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IV UNIDAD: MATRICES Y DETERMINANTES
2.1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se denomina matriz a todo arreglo rectangular de m n elementos del conjunto R o C en filas y
columnas.
Notación :
(i) A las matrices se les designa con letras mayúsculas: A , B , C , D , E ,...
(ii) A los elementos de la matriz se los designa por aij , con i = 1, 2, 3,.. ., m y j = 1, 2,
3,... , n ; aij es un elemento o entrada de la matriz , donde i es la fila i-ésima y j es la
columna j-ésima
(iii) A los elementos de la matriz se les encierra mediante un paréntesis o un corchete.
Ejemplo:
Sea la matriz
m m m mn
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
A menos que se diga lo contrario, supondremos que todas las matrices están compuestas
totalmente por números reales. Al usar la palabra escalar, éste es un número real, a menos que
se indique que los elementos de las matrices son números complejos, en cuyo caso los escalares
también pueden ser números complejos.
La i-ésima fila de A es: [ai1 ai2... ain]; ( 1 ≤ i ≤ m)
Mientras que la j-ésima columna de A es: , ( 1 )
2
1
j n
a
a
a
mj
j
j
Notación abreviada de una matriz
Sea la matriz A tal que: A = [aij]mxn ; m, n εN → i ε[1, m], i εN ; j ε [1, n]; j εN
Sea la matriz A = [ aij ]2x7 , se interpretará como que:
(1°) Es una matriz que tiene 2 filas y 7 columnas.
(2°) El “desarrollo” de esta notación será en consecuencia: 1≤ i ≤ 2; 1≤ j ≤ 7
Esto es:
21 22 23 24 25 26 27
11 12 13 14 15 16 17
a a a a a a a
a a a a a a a
A 2 filas
7 columnas
2.2. ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz está definido por la expresión: m n; donde: m ε N , n ε N
El símbolo mXn se lee “m por n”, producto indicado que señala que la matriz tiene m filas y n
columnas. El producto mXn , indica el número de elementos o entradas que tiene la matriz.
Ejemplo: La matriz:
A
es de orden 2x4, es decir tiene 2 filas y 4 columnas, en consecuencia, tiene 8 elementos o entradas.
2.3. TIPOS DE MATRICES
2.3.1. Matriz rectangular
Si m ≠ n , decimos que la matriz es una matriz rectangular de orden m x n. Una matriz [Aij]3x5, es
una matriz rectangular de orden 3x5.
2.3.2. Matriz cuadrada
Cuando m = n , la matriz es una matriz cuadrada de orden n. Así, la matriz [Bij]3x3, es de orden
3 x 3 , pero se dice simplemente que es una matriz cuadrada de orden 3.
Ejemplos :
= −
− −
=
4 5 3
2 1 0
1 3 2
4 5 3 1 0
3 2 1 0 0
2 3 2 2 0
A B
A es una matriz rectangular de orden 3x5 y B es una matriz cuadrada de orden 3.
2.3.3. Matriz fila
Cuando la matriz es de orden 1 x n , se llama matriz fila , por tener una fila y n columnas.
2.3.4. Matriz columna
Si la matriz es de orden m x 1 , se llama matriz columna , por tener m filas y una columna.
Ejemplos : [1 - 2 4 12 - 9 7], es una matriz fila de orden 1x6, y la matriz
−
2
4
5
3
1
, es una matriz columna de 5 1.
Observación importante:
Una matriz no está asociada a un valor numérico, el determinante de una matriz si está asociado
a un valor.
2.4. IGUALDAD DE MATRICES
Definición
Ejercicios y problemas propuestos
1. ¿Cuál es la dimensión de cada una de las siguientes matrices?
