¡Descarga Calculo de determinantes y bases de espacios vectoriales y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matrius. Determinants. Espais vectorials 53
3 MATRIUS. DETERMINANTS. ESPAIS VECTORIALS
3.1 Coneixements bàsics
3.1.1 Matrius
Una matriu m × n és un conjunt de m n ⋅ nombres reals distribuïts en m files i n columnes que
escriurem de la forma:
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
m m mn
a a a a a a
a a a
Diem que una matriu és quadrada si té el mateix nombre de files que de columnes: m = n. En una
matriu quadrada, els elements aii formen la diagonal principal de la matriu. La matriu quadrada
n × n en què els elements a la diagonal principal són 1 i 0 a la resta s’anomena matriu identitat o bé
matriu unitat :
1 0 0 0 1 0
Id n
= ^
Donada una matriu m × n , A , la seva matriu transposada és la matriu n × m ,que s’obté d’intercanviar
files per columnes, i la designarem At :
11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
n m n (^) t m
m m mn n n mn
a a a a a a a a a a a a A A
a a a a a a
= ^ ^ → =^
Una matriu quadrada es diu simètrica quan A = At.
54 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
3.1.2 Suma de matrius
Donades dues matrius m × n , A i B , la seva suma és una nova matriu m × n , A + B ,els elements de la qual s’obtenen sumant els dos elements corresponents a les matrius inicials, tal com s’indica a continuació:
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1 21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
n n n n n n n n
m m mn m m mn m m m m mn mn
a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b A B
a a a b b b a b a b a b
+ = ^ ^ + ^ ^ =^
Propietats
La suma de matrius:
- És associativa: A + (^) ( B + C (^) ) = (^) ( A + B (^) )+ C
- És commutativa: A + B = B + A
3. Té element neutre, que és la matriu 0, que té tots els elements iguals a 0, i satisfà que
A + 0 = 0 + A = A
- Té element oposat, és a dir, si A és una matriu qualsevol, podem prendre − A , formada pels oposats de cada un dels elements de la matriu A , que satisfà A + (^) ( − A ) = 0
3.1.3 Producte d’un escalar per una matriu
Donada una matriu m × n , A , i un escalar λ ∈ R , el producte de l’escalar per la matriu, λ ⋅ A ,és una matriu m × n , els elements de la qual s’obtenen de multiplicar cada element de la matriu A per
l’escalar λ , tal com s’indica a continuació:
11 12 1 21 22 2
1 2
n n
m m mn
a a a a a a A a a a
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
⋅^ ⋅^ ⋅
⋅ = ⋅ ^
Generalment, si no hi ha confusió, el punt que indica el producte d’un escalar per una matriu es pot ometre.
Propietats
El producte d’un escalar per una matriu:
- És associatiu respecte als escalars: λ ⋅ ( μ ⋅ A ) = ( λμ)⋅ A
- Té element neutre: 1 ⋅ A = A
- És distributiu respecte a la suma de matrius: λ⋅ (^) ( A + B (^) )= λ ⋅ A + λ⋅ B
- És distributiu respecte a la suma d’escalars: (^) ( λ + μ (^) ) ⋅ A = λ ⋅ A + μ⋅ A
56 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
Aquesta fórmula per al càlcul del determinant és coneguda com a regla de Sarrus. És convenient observar que el determinant s’obté a partir dels productes que s’assenyalen a continuació, sumant els de l’esquerra i restant els de la dreta:
11 12 13 21 22 23 31 32 11 1
3 2 13 21 2
3
2 23
a a
a a
a a a
a a a a a
a
a a
11 12 13 21 22 23 31 32 11 1
3 2 13 21 2
3
2 23
a a
a a
a a a
a a a a a
a
a a
3.1.6 Menor complementari i adjunt
Donada una matriu 3 × 3 ,
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a A a a a a a a
= ^
s’anomena menor complementari α ij d’un element
a ij el determinant 2 × 2 que s’obté quan se suprimeixen els tots elements de la fila i i la columna j de la matriu A.
