Conceptos básicos de matrices y determinantes - Prof. Muñoz Viquillon, Apuntes de Matemáticas

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Matrices, determinantes y sistemas de

ecuaciones lineales

ALBERTO VIGNERON TENORIO

Dpto. de Matem´aticas

Universidad de C´adiz

Indice general

1. Matrices y determinantes 1

1.1. Matrices reales....................................... 1

1.2. Operaciones con matrices................................. 3

Suma de matrices y producto por escalares....................... 3

Traspuesta de una matriz................................. 4

Producto e inversa de matrices.............................. 4

Transformaciones elementales y rango de una matriz.................. 6

1.3. Determinante de una matriz................................ 8

Algunas aplicaciones del determinante.......................... 10

1. Sistemas de ecuaciones lineales 12

2.1. Primeros resultados te´oricos................................ 12

2.2. M´etodos de resoluci´on de sistemas lineales........................ 13

Bibliografia

i

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 2

A = (aij ) (^) i = 1,... , m

j = 1,... , n

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

am 1 am 2 · · · amn

A = (A 1 |A 2 | · · · |An) , donde Aj denota la j−´esima columna de la matriz.

A =

A 1

A 2

Am

, donde Ai denota la i−´esima fila de la matriz.

Para que dos matrices sean iguales tendr´an que serlo sus ´ordenes y cada uno de los elementos

ordenados de las mismas.

Definici´on 1.1.2 Sea A = (aij ) ∈ Mm×n(R),

diremos que A es una matriz cuadrada si m = n. Al conjunto de las matrices cuadradas lo

denotaremos por Mn(R).

diremos que A es una matriz sim´etrica si es cuadrada y aij = aji, ∀i = 1,... , n, ∀j = 1,... , n.

diremos que A es una matriz fila si m = 1.

diremos que A es una matriz columna si n = 1.

diremos que A es la matriz nula de orden m × n, si aij = 0, ∀i = 1,... , m, ∀j = 1,... , n. A

la matriz nula de cualquier orden la denotaremos por Θ, entendi´endose en cada caso que el

orden que tiene es el adecuado al contexto.

diremos que A ∈ Mn(R) es la matriz identidad, o unidad, de orden n si aij = 0, ∀i 6 = j,

y aii = 1, ∀i = 1,... , n. A la matriz identidad de cualquier orden la denotaremos por I,

entendi´endose en cada caso que el orden que tiene es el adecuado al contexto.

llamaremos diagonal principal de la matriz A ∈ Mm×n(R) al conjunto aii, ∀i = 1,... ,

m´ın{n, m}.

diremos que A es una matriz triangular inferior si aij = 0, ∀i > j.

Ejemplo 1.1.3 Algunos ejemplos de tipos de matrices:

matriz fila.

matriz columna.

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 3

matriz sim´etrica de orden 3.

matriz triangular inferior de orden 3 × 4.

1.2. Operaciones con matrices

Una vez planteada la definici´on de matriz real, vamos a comenzar el estudio de diversas opera-

ciones con matrices y algunas propiedades de dichas operaciones.

Suma de matrices y producto por escalares

Definici´on 1.2.1 Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n(R) y λ ∈ R,

definimos la matriz suma A + B como la matriz S = (sij ) ∈ Mm×n(R) tal que sij = aij + bij ,

∀i = 1,... , m, ∀j = 1,... , n.

definimos la matriz λA (a esta operaci´on se la denomina producto por escalares) como la

matriz P = (pij ) ∈ Mm×n(R) tal que pij = λaij , ∀i = 1,... , m, ∀j = 1,... , n.

Ejemplo 1.2.2 Sean las matrices A =

 (^) y B =

A + B =

2 A = 2

Las propiedades que verifican las matrices junto con las operaciones suma y producto por esca-

lares nos permiten resolver ecuaciones cuyas inc´ognitas son matrices.

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 5

Propiedades 1.2.8 El producto de matrices verifica las siguientes propiedades:

A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mp×n(R) y C ∈ Mn×q(R).

(λAB) = (λA)B, ∀A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mp×n(R) y ∀λ ∈ R.

A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mp×n(R) y C ∈ Mp×q(R).