=
= −
−
= =
=
4
0
0
2
1
,
1 3 4
1 2 6
1 2 5
,
1 2 1 0
2 3 1 2
1 4 1 1
, 1 2 3 ,
3 1
4 1
1 2
A B C D E
2. Determinar la matriz:
y
C
xy y x
x y sisesabequeB C donde B
y
x xy
x y x y
A
3. Resolver las ecuaciones:
i) a 12 − a 24 = 0
ii) a 22 a 33 a 44 + a 41 = 0
iii) a 41 a 24 − 2 a 11 a 32 = 0
si se sabe que los coeficientes son elementos de la matriz
A =
− +
−
−
−
2 1 3 3
2 5 3 2
0 3
8 1 1 2
x x
x x
4. Si A =
B
Determinar las matrices M y N , de orden 3x3, si sus elementos se definen a partir de los
elementos de las matrices A y B, mediante:
ij^2 3 ( ij ij )
ij ij ji
n i a b
m ia jb
5. Si las matrices A y B son cuadradas de orden 3, y se definen mediante:
aij = i – j bij = 2i - j
6. Una matriz cuadrada Z de orden 3, se define de la siguiente manera:
z cuandoi j
z z cuandoi j
ij
ij ji
Si se conocen los elementos: z 12 = 2, z 23 =5 y z 13 = 0. Escriba la matriz Z
2.6. OPERACIONES CON MATRICES
2.6.1. Adición de matrices
Definición. La suma S de las matrices A = [aij]mxn y B = [ bij ]mxn es una matriz de la misma
dimensión de los sumandos, en la que cada elemento de la suma, es la suma de los elementos
correspondientes de A y B.
Entonces, si S = A + B , se cumplirá:
sij = aij + bij , par i j.
+ = B + A ij ijmxn b a
ij ij ij mxn
a +( b + c )
ij ij ij mxn ij ij ijmxn
a + ( b + c ) = ( a + b )+ c
ij ij mxn
a + b
ij ijmxn ij ij mxn
a + b = b + a
Ejemplo 1 Dadas las matrices P y Q , calcular P + Q : si
P Q
Resolución
Como cada elemento de la suma es la suma de los elementos correspondientes de P y Q , se
tiene:
P + Q =
−
=
2 3
5 0
3 9
3 ( 1 ) 10 7
2 3 8 ( 8 )
1 2 5 4
Observaciones:
(1) Solamente se pueden sumar matrices equidimensionales.
(2) Cuan do dos matrices son del mismo orden o dimensión pueden sumarse y se dice que
son conformes o conformables respecto a la adición.
Ejemplo 2. Las matrices: A = ,
y B no se pueden sumar por ser matrices
de distinto orden ( 2x1 y 2x 3) ; es decir, no son con formables con respecto a la adición.
Ejemplo 3. Si el elemento aij de la matriz A muestra la cantidad de pasajeros que usan un
ómnibus de la ciudad i a la ciudad j , se definen las matrices M 3x5 y J 3x5, que ponen de manifiesto
el volumen del tráfico de dos días de la semana; digamos martes y jueves:
2 4 3 24 15
13 8 12 15 1
22 11 17 21 0
1 14 0 14 25
14 20 19 17 0
12 15 10 20 0 A J
¿Cuál es la cantidad de pasajeros transportados en los dos días señalados?
Resolución
La suma de los pasajeros transportados en los dos días es:
=
3 18 3 38 40
27 28 31 32 1
34 26 27 41 0
S
Propiedades de la adición:
Si A , B y C son matrices de orden mxn se pueden demostrar dos propiedades de la adición de
matrices usando, para los elementos, las propiedades de los números reales.
i) Conmutativa
A + B =
Pero (propiedad conmutativa de los números reales)
En consecuencia:
A + B = B + A
ii) Asociativa
A + ( B + C ) =
Pero (Propiedad asociativa de los números)
Lqq d
A B a b a b a b a b ij ijmxn ij ij mxn ij ijmxn ijmxn ijmxn
A B A B
ij mxn
− A =(− 1 ) a
ij (^) mxn ij mxn a +− b
ij ij mxn A − B = a − b
iii) Distributiva con respecto a la suma de matrices
iv) Propiedad de la unidad: 1 A =A
Observaciones :
1. En la multiplicación de una matriz por un escalar nada impide que el escalar sea la unidad
negativa: - 1, entonces se cumple: (-1)A = [(-1) aij]mxn
La matriz - A se llama negativa de A y funciona como inversa aditiva.