Exemple:
El menor complementari del terme a 32 és:
11 13 32 21 23
a a a a
El resultat de multiplicar el menor complementari de l’element aij per (^) ( − (^1) ) i^ + j s’anomena adjunt
d’aquest element, i el denotarem per Aij. Així, tenim Aij = ( − 1 ) i^^ + j α ij i, seguint amb l’exemple
anterior, l’adjunt del terme a 32 és:
32 (^ )^3 2 3211 21 23
a a A a a
Propietats
- det (^) ( A B ⋅ (^) )= det A ⋅ det B ,essent A i B són dues matrius quadrades 2 × 2 o 3 ×3.
- det At = det A ,on A és una matriu quadrada 2 × 2 o 3 ×3.
- det Id (^) n = 1 per a n =2,3.
- Si una matriu té dues files o dues columnes iguals, el valor del seu determinant és 0.
- Si intercanviem dues files o dues columnes, el valor del determinant canvia de signe. Ho escrivim per una matriu 3 × 3 intercanviant la segona i la tercera columnes: 11 13 12 11 12 13 21 23 22 21 22 23 31 33 32 31 32 33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Matrius. Determinants. Espais vectorials 57
- Si multipliquem una fila, o una columna, per un escalar, el valor del determinant també queda
multiplicat per aquest escalar. Per exemple, per a una matriu 2 × 2,en multiplicar la segona fila
per λ ∈ R :
11 12 11 12 21 22 21 22
a a a a a a a a
- El valor d’un determinant no varia si substituïm una fila, o una columna, per ella mateixa més un múltiple d’una altra fila, o una altra columna. Per exemple:
11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 11 32 12 33 13
a a a a a a a a a a a a
a a a a λ a a λ a a λ a
- El valor d’un determinant d’una matriu 3 × 3 és igual a la suma dels productes dels elements d’una fila, o una columna, pels seus adjunts corresponents. Per exemple:
11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33
det
a a a A A a a a a A a A a A a a a
3.1.7 Rang d’una matriu
En una matriu m × n , A , s’anomena menor d’ordre k de la matriu A cada un dels determinats de les matrius quadrades que resulten de suprimir n − k files i m k − columnes de A.
Exemple :
Si considerem la matriu
A
només li podem considerar menors d’ordre 1 i 2, ja que
aquesta matriu només té dues files. Els seus menors d’ordre 2 són:
i
Diem que el rang d’una matriu m × n , A , és r si existeix un menor d’ordre r diferent de zero i tots els menors d’ordre superior que s’obtenen orlant aquest menor, és a dir, menors que continguin aquest menor d’ordre r , són zero.
3.1.8 Matriu inversa
Donada una matriu quadrada n × n , A , es diu que admet inversa si existeix una matriu, que anomenarem A −^1 , tal que
A A ⋅ −^1 = A −^1 ⋅ A = Id n
Matrius. Determinants. Espais vectorials 59
3.1.10 Subespai vectorial
Un subconjunt F d’un espai vectorial E és un subespai vectorial de E si F ≠ ∅ i si F té estructura d’espai vectorial amb la suma i el producte induïts per E en F.
En general, un subconjunt F ⊂ E és un subespai vectorial de E si i només si
- F ≠ ∅.
- x y , ∈ F ⇒ x + y ∈ F per a tots els elements x y , ∈ F.
- x ∈ F , λ∈ \⇒ λ x ∈ F per a tot x ∈ F i per a tot λ ∈ .
Exemples:
- E i (^) { } 0 sempre són subespais vectorials de E i reben el nom de subespais impropis o subespais trivials de E. Qualsevol subespai vectorial diferent d’aquests dos es diu que és un subespai propi de E.
- A ^2 , el conjunt (^) { ( ,0) / x x ∈ } és un subespai vectorial de \ 2. En general, si ( , ) a b ∈ \ 2 , el conjunt (^) { λ ( , ) / a b λ ∈ } és un subespai vectorial de ^2.
