¡Descarga Apuntes de Álgebra: Triángulos de Pascal, Determinantes y Espacios Vectoriales - Prof. Mas y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Cap´ıtol 1
Preliminars (Continuaci´o)
El cap´ıtol de preliminars de l’assignatura d’ Algebra consta dels seg¨` uents apartats
- Teoria b`asica de conjunts
- Raonament matem`atic
- Introducci´o a la combinat`oria
- Grups, anells i cossos
El primer apartat d’aquest cap´ıtol ja l’hem vist al curs conjunt de preliminars que hem fet amb l’assignatura de Logica. Pel que fa al segon apartat, inclos tamb´e en aquest curs conjunt de preliminars, ja heu vist, a les classes de l’assignatura de Logica, que hi ha diverses tecniques per provar teoremes com s´on el metode exhaustiu, refutaci´o per contraexemple, el metode directe, contraposici´o, contra- dicci´o o reducci´o a l’absurd i el metode grafic. A continuaci´o veurem un altre metode que ´es l’anomenat metode d’inducci´o matem`atica.
Principi d’inducci´o
El metode d’inducci´o matematica o principi d’inducci´o, ´es una de les t`ecniques m´es ´utils per provar la certesa d’una propietat sobre els nombres naturals, o sobre un conjunt qualsevol on es pugui definir un ordre total.
Suposem que volem provar que una propietat o un enunciat P (n) s´on certs per a cada enter positiu n. El principi d’inducci´o ens afirma que si:
- P (1) ´es certa (pas b`asic), i
- sempre que P (k) sigui certa (hip`otesi d’inducci´o), aleshores P (k + 1) tamb´e ho ´es (pas inductiu)
aleshores P (n) ´es certa per a tot n ≥ 1.
Exemple 1. Suposem que volem provar per inducci´o que ∑^ n
i=
i = 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1) 2
Primer hem de comprovar si la propietat se satisf`a per a n = 1, ´es a dir si
1(1 + 1) 2
que clarament se satisfa. Despr´es, hem de comprovar si se satisfa el pas d’inducci´o. Per aixo suposem que la propietat se satisfa per a n = k i vegem que aleshores tamb´e se satisf`a per a n = k + 1. Tenim doncs que
∑^ k
i=
i = 1 + 2 + · · · + k =
k(k + 1) 2
i volem veure que
∑^ k+
i=
i = 1 + 2 + · · · + k + k + 1 =
(k + 1)(k + 2) 2
Ara b´e, ∑k+
i=
i = 1 + 2 + · · · + k + k + 1 =
∑^ k
i=
i + (k + 1)
i aplicant la hip`otesi d’inducci´o obtenim que
∑^ k
i=
i + (k + 1) =
k(k + 1) 2
k(k + 1) + 2(k + 1) 2
(k + 1)(k + 2) 2
que ´es el que hav´ıem de comprovar.
De vegades la propietat que volem demostrar no se satisfa per a tots els enters positius, sin´o que se satisfa a partir d’un cert enter n 0. Igualment podem aplicar el principi d’inducci´o, pero, el pas basic no ser`a comprovar que la propietat ´es certa per a n = 1, sin´o per a n = n 0. Vegem-ne un exemple.
Exemple 2. Provau que 4 n < n^2 − 7 per a tot n ≥ 6 Vegem que el primer natural que ha de satisfer la propietat anterior, que ´es n = 6, la satisfa. Ja que 4 · 6 = 24 ´es m´es petit que 62 − 7 = 36 − 7 = 29. Suposem ara que la desigualtat se satisfa per a tots els naturals des de 6 fins a k, ´es a dir per a tot n tal que 6 ≤ n ≤ k tenim que 4 n < n^2 − 7 , i vegem que tamb´e se satisf`a per a n = k + 1. D’una banda tenim que
(k + 1)^2 − 7 = k^2 + 2k − 6
Suposau que voleu demostrar que n^5 ≥ n^4 , ∀n ≥ 1. Intentau fer-ho per inducci´o i veureu que no ´es f`acil. En canvi, ho podem fer directament,
n^5 ≥ n^4 ⇔
n^5 n^4
≥ 1 ⇔ n ≥ 1.