Los elementos de la inversa aditiva de A, son elementos de la matriz A, con signo
cambiado.
2. Lo indicado en la observación 1 nos permite efectuar la diferencia de matrices:
A – B = A + (- B ) =
En la práctica, bastará restar los elementos correspondientes, tal como se muestra en el ejemplo 8.
3. Si se restan dos matrices iguales, se obtiene una matriz que posee sólo ceros. Esta matriz
es la matriz nula o cero, que denotaremos [ 0 ] A – A = [ 0 ]
Es decir, una matriz N es nula, si nij = 0 , para todo par i j de subíndices. Usamos [ 0 ]
en lugar de 0 para diferenciarlo del cero escalar, 0.
La matriz nula es la neutra aditiva, ya que satisface:
A + [ 0 ] = A
4. Si se conocen las matrices equidimensionales A y B, y se tiene
X + A = B expresión en la que X es desconocida. Con los elementos correspondientes debe
cumplirse:
xij + aij = bij y también: xij = bij - aij
en consecuencia: X = A – B
Entonces: X + A = B implica X = B – A
En consecuencia, existe un Álgebra matricial donde es permitida la transposición de sumandos,
tal como se hace en el álgebra ordinaria.
Ejemplo 6. La matriz - A, es la inversa aditiva de A.
A A
Observamos que los elementos de la matriz – A, son iguales y de signo contrario que los
elementos de la matriz A.
Es evidente que la suma de las matrices A y – A es la matriz nula:
A + (- A ) = [ 0 ]
Ejemplo 7. Para efectuar la diferencia de de dos matrices, bastará restar elemento a elemento:
−
−
−
− =
−− − −
− −−
− −
=
−
− −
−
− =
4 17
1 16
1 1
3 ( 1 ) 10 7
2 3 8 ( 8 )
1 2 5 4
1 7
3 8
2 4
3 10
2 8
1 5
A B A B
Ejemplo 8. Dadas las matrices A y B ,
− −
−
−
−
=
−
−
−
=
0 3 4
2 0 7
10 11 3
3 2 6
1 3 9
6 0 0
0 1 2
2 3 8
A B
determinar una matriz X, si se sabe que : A + X = B
De la condición, se puede despejar la matriz incógnita X, obteniendo:
X = B – A
Luego:
− −
− −
−
−
=
−
−
−
−
− −
−
−
−
=
1 6 5
4 0 7
10 10 5
1 1 2
1 3 9
6 0 0
0 1 2
2 3 8
0 3 4
2 0 7
10 11 3
3 2 6
X
2.6.3. Multiplicación de matrices
Producto de dos matrices
Definición. Dada una matriz A =[ a ij]mxn y otra B = [ b ij]nxp, el producto AB es una matriz C , tal
que ,
1
n
k
cij aikbkj donde el índice k varía desde i hasta n.
Es decir, si c ij es el producto escalar de la fila i de la matriz premultiplicadora A por la columna
j de la matriz posmultiplicadora B.
Veamos un ejemplo numérico, con las matrices:
−
=
−
−
3 2
5 7
2 1
0 0 1
4 2 1
3 2 1
1 2 0
A y B
Según la definición, como A es una matriz de orden 4x3 y B es de orden 3x2,el producto C = AB ,
será una matriz de orden 4x2.