- A ^3 , si ( , , ), ( a b c a ', b ', c ') ∈ \ 3 , el conjunt (^) { λ( , , ) a b c + λ'( a b c ', ', ') / λ λ, '∈ } és un subespai vectorial de ^3.
3.1.11 Combinació lineal. Generadors
Si E és un espai vectorial i v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k (^) ∈ E , qualsevol expressió de la forma:
λ1 1 v + λ 2 v 2 + ... + λ k v k ∈ E on λ 1 , λ 2 ,..., λ k ∈ \
es diu que és una combinació lineal dels vectors v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k .El conjunt de totes les combinacions lineals de v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k ∈ E :
{ λ1 1 v (^) + λ 2 v 2 (^) + ... + λ k (^) v k / λ 1 , λ 2 ,...,λ k ∈ }
es representa per v 1 (^) , v 2 ,..., v k i és un subespai vectorial de E que rep el nom de subespai generat pels vectors v 1 (^) , v 2 ,..., v k , anomenats vectors generadors del subespai. Aquest subespai també s’anomena envolupant lineal dels vectors v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k.
Exemples:
- A ^2 ,el vector (6, −1) és combinació lineal del vectors (3,1) i (0,3) (6, −1) = 2(3,1) −1(0,3)
- En tot espai vectorial E , el vector 0 és sempre combinació lineal de qualsevol nombre de vectors v 1 (^) , v 2 ,..., v k ∈ E : 0 = 0 v + 1 0 v (^) 2 + ... + 0 v k
- Si v 1 (^) , v 2 ,..., v k (^) = E ,aleshores, per tot w ∈ E ,també v 1 (^) , v 2 ,..., v k , w = E
x = λ 1 1 v + λ 2 v 2 + ... + λ k v k ⇒ x = λ1 1 v + λ 2 v 2 + ... + λ k v k + 0 w
60 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
3.1.12 Vectors linealment independents i vectors linealment dependents
Siguin v 1 (^) , v 2 ,..., v (^) k vectors d’un espai vectorial E. Es diu que v 1 (^) , v 2 ,..., v (^) k són linealment independents si qualsevol combinació lineal d’ells igual al vector 0 només és possible si tots els escalars són zero:
λ1 1 v + λ 2 v 2 + ... + λ k v k = 0 ⇔ λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0
Si λ1 1 v + λ 2 v 2 + ... + λ k v k = 0 , amb no tots els escalars iguals a zero, aleshores es diu que els vectors
v 1 (^) , v 2 ,..., v (^) k són linealment dependents.
Propietats:
- v 1 (^) , v 2 ,..., v k són linealment dependents si i només si un d’aquests vectors és combinació lineal dels altres.
- Si 0 ∈{ v 1 (^) , v 2 ,..., v k (^) }, aleshores v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k són linealment dependents.
- Si v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k són linealment dependents, aleshores v 1 (^) , v (^) 2 ,..., v k (^) , v k (^) + 1 ,..., v l ,amb k ≤ l ,també són linealment dependents.
- Si v 1 (^) , v 2 ,..., v k són linealment independents, aleshores v 1 (^) , v 2 ,..., v (^) j , amb j ≤ k , també són linealment independents.
3.1.13 Base i dimensió d’un espai vectorial
Una base d’un espai vectorial E és una família de vectors de l’espai que genera E i que són linealment independents. Així, { e 1 (^) , e 2 ,..., e n }és una base de E si
- e 1 (^) , e 2 ,..., e n són linealment independents.
- e 1 (^) , e 2 ,..., e n = E.
Propietats
- Totes les bases d’un espai vectorial tenen el mateix nombre de vectors. Aquest nombre comú s’anomena dimensió de l’espai vectorial.
- Si B = (^) { e 1 (^) , e 2 ,..., e n (^) }és una base de E , llavors qualsevol vector x ∈ E es pot expressar de manera única com a combinació lineal dels vectors de la base:
x = λ1 1 e + λ 2 e 2 + ... +λ n e n.