Una altra variant del principi d’inducci´o ´es l’anomenada formulaci´o forta del prin- cipi d’inducci´o. Direm que P (n) ´es certa per a tot n ≥ n 0 , si
a) P (n 0 ) es certa (pas b`asic),
b) Si P (n 0 ),... , P (k−1), P (k) es compleixen per a k ≥ n 0 (hip`otesi d’inducci´o), tamb´e es compleix P (k + 1) (pas inductiu).
Aleshores P (n) es compleix per a tot enter n ≥ n 0.
Per exemple, considerau la successi´o, a 1 = 1, a 2 = 2, an = an− 1 + an− 2 per a n ≥ 3 i demostrau que
an <
)n
per a tot n ≥ 1.
- Introducci´o a la combinat`oria
En aquesta secci´o estudiarem tecniques basiques de recompte, aplicades a diferents problemes:
- Comptar els elements d’un conjunt, com per exemple els elements de A ∩ B o els de A × B, amb els principis de l’addici´o, d’inclusi´o–exclusi´o i de la multiplicaci´o.
- Comptar les maneres de seleccionar k objectes de n, amb o sense repetici´o, i tenint en compte, o no, l’ordre d’aquests objectes. Es la combinat`´ oria cl´assica: permutacions, combinacions i variacions.
- Comptar les formes en qu
e es poden repartir objectes en caixes, per a la qual cosa emprarem la combinatoria cl´assica i tamb´e els anomenats nombres de Stirling de segona esp`ecie i els nombres multinomials.
Anomenam cardinal d’un conjunt A al nombre d’ elements que t´e. El denotam per |A|.
Tractarem amb conjunts finits. Formalment, direm que un conjunt A t´e n elements si es pot establir una bijecci´o entre { 1 , 2 ,... n} i A.
Principi de l’addici´o
- En termes de conjunts, el principi de l’addici´o estableix que si dos conjunts s´on disjunts, aleshores el cardinal de la uni´o ´es la suma dels cardinals:
|A ∪ B| = |A| + |B|, si A ∩ B = ∅
Si generalitzam, tenim: |A 1 ∪... ∪ An| = |A 1 | +... + |An| si els conjunts A 1 ,... , An s´on disjunts dos a dos.
- Una altra manera d’enunciar aquest principi seria: “Si tenim n caixes i en la caixa i hi ha ri objectes, en total hi ha r 1 +... + rn objectes”.
Exemple 4. Hi ha tres grups d’alumnes matriculats en una assignatura; un de 56, un altre de 51 i el tercer de 36. Aleshores el total d’alumnes matriculats en l’assignatura ´es 56 + 51 + 36 = 143.
Exemple 5. Hi ha tres professors d’informatica. Un d’ells t´e cinc llibres de progra- maci´o, un altre quatre i el tercer vuit. Si n ´es el nombre de llibres de programaci´o diferents que tenen entre tots tres, se satisfa que m`ax { 5 , 4 , 8 } ≤ n ≤ 5 + 4 + 8, ´es a dir, 8 ≤ n ≤ 17.
Principi de les caixes
El principi de l’addici´o ens permet afirmar, en particular, que si tenim n caixes i en cada caixa, com a molt, hi ha un objecte, en total hi haura m objectes, amb m ≤ n. Si donam la volta a l’argument tenim el principi de les caixes: “Si tenim m objectes repartits en n caixes i m > n, aleshores hi haura almenys una caixa que tengui m´es d’un objecte”.
Exemple 6. En un grup de 13 o m´es persones, segur que n’hi ha almenys dues que compleixen els anys el mateix mes. Segons el principi de les caixes, els objectes s´on les persones i les caixes s´on els mesos.
El principi de les caixes generalitzat diu el seg¨uent: “Si tenim m objectes repartits en n caixes i m > r · n, aleshores hi haur`a alguna caixa que contengui m´es de r objectes”.
Exemple 7. Aquest principi ens permet assegurar que en un grup de m´es de 60 persones n’hi ha almenys sis que compleixen els anys el mateix mes.
Els objectes s´on les persones, m > 60 i les caixes s´on els mesos, n = 12. Com que m > 12 · 5 , podem afirmar que hi ha alguna caixa amb m´es de cinc objectes, ´es a dir, hi ha almenys sis persones que compleixen els anys el mateix mes.
per tant α 1 = 500 + 333 + 200 = 1033.
