Apunts d'Àlgebra 1,2, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Apunts d'Àlgebra 1,2 y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

Capítol 1 Conjunts 1.1 Introducció El concepte de conjunt és un dels més utilitzats, no solament en Matemátiques sinó en quasi totes les ciéncies. La teoria de conjunts té per objecte l'estudi de les propietats fonamentals «ells, independentment de la naturalesa i propietats particulars dels ens que els constitueixen. 1.2 Conjunt i element. Notacions. Els conceptes de conjunt i d'element són primaris, és a dir, no es poden definir. No obstant aixó, l'observació de cada ens material, qualsevol que sigui la seva naturalesa, desperta en nosaltres la idea d'element; la consideració de diversos elements origina la idea de pluralitat o conjunt. Per tant, determinar un conjunt és conéixer els elenents que el formen; per aixó ha d'existir un criteri que ens permeti d'assegurar si un Conjunts element forma part o no d'un conjunt. D'aquesta manera, introduim un nou concepte, considerat per la majoria d'autors també com a primari, la relació de pertínenga. Els conjunts els representarem, usualment, amb lletres majúscules, i els elements amb lletres minúscules. No obstant aixó, aquest conveni no ha de ser rígid perque els conceptes d'element i de conjunt són relatius, ja que el que en un determinat raonament és un conjunt, en un altre raonament pot ser considerat un element. Per exemple, una. circumferéncia és un conjunt de punts, peró a la vegada és un element del conjunt de figures del pla. A vegades s'utilitza la paraula classe per denotar un conjunt tal que els seus elements són a la vegada conjunts. A fi Vevitar certes dificultats lógiques que es poden presentar, suposarem que tots els conjunts que utilitzern en un raonament són tals que els seus elements pertanyen a un determinat conjunt referencial o universal U. Per indicar que un element a está en un determina conjunt A utilitzarem el símbol € (”pertany a ”); així escriurem: aE€ A (Velement a pertany al conjunt A) Si un element b no pertany al conjunt A, escriurem b E A. Alguns dels conjunts més coneguts i utilitzats són els segiients: N= Conjunt dels nombres naturals Z = Conjunt dels nombres enters Q = Conjunt dels nombres racionales R= Conjunt dels nombres reals C= Conjunt dels nombres complexos Conjunts 1.4 Conjunts unitaris. Conjunt buit. Direm que un conjunt és unitari quan solament té un element. Per exemple DsfreNn|22%-30+1=0)=(1]. Donarem el nom de confunt butt, a tot conjunt definit per comprensió a partir d'una propietat impossible, és a dir que no hi hagi cap element que la verifiqui. Per exemple, A=[(EZ |ex€B, és a dir que AC B. A continuació fem el mateix amb un element genéric x € B i es demostra que també x € A, és a dir, que haurem demostrat que BC A. Un cop arribat aquí podem aplicar la propietat antisimétrica de la inclusió i, per tant, arribem a A= B. Conjunts 1.8 Símbols lógics A partir d'ara utilitzarem els segiients símbols: Y = per tot 3 = existeiz al menys un element... 3| = existeiz un i solament un element... =>= implica += doble implicació = equivalent amb... Als símbols Y i > se'ls dóna el nom, respectivament, de quantificador universal i de quantificador existencial. El símbol => representa una implicació, que és la relació fonamental del raonament lógic, Si d'una relació A anomenada hipdtesi (que suposem certa) se'n dedueix una altra B anomenada tesi escriure A => B. També es llegeix Si es verifica A, aleshores es verifica B”. En aquest cas estem davant del que se sol anomenar teorema, proposició o lema (el nom depén, en general, de la importáncia que donem al resultat). La paraula corol-lari correspon a un resultat que és consegúiéncia immediata d'un teorema. El procés de deducció lógica es caracteritza per la ”transitivitat” de la implicació: si A=> Bi B => C aleshores A => € Si a la vegada es verifica que A=> Bi B > A, aleshores direm que les relacions A iB són lógicament equivalents i escriurem A = B. 10 Conjunts Mitjangant un diagrama de Venn tindrem la segúent representació: ÁVB Les propietats de la unió són: a) Commutativa: AUB=BUA, VA, B El raonament és trivial i es deixa per al lector. b) Associativa: AU(BUC) =(AUB)JUC, VA, B, € 1.9 Unió de conjunts 11 Per demostrar-la utilitzarem el métode de doble contingut. En efecte, EA EA TEA o o ze AV(BUC)> o > reB > xeB > TZEBUC o o ec ec TeAUB o >1E(AUBJUC ec Aquesta propietat és molt