−
−
−
=
− −
−
0 3
2 2
0 0
2 0
2 1
1 1 2
0 0 3
3 2 1
1 2 0
A B C
Los posible productos, de acuerdo a la teoría de permutaciones son seis: AB , BA , BC , CB ,
AC , CA , puesto que: Pn = P 3 = 3! = 6
De los seis productos, las únicas matrices conformables son: AB y BC. Veamos:
−
−
− −
=
− − − − − −
− + − + − − + +
=
−
−
− −
−
4 1
0 0
10 3
2 1
1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 ) 2 ( 0 )
0 ( 2 ) 0 ( 2 ) 3 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 3 ( 0 )
3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 0 ) 3 ( 1 ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 )
1 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 ( 0 ) 1 ( 1 ) 2 ( 0 ) 0 ( 0 )
0 0
2 0
2 1
.
1 1 2
0 0 3
3 2 1
1 2 0
AB
−
−
=
− + − − +
− − −
=
−
−
−
=
0 0
4 4
4 7
0 ( 2 ) 0 ( 0 ) 0 ( 2 ) 0 ( 3 )
2 ( 2 ) 0 ( 0 ) 2 ( 2 ) 0 ( 3 )
2 ( 2 ) 1 ( 0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 3 )
0 3
2 2 .
0 0
2 0
2 1
BC
Propiedades del producto de dos matrices
i) Propiedad asociativa
Si A mxn, B nxp y C pxq son tres matrices, se cumple:
( AB ( C = A ( BC ) es una matriz de orden mxq
Como ( AB ) C = A ( BC ), se puede escribir simplemente ABC.
ii) Propiedades distributivas
Distributividad por premultiplicación o por la izquierda
A ( B + C ) = AB + AC
Distributividad por posmultiplicación o por la derecha
( D + E ) F = DF + EF
iii) Producto por un escalar
Si es un escalar y , A mxn y B nxp, matrices conformables para la multiplicación, se
cumple:
( AB ) =( A ) B = A ( B )=( AB )
Observaciones importantes
i) La multiplicación de matrices no es, por lo general, conmutativa.
Así, si A mxn y B nxm, se tendría [ AB ]mxm y [ BA ]nxn. Como no son equidimensionales (m
n), las matrices [ AB ] y [ BA ] no pueden ser iguales.
Ejemplo 2. Dadas las matrices A 2x4 y B 4x2, se pueden ejecutar tanto AB como BA , pero no serán
iguales, como es fácil comprobar:
=
=
0 3 6 9
3 4 5 6
6 5 4 3
9 6 3 0
3 2 1 0
0 1 2 3 .
3 0
2 1
1 2
0 3
4 14
14 4
3 0
2 1
1 2
0 3
. 3 2 1 0
0 1 2 3 AB BA
Se tiene que el primer producto, AB , es de orden 2x2 y el segundo, BA , de orden 4x4, entonces
son de diferente orden y el producto de matrices no es conmutativo.
Cuando las matrices A y B sean de la misma dimensión, un contraejemplo mostrará igualmente
que AB BA.
AB BA
ii) Sin embargo hemos mencionado que la multiplicación de matrices no es por lo general conmutativa, porque en algunos casos ocurre AB = BA. Se dice entonces que
tales matrices “conmutan una con otra” o también son matrices conmutables o
permutables.
Ejemplo 3.
−
− − =
−
− −
− =
−
− − =
− −
−
−
= 6 4
7 6
2 0
1 2 . 2 4
3 2
6 4
7 6
2 4
3 2 . 2 0
1 2 CD DC
Se observa que las matrices C y D , son conmutables o permutables.
Si ocurriera, AB = - BA , las matrices se denominan anticonmutables o antipermutables.
Ejemplo 4.
− −
=
−
− −
=
− −
− −
−
= 19 7
7 1
5 1
1 1 . 9 2
2 1
19 7
7 1
9 2
2 1 . 5 1
1 1 AB BA
Como es fácil comprobar: AB = - BA , y las matrices son anticonmutables o antipermutables.
Por lo visto, tendremos que convenir que, por lo general, AB BA.
El producto de dos matrices, por lo general, no es conmutable.
iii) Si A y B son matrices no nulas, AB puede ser la matriz nula.
Esta observación es muy importante, pues es contraria con lo que ocurre con los números
reales. El siguiente ejemplo muestra esta propiedad, que es necesario tener siempre presente.