(A + B)C = AC + BC, ∀A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mn×p(R) y C ∈ Mp×q(R).

(AB)

t = B

t A

t , ∀A ∈ Mm×p(R), B ∈ Mp×n(R).

AB = Θ ; A = Θ ´o B = Θ.

Es un ejercicio interesante, para comprender la no conmutatividad del producto de matrices,

calcular las potencias (A + B)

2 , (A − B)

2 , y el producto (A + B)(A − B). Tambi´en es interesante

construir un ejemplo que verifique la ´ultima propiedad de Propiedades 1.2.8.

Ejemplo 1.2.9 Sean A =

 (^) y B =

, entonces

AB =

Es f´acil apreciar que el producto BA no puede realizarse.

Definici´on 1.2.10 Sea A ∈ Mn(R), diremos que A es inversible si ∃C ∈ Mn(R) tal que

AC = CA = I.

En este caso, a la matriz C la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A

− 1

. Esta

matriz, de existir, es ´unica.

Ejemplo 1.2.11 Consideremos la matriz A =

, en este caso, la inversa de A es

A

− 1

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 6

Propiedades 1.2.12 Dados λ ∈ R \ { 0 }, y A, B ∈ Mn(R) inversibles se tienen las siguientes

propiedades:

(A

− 1 )

− 1 = A.

(λA)

− 1

1 λ

A

− 1 .

(AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 .

(A

t )

− 1 = (A

− 1 )

t .

Transformaciones elementales y rango de una matriz

Unas de las transformaciones b´asicas y m´as ´utiles que se pueden realizar sobre una matriz son

las llamadas transformaciones elementales (o de Gauss) por filas o columnas.

Definici´on 1.2.13 Llamaremos transformaci´on elemental por fila (resp. columna) sobre una ma-

triz a:

intercambiar dos filas (resp. columnas) entre si.

multiplicar una fila (resp. columna) por un n´umero no nulo.

sumar a una fila (resp. columna) un m´ultiplo de otra.

Una matriz no nula diremos que est´a reducida por filas si sus filas nulas est´an al final de la

misma y, caso de que dos filas consecutivas tengan elementos no nulos, entonces el primero no nulo

de la segunda fila est´a m´as a la derecha que el de la primera.

Ejemplo 1.2.14 La matriz A =

, no est´a reducida por filas, pero

B =

si lo est´a.

La matriz B la hemos construido a partir de A mediante transformaciones elementales:

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 8

Tenemos pues que A

− 1

1.3. Determinante de una matriz

Existen varias maneras de definir el determinante de una matriz. En este texto nos decantamos

por la que nos parece la m´as pr´actica posible, al dar un algoritmo claro de c´alculo en la propia

definici´on, que es mediante el desarrollo recursivo y la reducci´on por filas y/o columnas.

Definici´on 1.3.1 Dada la matriz A =

a 11 a 12

a 21 a 22

 ∈ M

2 (R),^ llamaremos determinante de^ A,

y lo denotaremos por det(A) ´o |A|, a a 11 a 22 − a 12 a 21 ∈ R.

Definici´on 1.3.2 Dada la matriz A ∈ Mn(R), llamaremos menor complementario de aij de A,

y lo denotaremos por Mij , al determinante de la submatriz de A que se obtiene de eliminar la

i−´esima fila y la j−´esima columna de A.

Definici´on 1.3.3 Dada la matriz A = (aij ) ∈ Mn(R), llamaremos adjunto del elemento aij , y lo

denotaremos por Aij , a (−1)

i+j por Mij.

El determinante de una matriz A es:

|A| = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + · · · + anj Anj para cualquier j = 1,... , n (desarrollo por columna)

= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + · · · + ainAin para cualquier i = 1,... , n (desarrollo por fila)

Los determinantes de orden tres pueden ser resueltos con facilidad aplicando la llamada regla

de Sarrus. Se deja al lector como ejercicio la b´usqueda de dicho m´etodo.

Ejemplo 1.3.4 Sea A =

, veamos su determinante haciendo, por ejemplo,

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 9

el desarrollo por la primera fila,

|A| = 2(−1)

1+

1+

4

5

Ahora hay que calcular cada uno de los 4 determinantes de la igualdad anterior. Este c´alculo lo

ejemplificaremos realizando el primero de ellos:

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 3 − 1

2

3

4

Luego |A| = − 5.