Aquests escalars únics, λ 1 , λ 2 ,..., λ n ,són els components o les coordenades del vector x a la base
{ e 1^ ,^ e 2^ ,...,^ e n^ } i ho representem per^ x^ =( λ 1 ,^ λ 2 ,...,^ λ n ) B. Si no hi ha confusió, simplement escrivim x =( λ 1 , λ 2 ,..., λ n ).
- Si dim E = n , les proposicions següents són equivalents: a) (^) { e 1 (^) , e 2 ,..., e n (^) }és una base de E. b) e 1 (^) , e 2 ,..., e n generen l’espai E , és a dir, e 1 (^) , e 2 ,..., e n (^) = E. c) e 1 (^) , e 2 ,..., e n són linealment independents.
62 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
3.2 Problemes resolts
Problema 1
Feu les operacions indicades a cada apartat amb les matrius:
1 2 3 0 3 4
A = ^
B
= ^
a) AB + B At^ t b) BA c) det (^) ( AB )
d) det (^) ( BA )
Resolució
a) Calculem el primer producte:
2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 ( 5) 1 ( 2) 2 1 3 4 7 12 3 1 0 3 4 0 2 ( 3) 3 4 ( 5) 0 ( 2) ( 3) 1 4 4 29 13 5 4
AB
⋅^ +^ ⋅^ +^ ⋅ −^ ⋅ −^ +^ ⋅^ +^ ⋅^ −
−^ ⋅^ + −^ ⋅^ +^ ⋅ −^ ⋅ −^ + −^ ⋅^ +^ ⋅^ −
Ara observem que B At^ t = (^) ( AB ) t i, per tant, tenim:
7 12 7 29 14 17 29 13 12 13 17 26
AB + B A^ t^ t = ^ −^ ^ + ^ −^ −^ ^ =^ −^ − −^ −
b) Calculem el producte:
2 2 2 1 ( 2) 0 2 2 ( 2) ( 3) 2 3 ( 2) 4 2 10 2 1 2 3 3 1 3 1 1 0 3 2 1 ( 3) 3 3 1 4 3 3 13 0 3 4 5 4 ( 5) 1 4 0 ( 5) 2 4 ( 3) ( 5) 3 4 4 5 22 1
BA
−^ ⋅^ + −^ ⋅^ ⋅^ + −^ ⋅ −^ ⋅^ + −^ ⋅^ −
= ^ ^ ^ = ^ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ^ =^
^ −
− ^ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − −
Observem que, efectivament, el producte de matrius no és commutatiu, ja que en aquest cas AB ≠ BA.
c) Calculem el determinant:
( )
det det 7 13 12 ( 29) 257 29 13 29 13
AB
−^ −
−^ −
d) Calculem el determinant:
( )
det det 3 3 13 3 3 13 5 22 1 5 22 1 2 3 1 10 13 ( 5) ( 2) 3 ( 22) ( 2) 3 ( 5) 2 13 ( 22) 10 3 1 0
BA
−^ −
= ^ = =
−^ −^ −^ −
Matrius. Determinants. Espais vectorials 63
Problema 2
Calculeu els determinants següents:
a)
b)
c)
d)
Resolució
a) Apliquem la definició de determinant 2 × 2 i tenim:
1 4 ( 1) 6 4 ( 5) 14 5 6
b) Apliquem directament la regla de Sarrus:
1 1 2 1 4 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 4 2 1
c) Fem el càlcul fent ús de les propietats dels determinants. En primer lloc, substituïm la segona fila per ella mateixa i li restem la primera, i fem el mateix amb la tercera fila, a la qual també li restem la primera. En el segon pas, traiem 3 com a factor comú de la segona fila i 6 de la tercera. Finalment, obtenim un determinant que té dues files iguals i, per tant, el seu valor és 0. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 6 1 1 1 0 7 8 9 6 6 6 1 1 1
També es pot fer aplicant directament la regla de Sarrus: 1 2 3 4 5 6 45 96 84 (105 48 72) 225 225 0 7 8 9
d) Fem servir les propietats dels determinants:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
Matrius. Determinants. Espais vectorials 65
Problema 4
Calculeu, si és possible, les matrius inverses de les matrius següents:
a) a b A c d
=^ ^
b)
B
−^ −
= ^
c)
C
−^ −
= ^ −
−^ −
Resolució
a) Només podem calcular la inversa de la matriu A per aquells valors de a , b , c i d que fan que el
determinant a b ad bc c d = − sigui diferent de zero. Per aquests valors tenim:
d c t d b A ad bc b^ a^ ad bc c^ a
− = ^ −^ ^ = ^ −
− ^ −^ ^ − ^ −
b) El determinant d’aquesta matriu és zero i, per tant, no admet inversa. El fet que aquest determinant sigui zero es justifica pel fet que la tercera fila d’aquesta matriu és la suma de la primera i la segona files.