Ejemplo 5.
=
−
− −
−
− −
−
− −
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 3 5
1 3 5
1 3 5
.
2 2 4
1 3 4
1 2 3
AB
En consecuencia, si el producto de dos matrices es cero: AB = [ 0 ], no implica necesariamente
que cada factor sea cero, es decir que A = [ 0 ] o que B = [ 0 ]
iv) La igualdad AP = AQ , no implica necesariamente que las matrices P y Q sean iguales.
Propiedades:
i) La matriz cero es el elemento neutro aditivo del Álgebra Matricial
A + 0 = A
0 + A = A
ii) El producto del escalar cero por una matriz cualquiera es la matriz cero
0 A = 0
iii) Cualquier escalar por la matriz cero es la matriz cero
p 0 = 0 , p R
iv) La premultiplicación o posmultiplicación de una matriz por la matriz cero es la matriz
cero
0 0
=
=
A
A
2.7.2. Matriz transpuesta
La matriz transpuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz A’ o A t de orden nxm que se
obtiene a partir de la matriz A , permutando filas por columnas.
Ejemplo 3. Son matrices transpuestas las siguientes:
−
−
0 6 4 3
1 1 3 8 A
−
−
8 3
3 4
1 6
1 0
t A
Donde observamos que la primera fila de la matriz A , 1 - 1 3 8, ha pasado a ser la primera
columna de la matriz
t A y la segunda fila de la matriz A , 0 6 4 - 3 , ha pasado a ser la
segunda columna de la matriz
t
A. Pero en forma similar, la primera columna de la matriz A ,
1 0, ha pasado a ser la primera fila de la matriz
t
A, la segunda columna de la matriz A , - 1 6,
ha pasado a ser la segunda fila de la matriz
t
A, y así sucesivamente.
Notación. Si se tiene una matriz ^ ^ ^
mxn (^) ij mxn A^ = a su transpuesta es la matriz
t
A de orden nxm,
definida por ji nxm
t t A = a.
Propiedades:
i) La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la matriz original
En efecto, ( ) ( ) ( ) ij
t ji
tt ij
t t A = a = a ' = a
( A ) A
t t
ii) La transpuesta de una suma de matrices es la suma de la transpuesta de los
sumandos.
En efecto, ( A + B )t^ = ( )
t t t ij
t ij
t a (^) ij + bij = a + b = A + B
( )
t t t A + B = A + B
iii) La transpuesta de la matriz k A es k veces la transpuesta de la matriz A.
(^ )^
t kveces
t En efecto , kA = A + A + A +...
( kA ) kA k R
A A A kA
t t
t kveces
t t t
=
= + + + =
,
...
iv) La transpuesta de un producto de matrices es el producto de las transpuestas, pero
en orden inverso. Es decir: ( ).
t (^) t t
AB = BA
Ejemplo 4. Dada la matriz A , comprobar que la transpuesta de la matriz A , es la misma matriz
A , es decir: ( A ) A t t =
− −
−
9 7 2 3
1 3 0 9 A
En efecto:
( )
.
L.q.q.c. 9 7 2 3
1 3 0 9 A
9 3
0 2
3 7
1 9
A
9 3
0 2
3 7
1 9
A t tt
− −
− =
− −
−
=
− −
−
=
Ejemplo 5. Dadas las matrices A y B, comprobar que se cumple: ( ).
t t t A + B = A + B
En efecto dadas las matrices: A =
1 1 1
0 0 0
2 4 6
1 3 5
y B =
5 5 5
0 0 0
2 2 2
0 0 0
A + B =
( )
+ =
5 8 0 6
3 6 0 6
1 4 0 6
6 6 6
0 0 0
4 6 8
1 3 5
t A B
Por otro lado, se cumple:
+ =
=
=
5 8 0 6
3 6 0 6
1 4 0 6
0 2 0 5
0 2 0 5
0 2 0 5
5 6 0 1
3 4 0 1
1 2 0 1 t t t t A y B A B
A =
−
−
17
7
7
1
0 0 0
0 8 2
2 9 12
9 10 11 B =
−
−
12 1 7 100
0 0 10 5
1 8 8 18
1 2 3 7
2
9
0 4
La diagonal principal o simplemente diagonal de la matriz A es: 1 7 - 7 17.