Es obvio que calcular un determinante de orden superior a cuatro de manera manual, y siguiendo

literalmente el anterior proceso, necesitar´ıa una cantidad elevad´ısima de pasos. Aunque tambi´en es

obvio que si, en una fila o columna, todos los elementos salvo uno fuesen nulos, s´olo tendr´ıamos

que calcular, en cada paso de la recurrencia, un determinante de orden inferior.

Siguiendo la anterior idea, y mediante transformaciones elementales por filas y/o columnas, va-

mos a hacer ceros los elementos de una fila o columna antes de aplicar la definici´on de determinante.

Propiedades 1.3.5 Sean

A = (A 1 |A 2 | · · · |Ai| · · · |Aj | · · · |An), B ∈ Mn(R).

Entonces:

Si permutamos dos filas o columnas de A, su determinante cambia de signo.

det((A 1 |A 2 | · · · |λAi| · · · |An)) = λdet(A), ∀λ ∈ R. (Igual para filas.)

det((A 1 |A 2 | · · · |Ai + λAj | · · · |Aj | · · · |An)) = det(A), ∀λ ∈ R. (Igual para filas.)

det((A 1 |A 2 | · · · |Ai 1 + Ai 2 | · · · |An))

q

det((A 1 |A 2 | · · · |Ai 1 | · · · |An)) + det((A 1 |A 2 | · · · |Ai 2 | · · · |An)).

(Igual para filas.)

CAP´ITULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 11

Ejemplo 1.3.12 Sea A =

. Los menores de orden 1 son los propios elementos de la

matriz, los menores de orden 2 son

y el ´unico menor de orden 3 es det(A) = 0. Por lo tanto, el orden mayor de los menores no nulos

es 2 , luego rang(A) = 2.

Es obvio que calcular a mano el rango de una matriz mediante el uso exclusivo del determinante

es un problema que requiere muchas operaciones. Por ello se impone el uso del m´etodo del orlado y,

m´as pr´actico a´un, mezclarlo con la reducci´on por filas y columnas. (Se deja al lector como ejercicio

la b´usqueda de estos m´etodos.)

Cap´ıtulo 2

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouch´e-Frobenius. M´etodo de resoluci´on de sistemas

de ecuaciones de Gauss-Jordan y Cramer.

Objetivos del cap´ıtulo

Consolidar los conceptos aprendidos con anterioridad.

Utilizar el teorema de Rouch´e-Frobenius para averiguar si un sistema es compatible y, en caso

afirmativo, si es determinado.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando los m´etodos de Gauss-Jordan y Cramer.

2.1. Primeros resultados te´oricos

Definici´on 2.1.1 Llamaremos sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas a toda expresi´on

del tipo:   

a 11 x 1 + · · · + a 1 nxn = b 1

. . .

am 1 x 1 + · · · + amnxn = bm

donde aij , bi ∈ R. Llamaremos soluci´on del sistema a cualquier n−upla (x 1 ,... , xn) de elementos

de R que verifique todas las ecuaciones.

La notaci´on matricial usual de un sistema de ecuaciones lineales es Ax = b, donde A = (aij ) ∈

Mm×n(R) se llama matriz de coeficientes del sistema, b = (bi) ∈ Mm× 1 (R) se llama matriz del

t´ermino independiente, y x = (xi) ∈ Mn× 1 (R) matriz inc´ognita.

Diremos que el sistema es homog´eneo si b = Θ y no homog´eneo en caso contrario.

CAP´ITULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 14

Ejemplo 2.2.2 Consideremos el sistema de ecuaciones lineales en las indeterminadas x 1 ,... , x 4 ,

Aplicando el teorema de Rouch´e-Frobenius es f´acil apreciar que el sistema es compatible indetermi-

nado. Resolvamos dicho sistema utilizando los dos m´etodos expuestos anteriormente.