c) La matriu C admet inversa ja que det C = − 1 ≠ 0. Fem el càlcul i tenim:
1
t
t C −
−^ −^ −^ −
^ −^ −^ −^ ^ ^ −
−^ −^ −^ −^ ^ ^ ^
^ ^ ^ −
−^ −^ −^ −
−^ −
Problema 5
Estudieu quins dels subconjunts següents de \ 2 o de ^3 són subespais vectorials i, en cas que ho siguin, doneu-ne una base i la dimensió.
a) A = (^) {( x y , ) 5 x − 2 y = (^0) }
b) B = (^) {( x y , ) x^2 − y^2 = (^1) }
c) C = (^) {( 2 x − y ,3 x − 5 y ) x y , ∈ }
d) D = (^) {( x y z , ,^2 ) x y z , , ∈ }
e) E = (^) {( x x , + 2 , y x (^) ) x y , ∈ }
66 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
Resolució
a) A = {( x y , ) 5 x − 2 y = 0 } = {( x y , ) y = 52 x } = { x ( 1, 52 )/ x ∈ } = (1, 52 )
A és el subespai vectorial de \ 2 generat pel vector ( 1,^52 ). Així, una base de A és: {( 1, 52 )}o també
{^ ( 2,5)^ }i dim^ A^ =1.
b) B = {( x y , ) x^2 − y^2 = 1 }no és un subespai vectorial de \ 2 ja que, per exemple, (0,0) ∉ B.
c) C = (^) { (2 x − y ,3 x − 5 ) y x y , ∈ } = (^) { x (2,3) + y ( 1, − −5) / x y , ∈ }= (2,3),( 1,− −5)
C és el subespai vectorial de \ 2 generat pels vectors (2,3) i ( 1,− −5). Com que aquests vectors
són linealment independents (observeu que
rang
o també que 2 3
), resulta
que (^) { (2,3),( 1,− −5) (^) }és una base de C , i la seva dimensió és 2, d’on es dedueix que C = ^2.
d) D = {( x y z , ,^2 ) x y z , , ∈ } no és un subespai vectorial de \ 3 , per exemple (1,1,1) ∈ D , però
λ (1,1,1) ∉ D per a tot λ ∈ \ amb λ < 0.
e) E = {( x x , + 2 , y x ) x y , ∈ } = { x ( 1,1,1) + y ( 0, 2,0) x y , ∈ } = ( 1,1,1 , 0, 2,0) ( )
E és el subespai vectorial generat pels vectors (1,1,1) i (0, 2,0) que, a més, són linealment independents; per tant, una base de E és (^) { (1,1,1),(0, 2,0)} i la seva dimensió és 2.
Problema 6
a) Expresseu el vector (1,1,1) com a combinació lineal dels vectors (1, −1, −1), (0,1,0) i (0,1,1). Es pot expressar de dues formes diferents? b) Doneu un exemple d’un vector de ^3 que es pugui expressar de dues formes diferents com a combinació lineal d’un conjunt de vectors de ^3. Què es pot dir d’aquest conjunt de vectors?