Ara, |A 2 ∩ A 3 | = [^10006 ] = 166 s´on els m´ultiples de 6 que hi ha entre 1 i 1000 ; |A 2 ∩ A 5 | = 100010 = 100 s´on els m´ultiples de 10 i |A 3 ∩ A 5 | = [^100015 ] = 66 s´on els m´ultiples de 15. Per tant, α 2 = 166 + 100 + 66 = 332.
Finalment, |A 2 ∩ A 3 ∩ A 5 | = [^100030 ] = 33 = α 3.
Aleshores,
|A 2 ∪ A 3 ∪ A 5 | = α 1 − α 2 + α 3 = 1033 − 332 + 33 = 734
Hi ha 734 nombres enters entre 1 i 1000 que s´on divisibles per 2 , 3 o 5.
Principi de la multiplicaci´o
- En termes de conjunts, el principi de la multiplicaci´o estableix que el cardinal d’un producte cartesi`a d’un nombre finit de conjunts finits ´es el producte dels cardinals dels conjunts. Per a dos conjunts: |A × B| = |A| · |B|. Si generalitzam per a n conjunts: |A 1 ×... × An| = |A 1 | ·... · |An|.
- Tamb´e es pot enunciar aquest principi com: “Si una tasca consta de n tre- balls, i cada treball i es pot realitzar de ri formes diferents, la tasca es pot fer de r 1 ·... · rn formes diferents”.
Exemple 10. A una assignatura hi ha tres grups d’alumnes matriculats; un grup en t´e 56, un altre 51 i el tercer 36. Es tria un alumne de cada grup per formar una terna de representants. El nombre de ternes diferents que es poden fer ve donat pel principi de la multiplicaci´o: 56 · 51 · 36 = 102 816.
Exemple 11. Si un restaurant ofereix, en el seu men´u del dia, cinc primers plats, tres segons i sis postres, en total pot servir 5 · 3 · 6 = 90 men´us diferents.
Permutacions ordin`aries o sense repetici´o
Una permutaci´o ordin`aria, o sense repetici´o, de n objectes diferents ´es qualsevol ordenaci´o que es pugui fer, de forma que apareixin tots, i cap d’ells es repeteixi. Per exemple, cabd, dcba o abdc s´on algunes de les permutacions que es poden fer amb els elements a, b, c i d.
El nombre de permutacions ordin`aries amb n objectes ve donat per la f´ormula Pn = n!.
(n! ´es el factorial de n, el producte dels n primers enters positius: n! = 1 · 2 ·... · n)
Exemple 12. Hi ha P 3 = 3! = 6 permutacions de tres elements a, b i c. Aquestes s´on: abc acb bac bca cab cba
Exemple 13. El nombre de formes en qu`e es poden col.locar cinc persones en fila ´ındia ´es P 5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Permutacions amb repetici´o Donats n objectes de r tipus diferents, ni del tipus i, i = 1,... , r, anomenam permutaci´o amb repetici´o d’aquests n objectes a qualsevol reordenaci´o de tots ells. El seu nombre ve donat per P (^) nn 1 ,...,nr= (^) n 1 !·n...!·nr!.
Exemple 14. El nombre de paraules que es poden formar amb les lletres de la paraula REC ORRER (tenguin o no sentit) ´´ es P 84 ,^2 ,^1 ,^1 = (^) 4!·2!8!·1!·1! = 840. Notem que comptam les paraules de vuit lletres que tenen quatre erres, dues es, una o i una ce.
Combinacions ordinaries o sense repetici´o; nombres binomials Anomenam combinacions ordinaries de n elements (distints) agafats de k en k a les mostres no ordenades de k elements diferents agafats dels n elements. Que tamb´e es correspon, amb el nombre de subconjunts de k elements que es poden obtenir d’un conjunt de n elements. Aix´ı, dues d’aquestes mostres seran diferents si difereixen en algun dels elements. El seu nombre ve donat per la f´ormula
Cn,k =
n k
n! k!(n − k)!