M´etodo de Gauss-Jordan.- Mediante transformaciones elementales por filas de la matriz del

sistema anterior, encontramos una matriz equivalente a la primera (y por lo tanto un sistema

de ecuaciones equivalente),

18 5

A aquellas variables que no forman parte de un menor no nulo de orden m´aximo, en nuestro

caso hemos tomado x 4 , de la matriz de coeficientes del sistema las renombramos d´andole el

valor de un par´ametro, x 4 = λ, y las pasamos al t´ermino independiente de cada ecuaci´on,

1 3 − 3 − 1 − 3 λ

0 − 5 4 −1 + 3λ

18 5

λ

Este nuevo sistema, equivalente al primero, tiene una resoluci´on inmediata. De la ´ultima

ecuaci´on obtenemos x 3 = − 3 / 2 − 3 λ, de la segunda, tras sustituir el valor anterior, despejamos

x 2 , etc. Al final de este proceso tenemos:

   

x 1 = − 5 / 2 − 3 λ

x 2 = − 1 − 3 λ

x 3 = − 3 / 2 − 3 λ

x 4 = λ

M´etodo de Cramer.- El m´etodo de Cramer nos obliga a que la matriz de coeficientes del

sistema que estemos considerando tenga determinante distinto de cero. En nuestro caso la

matriz ni siquiera es cuadrada. Para resolver este sistema mediante el m´etodo de Cramer hay

que realizar algunos cambios preliminares.

En primer lugar hay que reescribir el sistema para que la matriz de coeficientes del mismo

sea cuadrada y tenga determinante no nulo. Para ello, fijada una submatriz de la matriz de

coeficientes de rango m´aximo, renombramos, y escribimos como par´ametros, las variables que

CAP´ITULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 15

no est´en en dicha submatriz, y las pasamos al t´ermino independiente. En nuestro caso vamos

a realizar esta operaci´on sobre x 4 , x 4 = λ,      

1 3 − 3 − 1 − 3 λ

2 1 − 2 − 3 − 3 λ

0 − 1 2 − 2 − 3 λ

Ahora nos encontramos en las condiciones que necesita la regla de Cramer, y por lo tanto,                     

x 1 =

1 − 6

− 1 − 3 λ 3 − 3

− 3 − 3 λ 1 − 2

− 2 − 3 λ − 1 2

15 + 18λ

x 2 =

1 − 6

1 − 1 − 3 λ − 3

2 − 3 − 3 λ − 2

0 − 2 − 3 λ 2

6 + 18λ

x 3 =

1 − 6

1 3 − 1 − 3 λ

2 1 − 3 − 3 λ

0 − 1 − 2 − 3 λ

9 + 18λ

x 4 = λ

Ejemplo 2.2.3 Dado el sistema de ecuaciones



a b 2

a 2 b − 1 3

a b b + 3

x

y

z

2 b − 1

vamos a estudiar su compatibilidad en funci´on de los par´ametros a y b.

Para conocer la compatibilidad del sistema podemos aplicar el teorema de Rouch´e-Frobenius.

Denotemos por A a la matriz de coeficientes del sistema,



a b 2

a 2 b − 1 3

a b b + 3

y por A

′ a su ampliada. Por lo tanto, tenemos que ver para qu´e valores de a y b se tiene rang(A) =

rang(A

′ ).

Comencemos estudiando las distintas posibilidades para rang(A) :

a b 2

a 2 b − 1 3

a b b + 3

= a(b

2 − 1)

Bibliograf´ıa

[1] Vigneron-Tenorio, A. Matem´aticas b´asicas para la econom´ıa y la empresa. Textos b´asicos

universitarios, 34. Servicio de Publicaciones de la Universidad de C´adiz (2004).

• adjunto, Indice alfab´etico
• diagonal principal,
• eliminaci´on de Gauss-Jordan,
• matriz,
  • adjunta,
  • columna,
  • cuadrada,
  • equivalente por filas/columnas,
  • fila,
  • identidad,
  • inversa,
  • nula,
  • producto,
  • sim´etrica,
  • suma,
  • traspuesta,
  • triangular inferior,
  • complementario, menor
• rango,
• regla de Sarrus,
• Rouch´e-Frobenius,
  • compatible e incompatible, sistemas de ecuaciones
  • homog´eneos,
  • no homog´eneos,
• transformaciones elementales,