
Se hacen depósitos trimestrales crecientes en un 5%, en una cuenta que paga el 5.25% efectivo trimestral, con el fin de tener disponibles $500.000 el primero de enero de 1991. Si el primer depósito se hace el primero de abril de 1988 y el último el primero de julio de 1990, determinar el valor del primer depósito.
Solución:
VP
R 1
R 2
R 10
VP
ff
1 - 1 - 88 1 - 4 - 88 1 - 7 - 88 1 - 7 - 90 1 - 1 - 91
8
10 10 a a
L
O O
.
Despejando se obtiene que R=$28784.88 como primera cuota
GRADIENTE GEOMETRICO INFINITO
Una de las aplicaciones que tiene este tipo de gradientes está en el análisis sobre emisión de acciones. Solo tiene sentido el análisis del valor presente.
Si G > i entonces la expresión
Es mayor que 1 y la expresión no tendrá limite cuando n
Si G < i entonces la expresión
Porque el valor de la cantidad entre el paréntesis será menor de 1 de lo anterior se
deduce que:
Cuando G = 1 la formula del valor presente es:
500000
1 0 05 1 0 0525
0 05 0 0525
1 0 025
10 10 ^ ^ ^2
R (. ) (. )
..
(. )
VP
R G i
G i
R
G i
G
n i
n n
n
n (^) Lim Lim
F H
G
I K
J
L
N
M M
O
Q
P P
F H G
I K J
G
i
n
F H G
I K J
G
i
n
VP
R
G i
G
i
R
G i
R
G i
R
n i^ G
n (^) Lim
F H
G
I K
J
L
N
M M
O
Q
P P
1 [ 0 1 ]
VP
R n i
y
R n Limn i