Resolució
a)
=^ =
per tant, el vector (1,1,1) només es pot expressar d’una manera com a combinació lineal dels vectors (1, −1, −1), (0,1,0) i (0,1,1): (1,1,1) = 1(1, −1, −1) +0(0,1,0)+2(0,1,1)
68 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
Així, podem afirmar que aquests dos vectors de \ 2 són linealment independents i que el conjunt B és una base de l’espai generat pels seus elements. Aquest subespai, com que té dimensió 2, coincideix amb tot ^2.
c) Veiem que el rang de la matriu formada pels vectors de C és 3, ja que el determinant d’aquesta matriu és diferent de zero: 2 1 3 1 4 2 26 0 3 3 1
Això ens permet afirmar que C = ^3 i, per tant, la seva dimensió és 3.
d) Observem que el rang de la matriu
és 2, ja que
. Així, els dos vectors que
formen el conjunt D són linealment independents i l’espai que generen té dimensió 2.
Problema 8
Considereu els subespais vectorials de ^3 , F 1 (^) = (0,1, 2),(2,03) i F 2 (^) = (1,0, −1). a) Calculeu-ne la dimensió i doneu-ne una base de F 1 i F 2.
b) Demostreu que el conjunt F 1 (^) + F 2 (^) = (^) { x 1 (^) + x (^) 2 x 1 (^) ∈ F 1 (^) , x 2 (^) ∈ F 2 }és un subespai vectorial de \ 3. Doneu-ne una base i la seva dimensió. c) Comproveu que F 2 (^) = { ( , x y z , ) x = − z , y = 0 }.
Resolució
a) Els dos vectors que generen F 1 són linealment independents; per tant, { (0,1, 2),(2,03)} és una base de F 1^ i dim^ F 1^ =^2. Respecte a F 2^ , és un subespai vectorial format per tots els múltiples del vector (1,0, −1); així, una base de F 2 és { (1,0, −1) }i la seva dimensió és 1.
b) Si (^) ( x 1 (^) + x (^) 2 )∈ F 1 (^) + F 2 i (^) ( y 1 (^) + y 2 (^) )∈ F 1 (^) + F 2 , aleshores:
( x 1^ +^ x 2^ ) +^ ( y 1^ +^ y 2^ ) =^ ( x 1^ +^ y 1^ ) +^ ( x 2^ +^ y 2^ )∈^ F 1^ + F 2 (*)
i, per a qualsevol λ ∈ :
λ ( x 1 (^) + x 2 (^) )= λ x 1 (^) + λ x 2 (^) ∈ F 1 (^) + F 2 (**)
De () i (*) es dedueix que F 1 + F 2 és un subespai vectorial de \ 3. Calculem-ne la dimensió. Si
x 1 (^) + x 2 (^) ∈ F 1 (^) + F 2 , aleshores:
x 1 = α 1 (0,1,2) + β 1 (2,03) i x 2 = γ 2 (1,0, −1)
Matrius. Determinants. Espais vectorials 69
per determinats α 1 , β 1 i γ 2 ∈ ; per tant:
x 1 + x 2 = α 1 (0,1,2) + β 1 (2,03) + γ 2 (1,0, −1) ⇒ F 1 + F 2 ⊂ (0,1,2),(2,03),(1,0, −1)
Anàlogament, si α 1 (0,1,2) + β 1 (2,03) + γ 2 (1,0, −1) ∈ (0,1,2),(2,03),(1,0, −1)
α 1 (0,1,2) + β 1 (2,03) + γ 2 (1,0, −1) = [ α 1 (0,1,2) + β 1 (2,03)] + γ 2 (1,0, −1) ∈ F 1 + F 2.