Exemple 15. Donat el conjunt {a, b, c, d}, es poden fer C 4 , 2 =
2
combinacions sense repetici´o d’aquests quatre elements agafats de dos en dos. S´on aquestes ab ac ad bc bd cd
Exemple 16. De quantes maneres es poden triar tres persones d’un grup de deu? Com que no importa l’ordre de les persones a la tria, i no es poden repetir, seran combinacions sense repetici´o:
C 10 , 3 =
- La suma dels nombres binomials que tenen ´ındex superior n ´es 2n:
∑^ n
i=
n i
n 0
n 1
n n
= 2n
Es a dir, els nombres de cada fila del triangle de Pascal sumen 2^ ´ n:
1 = 2^0 , 1 + 1 = 2^1 1 + 2 + 1 = 2^2 , 1 + 3 + 3 + 1 = 2^3...
- Finalment, notarem que la simetria que tenen els nombres binomials respecte de l’eix vertical del triangle de Pascal es deu a la identitat: ( n r
n n − r
Combinacions amb repetici´o
Les combinacions amb repetici´o de n elements agafats de k en k s´on les mostres no ordenades de k elements, entre els quals hi pot haver repeticions, triats d’entre els n elements.
El seu nombre ´es CRn,k =
(n+k− 1 k
= ( kn!(+nk−−1)!1)!.
Exemple 17. Hi ha CR 4 , 2 =
2
2
= 10 combinacions amb repetici´o de dos elements agafats del conjunt {a, b, c, d}, i s´on aquestes:
aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd
Exemple 18. De quantes maneres es poden assignar tres tasques a deu persones de forma que cada tasca la realitzi una persona i que una persona pugui realitzar diverses tasques?
En aquest cas, de les deu persones n’hem de triar tres, sense que l’ordre sigui rellevant, perqu`e consideram les tasques indistingibles, i hi pot haver repeticions. Per tant, hi ha CR 10 , 3 =
3
3
= 220 maneres de fer aquesta asignaci´o.
Aquest exemple el podem veure com un problema de comptar les formes de repartir k objectes indistingibles (les tres tasques) en n caixes diferents (les deu persones). El nombre d’aquests repartiments, aleshores ve donat per CRn,k.
Variacions ordin`aries o sense repetici´o
Anomenam variacions sense repetici´o de n objectes (diferents) agafats de k en k les mostres ordenades de k objectes diferents triats d’entre els n.
Dues d’aquestes variacions seran diferents si tenen algun element diferent, o si tenen els mateixos elements per`o en distint ordre.
El nombre de variacions ordin`aries o sense repetici´o ´es Vn,k = n · (n − 1) ·... · (n − k + 1), o, tamb´e, Vn,k = (^) (nn−!k)!.
Exemple 19. Les variacions sense repetici´o de dos elements agafats del conjunt {a, b, c, d} s´on:
ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc
En aquest cas, n = 4, k = 2 i V 4 , 2 = 4 · 3 = 12. Apareixen, per exemple, ab i ba perque, com a variacions, s´on diferents; en canvi, a l’exemple 15 nom´es apareix ab perque, com a combinacions, ab i ba s´on la mateixa.
Exemple 20. De quantes maneres es pot triar un president, un secretari i un vocal entre els deu membres d’una associaci´o?
S’han de triar tres persones de deu, tenint en compte que l’ordre ´es rellevant, i que no hi pot haver repeticions.
Per tant, s´on variacions sense repetici´o: V 10 , 3 = 10 · 9 · 8 = 720.
Variacions amb repetici´o
Anomenam variacions amb repetici´o de n elements (diferents) agafats de k en k les mostres ordenades de k elements, els quals es poden repetir, agafats dels n elements.
El seu nombre ve donat per V Rn,k = nk.
Exemple 21. Quantes paraules de sis lletres es poden escriure amb l’alfabet {a, b, c, d}? S’han de fer mostres ordenades de sis lletres, en aquest cas amb repetici´o. Per exemple, les seg¨uents:
babcbd dddddd cbdcba aaaddd dddaaa...
En total es podran escriure V R 4 , 6 = 4^6 = 4 096 paraules.
Nombres de Stirling (de segona esp`ecie); nombres multinomials
En aquesta secci´o veurem alguns resultats referits al nombre de formes de repartir objectes diferents en caixes, iguals o diferentes.
El nombre de Stirling (de segona esp`ecie), que es denota per S(n, k), ´es el nombre de maneres de repartir n objectes diferents en k caixes iguals, de forma que cada caixa tengui algun element. Notem que ha de ser 1 ≤ k ≤ n.
Seguim amb el problema de comptar els repartiments de n objectes diferents en k caixes no buides. Si ara les caixes s´on tamb´e diferents, haurem de multiplicar el nombre de Stirling S(n, k) per k!, que s´on les formes d’assignar les k parts a les k caixes.