important, ja que és la que permet unir tres o més conjunts. Grácies a ella podem prescindir dels paréntesis sempre i que solament hi surtin unions, ja que Pordre de collocació dels parentesis no afecta el resultat. Exemple: Comprovar que (AU B)U(CUD) = [AU(BUC)]UD En efecte, (4AUBJU E = (AUBJUS “> AU(BUS) = AU[BU(CUD) “= == Ass = AU [(e9c) on] =AU(TUD) “E (ALT)JUD=[AU(BUC)]UD T e Idempotent: AUA=A, VA Demostració trivial 1.10 Intersecció de conjunts 13 En efecte, ZEeACcS LES ZE 4AUB=> o > o =>rESUT ZEBCT ET A ACS D >AUBCS BCS Aquesta propietat és consegiiéncia immediata de la propietat anterior agafant s=T. Quan unim diversos conjunts podem utilitzar el símbol segúent: ” U 4/=41U42U...U An i=1 Més en general, si tenim I = (41,42, .... 85, ...), utilitzarem LU 4; = Ai, UA; U o. U Aja U o iel 1.10 Intersecció de conjunts Donats dos conjunts A i B, definim la intersecció de Ai B com el conjunt format amb els elements que pertanyen a tots dos conjunts. S'escria AMB. Tindrem que ANnNB=fx|1E€4A A 2E€B) Utilitzant diagrames de Venn tindrem el segiient gráfic: 14 Conjunts ANB Si els conjunts A i B no tenen cap element en comú, aleshores la intersecció és el conjunt buit i direm que A i B són conjunts disjunts. Quan s'intersequen diversos conjunts podem utilitzar el símbol segijent: a N4=A1n0420...0 An i=1 Més en general, si tenim 7 = (1,19, ..., 12, «.), utilitzarem 4 = As NAz N...NAj, NM... tel 1.11 Propietats de la intersecció Les propietats de la intersecció són molt semblants a la de la unió i són molt fácils de comprovar. a) Commutetiva: ANB=BN4, VA, B és evident, perqué tant és dir els elements comuns a Aia BqueaBiaA. 16 Conjunts per tant es verifica la doble inclusió i tenim que, en aquest cas, AMB =A. E) ANB=A=>ACB En efecte, TEA TZEA=ANB=>TZEANB=> i >IeBS>ACB ZeB SCA h) > SNTCANB TCB En efecte, TESCAÁ TEA esnT> 1 > i >YEeANB reTrcB reB SCA i) > SCcAnB sacB Aquesta propietat és consegiiéncia, directa de la propietat anterior, agafant T = £. Fins ara solament hem vist propietats de la intersecció i de la unió per separat. Ara veurera més propietats en les quals surten la intersecció í la unió barrejades i que són molt importants. 3) Lleis d'absorció AN(AUB)=A, VA, B AU(ANB)=A, VA, B 1.11 Propietats de la intersecció 17 Aquí farem la primera d'elles i es deixa per al lector la segona. Aplicant la propietat e) de la unió tenim que A C AUB i aplicant la propietat f) de la intersecció tenim que A C AUB=> ANM(AUB)=A. k) Propietat distributiva de la intersecció respecte de la unió. AN(BUC)=(ANBJU(ANC), VA, B, € La demostrarem utilitzant el métode de doble contingut. D'una banda, tenim que: EA i reA Tea . reB i reAn(BUC)> i => > o > oreB TEBULO LEA orel i ec ZeAnB o >x€ (ANB)U(ANC) eAnca 1.13 Propietats de la complementació 19 Ag=(o€E | 58 A) Quan no hi ha dubte sobre qui és el conjunt E, direm simplement el complementari del conjunt A, i escriurem € (4) = A' =' A. En general, i tal com vam comentar al principi d'aquest tema, sempre que parlem del complementari d'un conjunt ens referirem al conjunt universal o referencial 14, que té per subconjunts tots els conjunts que surtin. Per exemple, si treballem al conjunt Z dels nombres enters i considerem el conjunt A=(2€Z |1=2k, ke Z), tindrem que Á=(2€Z |2=2k+1, keZ). 1.13 Propietats de la complementació A partir d'are i per comoditat utilitzarem la lletra E per representar el conjunt refe- rencial o universal 14. a E=8 En efecte, E = (u € Ej x € Ej = 0, per definició de conjunt buit. Conjunts b) 2=E En efecte, Y =[x € E | 2 € 0) = E, perque tots els elements del conjunt E verifiquen aquesta propietat, ja que el conjunt buit no té cap element. c) A=A En efecte, Á=(2eElxg Aj=[2EB|xeAj=A ACBSBCA e Suposem en primer lloc que A C B i demostrem que B C A. 2eB=>2¿B=>zx 4, ja que si passés que € ACB =>2x€ B, per tent com es verifica que x É A, tenim que x € A, és a dir, que es verifica B C A. Igualment tenim que si B C Ai agafem un element qualsevol x € A, aleshores s'ha de verificar que x € B, ja que si es verifiqués que zg B=>xeBcA= 2 E A>2 A, i aixd va en contra de la hipótesi inicial. e) A=BS+4A=B En efecte, = Lleis de Morgan ANB=XAUB, AUB=ANB, VA,B Ayguestes propietats es diuen que són duals una de l'altra ja que si se'n demostra una, Paltra es demostra utilitzant la propietat que s'ha demostrat previament. D'una banda, nosaltres demostrarem, en primer lloc, que ANB = AUBi després utilitzant aquesta propietat demostrarem que AUB=AnNB.