Així, doncs:
F 1 (^) + F 2 = (0,1, 2),(2,03),(1,0, −1)
i com que
, una base de F 1 (^) + F 2 és el conjunt (^) { (0,1,2),(2,03),(1,0, −1) (^) }i la dimensió
d’aquest subespai és 3 = dim \ 3 ;per tant, F 1 (^) + F 2 = ^3.
c) { } { } { } { }
2 (1,0,^ 1)^ (1,0,^ 1)^ (^ ,0,^ )
F
x y z x y z x y z x z y
λ λ λ λ λ λ λ λ
R R
R
Problema 9
Si el vector x ∈ ^3 té components (2,1,3) en la base B = (^) { e 1 (^) , e (^) 2 , e 3 (^) },trobeu les coordenades de x en
la base B ' = (^) { v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 (^) },si sabeu que
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
v e e e v e e e v e e e
Resolució
En aquest cas:
1 2 3 ' '
B B B^3 B^^11 1 B B
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ^ ^ ^ − ^
x v v v x
i això es pot resoldre com un sistema d’equacions:
'
3 B 1 1 1 B B 3 13/ 4
−^ =^ +^ − = −
= ⇔ ^ = + + ⇔ =
^
Matrius. Determinants. Espais vectorials 71
Problema 11
Sigui BC = { e 1 (^) , e 2 }la base canònica de \ 2 ,i siguin B 1 (^) = { u 1 (^) , u 2 }i B 2 (^) = { v 1 (^) , v (^) 2 }dues bases de ^2 , definides per
1 1 2 2 1 32
u e e u e e
1 1 2 2 1 2
v e e v e e
Determineu els vectors de \ 2 tals que:
a) les coordenades en la base canònica coincideixin amb les coordenades en la base B 1.
b) les coordenades en la base canònica coincideixin amb les coordenades en la base B 2.
c) les coordenades en la base B 1 coincideixin amb les coordenades en la base B 2.
Resolució
Les matrius del canvi de base són:
1 ,
1 3 B BC
i 2 ,
4 3 B BC
a) Estem buscant els vectors B C
x y
tals que 1 , 1
1 3 B BC B BC
x x y y
Resolent el sistema, tenim:
x y x x y x y y
=^ =
L’únic vector que té els mateixos components en una base i en l’altra és el vector 0.
b) Anàlogament, busquem els vectors B C
x y
tals que 2 , 2
4 3 B BC B BC
x x y y
. Resolent el
sistema, tenim:
3 2 4 3
x y x x y x y y
Així, podem afirmar que tots els vectors del subespai vectorial (^) ( 1,1) són vectors que tenen els mateixos components en ambdues bases.
72 Matemàtiques per a l’arquitectura. Problemes resolts
c) Finalment, busquem els vectors B C
x y
tals que les seves coordenades en les dues bases B 1 i B 2
siguin les mateixes i, per tant:
1 1
2 2
,
,
C C
C C
B B B B
B B B B
x y x y
1 ,^1 2 , 2
1 3 B B C B 4 3 B BC B
Resolent el sistema, tenim:
1 , 1
3 4 3 3 6 0 BC 1 3 B BC 0 B 0
x y
−^ =^ −^ −^ =^ −
⇔^ ⇔^ =^ =^ ⇒^ =^ =
+^ =^ −^ −^ =
L’únic vector que té els mateixos components en les dues bases noves és el vector 0.
Problema 12
a) Justifiqueu que el conjunt F = (^) {( x y z , , (^) ) 3 x + y − 3 z = 0, y − 2 z = (^0) } ⊂ ^3 és un subespai
vectorial de \ 3 i doneu-ne una base. b) Comproveu que B = (^) {( 1,6,3 ,) ( −2,5,0 , 0,3,1 (^) ) ( )}és una base de \ 3 i doneu-ne les matrius de canvi
de base. Quines són les coordenades del vector w =( 1,0,1)en la base B? c) Descriviu el subespai vectorial F en la base B.
u 1
u (^) 2 1 v
v 2
1 e (^) 1 + 1 e (^) 2 = 1 v (^) 1 + 1 v 2
e 1
e 2
e 1
e 2