Exemple 23. A l’exemple anterior, si els grups fossin diferents, les maneres de fer el repartiment serien S(4, 2) · 2! = 7 · 2 = 14. Notem que ara hi ha dos casos per cada un dels de l’exemple anterior: per exemple, s’han de considerar diferents els casos A|BCD i BCD|A.
Per ´ultim, consideram el problema de comptar els repartiments de n objectes en k caixes 1, 2,... , k, de forma que a cada caixa hi vagi un nombre d’objectes determinat: n 1 objectes a la caixa 1, n 2 a la caixa 2, ... i nk a la caixa k. Aquests nombres han de sumar n i poden ser zero, ´es a dir, pot haver-hi en aquest cas caixes buides.
El nombre d’aquests repartiments ´es
( (^) n n 1 n 2 ... nk
= (^) n 1 !·n 2 n!!·...·nr!.
Exemple 24. En un restaurant hi ha cinc taules diferentes. De quantes maneres es podran seure deu persones, si a la taula 1 hi ha d’haver quatre persones, a la 2 tres, a la 3 altres tres, i han de quedar buides les taules 4 i 5?
La resposta ´es
4 3 3 0 0
Els nombres
( (^) n n 1 ... nk
s´on una generalitzaci´o dels nombres binomials; de fet, si
k = 2 coincideixen:
( (^) n n 1 n 2
( (^) n n 1
( (^) n n 2
. S’anomenen nombres multinomials, perqu`e apareixen en el desenvolupament de (a 1 +... + ak)n:
(a 1 +... + ak)n^ =
(n 1 ,...,nk )|n 1 +...+nk =n, ni≥ 0
n n 1... nk
an 1 1 ·... · an kk
Hi ha tants de sumands com formes d’expressar el nombre n com a suma de k enters no negatius.
Exemple 25. En el desenvolupament de (a + b + c)^2 apareixen sis sumands, que s´on els corresponents a les ternes (2, 0 , 0), (0, 2 , 0), (0, 0 , 2), (1, 1 , 0), (1, 0 , 1) i (0, 1 , 1):
(a+b+c)^2 =
a^2 +
b^2 +
c^2 +
ab+
ac+
bc
Si fem les operacions, resulta que (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.
- Grups, anells i cossos
En aquesta secci´o veurem les definicions i alguns exemples de les estructures de grup, anell i cos, que anirem emprant al llarg de tot el curs.
Grups
Un conjunt G, amb una operaci´o bin`aria ?, ´es un grup si se satisfan les seg¨uents propietats:
(g1) l’operaci´o? ´es tancada:
a, b ∈ G ⇒ a? b ∈ G
(g2) l’operaci´o? ´es associativa:
a? (b? c) = (a? b)? c ∀a, b, c ∈ G
(g3) l’operaci´o? t´e element neutre: existeix un element e ∈ G tal que:
a? e = e? a = e ∀a ∈ G
(g4) tot element de G t´e element sim`etric o invers per a l’operaci´o ?:
∀a ∈ G ∃a′^ ∈ G tal que a? a′^ = a′^? a = e
Aix´ı doncs, un grup ´es un conjunt amb una operaci´o, (G, ?), que satisf`a les propie- tats (g1), (g2), (g3) i (g4). Si el conjunt G ´es finit, direm que G ´es un grup finit i si el conjunt G ´es infinit, direm que ´es un grup infinit.
A m´es de les propietats anteriors, tamb´e es pot satisfer la seg¨uent propietat:
(g5) l’operaci´o? ´es commutativa:
a? b = b? a ∀a, b ∈ G
En aquest cas, deim que G ´es un grup commutatiu o abeli`a. Sovint, quan parlem de grups en general i no en exemples concrets, escriurem xy per x? y. L’invers d’un element x el denotarem per x−^1 i el neutre per 1.
Exemple 26. Vegem alguns exemples de grups infinits amb l’operaci´o suma:
- els conjunts Z, Q, R, C s´on grups infinits commutatius amb l’operaci´o suma. L’element neutre ´es el 0 i el sim`etric d’un element a ´es l’oposat, −a.
- En canvi, N no ho ´es, ja que no satisf`a la propietat (g4).