La diagonal secundaria de la matriz A es: 0 8 - 9 11.
La diagonal principal de la matriz rectangular B es: 0 - 4 9 - 2
Traza de una matriz cuadrada
Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de sus elementos de su diagonal principal. La
traza de una matriz A se denota Tr( A ).
La traza de una matriz A nxn = [aij], se define matemáticamente como:
=
n
k
Tr A akk 1
( )
Ejemplo 9 Determinar la traza de la matriz cuadrada A. A =
−
−
0 0 0 17
0 8 7 2
2 7 9 12
1 9 10 11
Como su diagonal principal es: 1 7 - 7 17, su traza es: Tr( A ) = 1+ 7 + (-7) + 17 = 18.
2.7.5. Matriz simétrica
Si A es una matriz cuadrada, A es una matriz simétrica si ella y su transpuesta son iguales.
A = A ’
En consecuencia a ij = aji , i , j
Es decir, los elementos simétricos con respecto a la diagonal son iguales (aij = aji )
Ejemplo 10. Son simétricas las matrices:
A =
2 3
1 2 B =
− −
− − −
−
5 0 21 5
3 11 1 21
2 10 11 0
1 2 3 5
Así, en la matriz B se cumplen, entre otras cosas, las igualdades:
b 13 = b 31 = 3 , b 23 = b 32 =− 11
2.7.6. Matriz antisimétrica
Si A es una matriz cuadrada, A es una matriz antisimétrica si la suma de ella y su transpuesta es
la matriz nula.
A + A’ = [ 0 ] o también A = - A’
a si i j
Encon uencia a a si i j
ij
ij ji
sec : ,
Es decir, los elementos simétricos con respecto a la diagonal suman cero ( + = 0 ),
aij aji
y los
elementos de la diagonal principal son nulos ( aij + aji = 0 ), y los elementos de la diagonal
principal son nulos (aii = 0 ).
Ejemplo 11. Son antisimétricas las matrices:
A =
−
2 0
0 2 B =
− − −
−
−
−
5 8 21 0
3 11 0 21
2 0 11 8
0 2 3 5
Así, en la matriz B, se cumplen entre otras, las igualdades: b 13 + b 31 = 0 , b 24 + b 42 = 0. Pero
los elementos de la igualdad principal son todos nulos:b 11 = b 22 = b 33 = b 44 = b 55 = 0.
Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas:
i) La suma de dos matrices simétricas (antisimétricas), es una matriz simétrica
(antisimétrica).
ii) El producto de dos matrices simétricas A y B, no es una matriz simétrica, pero se
cumple: AB = (BA)’
iii) Si P es una matriz cuadrada cualquiera, P +
t
P es una matriz simétrica, y P -
t
P
es una matriz antisimétrica.
iv) Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica
Es decir: P =
( P + P
t ) +
( P – P
t )
v) Si Q es una matriz cualquiera, entonces tanto Q t Q como QQ t , son matrices
simétricas
vi) La traza de una matriz antisimétrica es cero.
Ejemplo 12. Comprobar que la suma de las matrices simétricas dadas, es una matriz simétrica.
. ...
8 5 9
2 3 5
5 2 8
5 4 7
2 2 4
4 2 5
3 9 2
4 5 9
1 4 3
Lqq c
=
−
− − −
−
Ejemplo 13. Comprobar que la suma de matrices antisimétricas dadas, es una matriz
antisimétrica.
....
2 7 0
1 0 7
0 1 2
2 1 0
1 0 1
0 1 2
4 8 0
2 0 8
0 2 4
Lqq c
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
Ejemplo 16.
