Apuntes sobre Wavelets , Apuntes de Ingeniería

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WAVELETS

CONCEPTO Y APLICACIONES

PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

HISTÓRICA

¿QUÉ ES UN WAVELET?

FOURIER

vs

WAVELETS

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

WAVELETS

ORTOGONALES Y

BIORTOGONALES

CWT TRANSFORMADA WAVELETS CONTÍNUA

APLICACIONES

DE LOS

WAVELETS

ANÁLISIS

MULTIRESOLUCIÓN

ESTUDIO DEL

RUIDO DE UNA

SEÑAL CON

WAVELETS [...]

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA (II)

• 1985 – Ives Meyer descubre el primer wavelet ortogonal

suave.

• 1986 – Stéphane Mallat muestra que los métodos de Haar,

Gabor, Morlet...están relacionados por el mismo algoritmo de

wavelets.

• 1987 – Ingrid Daubechies construye el primer wavelet

ortogonal con soporte compacto. Los wavelets pasan a ser

una importante herramienta práctica de cálculo.

• 1990 – David Donoho y Johnstone usan los wavelets para

eliminar el ruido de una señal.

• 1992 – El FBI usa los wavelets para comprimir su base de

datos de huellas dactilares.

• 2004 – Una vez superada la gran revolución de los años 90 , se

ve que no todo se puede hacer con wavelets, pero que sí

suponen una nueva herramienta útil de cálculo y análisis.

• El análisis de Fourier de una señal (supongamos temporal) permite determinar sus frecuencias, pero a costa de perder la información de tipo temporal sobre la señal (no dice cuando aparece cada frecuencia).
• Lo que se puede hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el orden temporal en el que se dan las frecuencias. Este tipo de análisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar una ventana a los datos). Sin embargo, este tipo de análisis es imperfecto.
• Recordemos que la resolución temporal y la resolución en frecuencias de una señal están

acopladas [Existe un principio de incertidumbre similar al de Heisenberg: Dt

.Dw ≥ p]. Existen métodos de análisis que alcanzan este máximo. Fourier es

uno de ellos pero alcanza la máxima resolución espectral sacrificando la

resolución temporal. Los wavelets sí dan información simultánea de t y w.

¿QUÉ ES UN WAVELET? Motivación

¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.

Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1. -0.

 (t) JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ HAAR WAVELET MADRE (t)

Wavelet de Haar (1909)

¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.

Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

-1 0 1 2 3 4 -1. -1. -0.

JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ DAUBECHIE n= WAVELET MADRE (t)  (t) t

Wavelet de Daubechie

(orden 4) (1987)

¿QUÉ ES UN WAVELET? Presentación

El número de wavelets existentes es enorme. En general conviene

usar aquel cuya forma se adecúe mejor al tipo de señal con la que se

trabaja. Hay wavelets contínuos/discretos, con/sin soporte

compacto, suaves/con discontinuidades, ortogonales/biortogonales..

Algunos wavelets tienen expresiones analíticas. Por ejemplo:

[Wavelet de Morlet]:

[Sombrero mejicano]:

( 2 ªderivada de una gaussiana)

Otros en cambio se obtienen mediante fórmulas de recurrencia, tal

como veremos más adelante.

  2 2 1/ 4 i^0 t t / 2 0 t e e  w      p     (^)   2 2 t / 2 0 t 1 t e     

¿QUÉ ES UN WAVELET? Representación gráfica de los coeficientes de la transformada discreta de wavelets

• El análisis de wavelets:
  • Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo.
  • La resolución espectral de una frecuencia f es: D f  f
  • La resolución temporal de esta frecuencia es: D t  1/f ( D t. D f = cte ).
• Realizando una Transformada discreta de Wavelets (Similar a FFT) obtenemos una serie de coeficientes que podemos interpretar gráficamente:

¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (II): Traslaciones y Dilataciones

Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una

función s(t) viene dada por:

El término t nos da las traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet.    

1 * t

S a, s t dt

a a

 

  t

t    

 DILATACIONES

¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (III): Traslaciones y Dilataciones

Es decir, la señal s(t) se muestrea empleando versiones (wavelets)

del wavelet madre (dilatados y trasladados) estudiando punto a

punto para qué dilataciones y traslaciones la señal s(t) y el wavelet

son más similares.

Como es lógico, la frecuencia de la señal s(t) estudiada está

intimamente relacionada con la escala “a” del wavelet.

Por otro lado, el que el análisis sea local, es lo que le da a la

transformada de wavelets sus interesantes propiedades.

   

1 * t

S a, s t dt

a a

 

  t

t    



¿QUÉ ES UN WAVELET? Representación gráfica de los coeficientes: EJEMPLO PRÁCTICO

Señal con altas y bajas frecuencias.

• 0

2 4 6 8 200 150 100 50 frecuencia tiempo

Resultado del análisis con wavelets:

Es posible seguir las frecuencias

dominantes en el tiempo.

FOURIER vs WAVELETS:

Descomposición de una señal en “ondas”

FOURIER vs WAVELETS

VENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS

• La Transformada Discreta de Wavelets presenta además claras ventajas frente a su contrapartida de Fourier: - Más rápida desde el punto de vista computacional: O(N) [DWT], frente a O(NlogN) [FFT] para una muestra de N datos. - En muchos casos proporciona un mejor ajuste a los datos con menos coeficientes.(Permitiendo una mejor compresión de los datos que los métodos basados en Fourier). - Las técnicas de filtrado de ruido basadas en wavelets dan mejores resultados. DESVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS
• Es una técnica reciente. Aunque en las últimos años se ha hecho un gran esfuerzo por darle todo el rigor matemático que tiene la transformada de Fourier y unificar métodos y notaciones, el ritmo de aparición de publicaciones sobre el tema hace que no sea tarea fácil.
• No permite realizar algunos cálculos como los relacionados con la convolución o la modulación de una señal...

FOURIER vs WAVELETS:

Ej: Estudio de discontinuidades en una señal.