Exemple 27. Als conjunts de l’exemple anterior els hi hem de llevar el 0 , si volem que siguin grups ja que el 0 no t´e sim`etric (o invers) respecte del producte.
- Els conjunts Q \ { 0 }, R \ { 0 }, C \ { 0 } s´on grups conmutatius amb l’operaci´o producte. L’element neutre ´es l’ 1 i el sim`etric de a ´es 1 /a.
- En canvi, els conjunts N \ { 0 } i Z \ { 0 } no ho s´on perque falla la propietat (g4).
} = { 12 , 21 }, ´es un grup de dos elements.
- Si n = 3, S 3 = { 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 }, ´es un grup de sis elements, i no ´es commutatiu.
Exemple 30. Per fer el producte βα de les permutacions de S 5 α = 34512 i β = 15234, fem el seg¨uent: el primer element ´es la imatge de 1, que trobam aix´ı: βα(1) = β(3) = 2; la imatge de 2, que ´es el segon element de la permutaci´o, ´es βα(2) = β(4) = 3. Els altres tres elements s´on βα(3) = β(5) = 4, βα(4) = β(1) = 1 i βα(5) = β(2) = 5, pel que βα = 23415.
Per trobar la permutaci´o inversa de, per exemple, α, basta veure que si α(1) = 3, α−^1 (3) = 1. Fent aix`o amb tots els elements i posant-los en l’ordre adequat, resulta α−^1 = 45123.
Grups de Matrius
Considerem un conjunt de nombres C, que amb la suma tengui estructura de grup (Z, Q, R,.. .). El conjunt de matrius de m files i n columnes amb coeficients a C, que denotarem per Mm×n(C), amb la suma habitual de matrius, ´es un grup commutatiu, que ser`a finit o infinit segons ho sigui C. Si C t´e k elements, el cardinal de Mm×n(C) ´es kmn.
Grup de simetries d’una figura plana
Considerem una figura plana F. Els movimients que la deixen fixa, que poden ser girs i simetries, formen un conjunt que t´e estructura de grup amb la composici´o de moviments. L’element neutre d’aquest grup, que el denotam GF , ´es la identitat (o el gir de 0◦, g 0 ◦^ ); l’element sim`etric d’una simetria ´es ella mateixa, i el d’un gir gα ´es g 360 ◦−α.
Exemple 31. El grup de simetries de la letra H est`a format per dues simetries, s 1 i s 2 , i dos girs respecte del centre O, g 0 ◦ y g 180 ◦.
s 2
e^ O s 1
Aix`ı doncs, el grup ´es GH = {g 0 ◦^ , g 180 ◦^ , s 1 , s 2 }.
Exemple 32. El grup de simetries d’un pol´ıgon regular de n costats est`a format per n girs i n simetries.
Propietats dels grups
Els grups satisfan les seg¨uents propietats:
- El neutre ´es ´unic, i l’invers de cada element tamb´e
- L’invers de l’invers d’un element ´es el mateix element: (x−^1 )−^1 = x.
- L’invers d’un producte ´es el producte dels inversos, canviant l’ordre: (xy)−^1 = y−^1 x−^1.
- En un grup sempre es pot simplificar: xy = xz ⇒ y = z (simplificaci´o per l’esquerra) yx = zx ⇒ y = z (simplificaci´o per la dreta)
- En un grup l’equaci´o ax = b sempre t´e soluci´o, i ´es ´unica: x = a−^1 b. An`alogament, x = ba−^1 es l’´unica soluci´o de xa = b.
- La taula de l’operaci´o d’un grup es un quadrat llat´ı, ´es a dir, en cada fila i en cada columna hi s´on tots els elements del grup, i no es repeteixen.
Exemple 33. Considerem un conjunt G de tres elements: el neutre, 1 , i dos elements m´es que s´on b i c. A la taula de l’operaci´o, la fila i la columna del neutre s´on, necess`ariament:
1 a b 1 1 a b a a b b
Per`o als quatre llocs que queden, els elements que podem posar queden totalment determinats pel fet que la taula ha de ser un quadrat llat´ı:
1 a b 1 1 a b a a b 1 b b 1 a
Exemple 34. Tornant a l’exemple del grup de simetries de la lletra H, que ´es GH = {g 0 ◦^ , g 180 ◦^ , s 1 , s 2 }, la taula de l’operaci´o ´es:
Cap´ıtol 2
Aritm`etica entera i modular
2.1 Nombres enters. Divisi´o entera
Denotam per Z el conjunt del nombres enters, que t´e per elements
Z = {... , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.. .}.