−
−
0 0 0 2
0 0 3 5
0 3 2 1
2 4 1 4 , es una matriz triangular superior. En ella se observa que los
elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
2.7.7.2. Matrices triangulares inferiores
Una matriz cuadrada A es triangular inferior, si aij = 0 , para i j. Es decir, los elementos
situados por encima de la diagonal principal son necesariamente ceros.
Nota : Si los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros, la matriz es
una matriz diagonal, como ya estudiaremos más adelante.
Ejemplo 17
−
−
1 14 541 97
2 12 3 0
3 1 0 0
145 0 0 0 , es una matriz triangular inferior. Todos los por encima de
la diagonal principal son ceros.
Propiedades de las matrices triangulares
i) La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior, y
viceversa.
ii) La suma y el producto de dos matrices superiores (inferiores), son matrices triangulares superiores (inferiores).
iii) Una matriz cuadrada 1 es el producto de una matriz triangular inferior con elementos
iguales a la unidad en la diagonal principal, por una matriz triangular superior.
iv) Una matriz simétrica^2 es igual al producto de una matriz triangular inferior por su
transpuesta.
Ejemplo 18. Comprobar que las transpuestas de una matriz triangular T, es una matriz triangular inferior.
T =
Triangular superior
0 0 0 10
0 0 8 9
0 5 6 7
1 2 3 4 T = Triangularinferior
4 7 9 0
3 6 8 0
2 5 0 0
1 0 0 0
Ejemplo 19. Comprobar que la suma y el producto de dos matrices triangulares superiores dadas son triangulares superiores.
(^1) En realidad, solamente pueden ser factorizadas las matrices que posean inversa, es decir, las matrices inversibles
(ver más adelante). (^2) Igualmente, solamente puede descomponerse en el producto indicado las matrices que posean inversa (ver más
adelante).
Tirangularsuperior
Triangularsuperior
=
=
0 0 0 110
0 0 72 179
0 30 89 177
2 15 45 95
0 0 0 11
0 0 9 10
0 6 7 8
2 3 4 5
0 0 0 10
0 0 8 9
0 5 6 7
1 2 3 4
0 0 0 21
0 0 17 19
0 11 13 15
3 5 7 9
0 0 0 11
0 0 9 10
0 6 7 8
2 3 4 5
0 0 0 10
0 0 8 9
0 5 6 7
1 2 3 4
.
Si las matrices sumadas o multiplicadas fueran triangulares inferiores, la suma y el producto de
ellas serían matrices triangulares inferiores.
2.7.8. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada A e s diagonal si a 0 , cuandoi j.
ij =
Se le define también como matriz triangular superior-inferior.
Ejemplo 20. Sea la matriz diagonal: D =
−
0 0 0 0 9
0 0 0 11 0
0 0 5 0 0
0 3 0 0 0
2 0 0 0 0
Esta matriz diagonal puede escribirse simplificadamente también:
D = diag (2; 3; 5; - 11; 9)
Propiedades
i) La transpuesta de una matriz diagonal es ella misma: D = D t
ii) La suma y el producto de dos matrices diagonales son matrices diagonales.
iii) El producto de matrices diagonales es siempre conmutable o permutable.
iv) La potencia de una matriz diagonal, es también una matriz diagonal. Esto es:
[ diag (a; b; c;... ; k)]n^ = diag (an; bn; cn;... ; kn)
v) Si una matriz diagonal D premultiplica a una matriz A , los elementos de la matriz
diagonal afectan las filas de la matriz A.
vi) Si la matriz diagonal D posmultiplica a una matriz A , afecta las columnas.
Ejemplo 21. Calcular la matriz
5
A , si se conoce: A =
0 0 3
0 2 0
1 0 0
Los cálculos son: A 5 =
=
=
0 0 243
0 32 0
1 0 0
0 0 3
0 2 0
1 0 0
0 0 3
0 2 0
1 0 0 5
5
5
(^55)
A