Sobre el conjunt dels nombres enters considerarem dues operacions, la suma, i escriurem a + b per denotar la suma dels enters a i b, i el producte, i escriurem ab o a · b per denotar el producte dels enters a i b. El conjunt dels nombres enters amb les operacions suma i producte satisf`a els axiomes seg¨uents, per a tot a, b, c ∈ Z:
I1. [Operacions tancades] a + b i ab s´on nombres enters
I2. [Commutativa] a + b = b + a i ab = ba
I3. [Associativa] (a + b) + c = a + (b + c) i (ab)c = a(bc)
I4. [Element neutre] a + 0 = a i a1 = a
I5. [Distributiva] a(b + c) = ab + ac
I6. [Element invers] Per a cada a existeix un ´unic enter, −a tal que a + (−a) = 0
I7. [Cancel.laci´o] Si a 6 = 0 i ab = ac, aleshores b = c
A partir de l’axioma I6, o com a conseq¨uencia d’aquest axioma, podem definir l’operaci´o diferencia dels enters a i b com a − b = a + (−b).
El nombres enters els podem ordenar, aixo vol dir que existeix una relaci´o d’ordre total entre els enters. Una relaci´o d’ordre sobre un conjunt A ´es una relaci´o ≤ que satisfa:
I8. [Reflexiva] a ≤ a
I9. [Antisim`etrica] a ≤ b i b ≤ a ⇒ a = b
I10. [Transitiva] a ≤ b i b ≤ c ⇒ a ≤ c
amb a, b, c ∈ A.
Una relaci´o d’ordre sobre A ´es un ordre total, quan per a tota parella d’elements a, b ∈ A, o b´e a ≤ b o b ≤ a.
Definim doncs sobre Z una relaci´o d’ordre total de manera que els enters positius i el zero tenen la mateixa ordenaci´o que els nombres naturals, i els elements negatius tenen la ordenaci´o inversa. Quan a sigui menor que b ho escriurem a ≤ b. Aquesta relaci´o d’ordre sobre Z satisf`a els axiomes seg¨uents:
I11. a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
I12. a ≤ b i 0 ≤ c ⇒ ac ≤ bc
I13. Si X ´es un subconjunt no buit de Z fitat inferiorment^1 , aleshores X t´e un m´ınim
Aix´ı doncs, el nombres enters satisfan els tretze axiomes que hem enunciat, i de fet, aquests tretze axiomes caracteritzen els nombres enters.
Vegem ara una propietat important dels nombres enters que ´es la que ens permet definir la divisi´o entera.
Proposici´o 39. Per a cada a, b ∈ Z, b > 0 , existeixen q, r ∈ Z tals que a = q ·b+r i 0 ≤ r < b. Els enters q i r es diuen el quocient i el residu de la divisi´o entera de a per b.
Observau que un cop s’ha fixat el quocient, la resta queda totalment determinada ja que r = a − bq. Donats a, b ∈ Z, b > 0, el quocient de la divisi´o entera de a per b ´es la part entera de ab , q = [ab ], i el residu de la divisi´o entera de a per b ´es r = a − bq. Es deixa com exercici la comprovaci´o de que efectivament, 0 ≤ r < b.
Una de les propietats de la divisi´o entera ´es que el quocient i el residu tal com els hem definit s´on ´unics. En efecte, suposem que tenim q 1 , q 2 i r 1 , r 2 dos quocients i dos residus de la divisi´o entera de a per b. Aleshores,
a = q 1 b + r 1 i a = q 2 b + r 2
d’on tenim que r 1 = a − q 1 b i r 2 = a − q 2 b.
Suposem ara que r 1 ≥ r 2 , com que 0 ≤ r 1 , r 2 < b tenim que
0 ≤ r 1 − r 2 = b(q 2 − q 1 ) < b (^1) Recordau que un subconjunt X de Z ´es fitat inferiorment quan existeix un b ∈ Z tal que
b ≤ x per a tot x ∈ X. Un subconjunt X t´e un m´ınim quan existeix un y ∈ X tal que y ≤ x per a tot x ∈ X.
