Apunts d’Àlgebra (05.557)
http://furniman.blogspot.com Página 1 de 21
UOC (Universitat Oberta de Catalunya) 05.557
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Àlgebra, Profesor: , Carrera: Enginyeria en Informàtica, Universidad: UOC
Tipo: Apuntes
2015/2016
1 / 21
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Apunts dÀlgebra y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
- UOC (Universitat Oberta de Catalunya) 05.
- L’ORIGEN DELS NOMBRES
- NOMBRES NATURALS
- NOMBRES ENTERS.......................................................................................................................
- NOMBRES RACIONALS
- NOMBRES IRRACIONALS
- NOMBRES REALS
- NOMBRES COMPLEXOS
- EL PRINCIPI D’INDUCCIÓ DELS NOMBRES NATURALS
- FORMULACIÓ BÀSICA DEL PRINCIPI D’INDUCCIÓ
- Tipus 1:
- Tipus 2:
- NOMBRES COMPLEXOS
- FORMA BINÓMICA
- OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS
- Suma i resta de complexos en forma binòmica:
- Producte de complexos en forma binòmica
- Conjugat d’un nombre complex
- Divisió de nombres complexos en forma binòmica.....................................................................
- FORMA POLAR............................................................................................................................
- De la forma binòmica a la forma polar
- De forma polar a binòmica
- Operacions aritmètiques amb nombres complexos en forma polar...............................................
- Producte i divisió de nombres complexos en forma polar
- EXPONENCIAL D’UN NOMBRE COMPLEX
- Operacions dels nombres complexos en forma exponencial
- LES ARRELS DELS NOMBRES COMPLEXOS
- ESPAIS VECTORIALS
- VECTORS A L’ESPAI RN
- Operacions amb vectors
- DEFINICIÓ D’ESPAI VECTORIAL
- Subespai Vectorial
- COMBINACIÓ LINEAL. SUBESPAI GENERAT
- DEPENDÈNCIA I INDEPENDÈNCIA LINEAL. BASE I DIMENSIÓ D’UN ESPAI VECTORIAL.
- Coordenades d’un vector en una base
- Dimensió del subespai
- MATRIUS
- TIPUS DE MATRIUS
- OPERACIONS AMB MATRIUS. MATRIU INVERSA.
- Suma de matrius
- Producte d’un nombre per una matriu
- Producte de dues matrius
- DETERMINANTS
- DETERMINANT ASSOCIAT A UNA MATRIU QUADRADA D’ORDRE 2 O
- DETERMINANT ASSOCIAT A UNA MATRIU QUADRADA D’ORDRE 4 O SUPERIOR
- Adjunt d’un element
- Càlcul del determinant d’una matriu quadrada a partir dels adjunts.
- PROPIETATS DEL DETERMINANTS
- CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA
- RANG D’UNA MATRIU. CÀLCUL MITJANÇANT DETERMINANTS
- Càlcul del Rang d’una matriu
- APLICACIONS ALS ESPAIS VECTORIALS
- Dependència i independència lineal
- Dimensió d’un subespai generat
- MATRIU DE CANVI DE BASE EN UN ESPAI VECTORIAL
- EQUACIONS DE RECTES I PLANS
- EQUACIONS D’UNA RECTA AL PLA
- EQUACIONS D’UNA RECTA A L’ESPAI
- EQUACIONS D’UN PLA A L’ESPAI
- PRODUCTE ESCALAR I ORTOGONALITAT
- PRODUCTE ESCALAR, MÒDUL D’UN VECTOR I ANGLE ENTRE VECTORS
- Propietats
- Mòdul o longitud d’un vector
- Normalització d’un vector
- Distància d’un vector
- Angle entre dos vectors
- Complement Ortogonal
- Base Ortogonal
- VECTOR COMBINACIÓ LINEAL D’UNA BASE
- PROJECCIONS ORTOGONALS
- Descomposició ortogonal
- PROCÉS D’ORTOGONALITZACIÓ DE GRAM-SCHMIDT
- SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (SEL)
- CLASSIFICACIÓ
- EXPRESSIÓ MATRICIAL D’UN SEL
- DISCUSSIÓ DE SEL
- TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
- SISTEMES LINEALS HOMOGENIS
- RESOLUCIÓ DE SEL PER GAUSS
- RESOLUCIÓ DE SEL PER CRAMER
- INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DELS SEL
- m rectes en el pla
- m plans a l’espai
- rectes com a intersecció de plans..........................................................................................
- CONCEPTE D’APLICACIÓ LINEAL
- APLICACIONS ENTRE CONJUNTS
- APLICACIONS LINEALS ENTRE ESPAIS VECTORIALS
- MATRIU ASSOCIADA A UNA APLICACIÓ LINEAL
- NUCLI I IMATGE D’UNA APLICACIÓ LINEAL
- TEOREMA DE LA DIMENSIÓ
- MONOMORFISMES I EPIMORFISMES.
- CANVIS DE BASE EN UNA APLICACIÓ LINEAL.
- VECTORS (VEP) I VALORS PROPIS (VAP)
- DIAGONALITZACIÓ D’ENDOMORFISMES
- DIAGONALITZACIÓ, CONCEPTES I RESULTATS
- APLICACIÓ AL CÀLCUL DE POTÈNCIES D’UNA MATRIU
- TRANSLACIÓ EN 2D
- TRANSLACIÓ EN UN PUNT
- ROTACIÓ EN 2D
- ROTACIÓ D’UN PUNT AL VOLTANT DE L’ORIGEN DE COORDENADES..............................................................
- ROTACIÓ D’UN OBJECTE AL VOLTANT D’UN PUNT DE ROTACIÓ GENÈRIC
- ESCALATGE EN 2D
- ESCALATGE D’UN PUNT A PARTIR DE L’ORIGEN DE COORDENADES
- ESCALATGE D’UN OBJECTE A PARTIR D’UN PUNT FIX GENÈRIC TANT EN 2D COM 3D
- NOTACIÓ MATRICIAL EFICIENT
- COMPOSICIÓ DE TRANSFORMACIONS
- TRANSFORMACIONS AFINS EN 2D
- TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES EN 3D
- ROTACIÓ D’UN ANGLE Θ AL VOLTANT D’UN EIX QUALSEVOL ER
Els nombres
L’origen dels nombres
Nombres Naturals
Es representen pel símbol N N = {1,2,3,...} N * = {0,1,2,3,...}
3 ϵ N (El 3 pertany al conjunt dels nombres naturals)
És un conjunt ben ordenat (qualsevol subconjunt d’ N té un element que és el més petit de tots.)
Nombres Enters
Es representen pel símbol Z Z = {…, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, …}
Nombres Racionals
És el format per les fraccions Es representen pel símbol Q Els nombres naturals i enters també són racionals. Es poden expressar en forma decimal amb nombre finit de decimals o amb nombre infinit però patró periòdic.
Nombres Irracionals
No es poden representar mitjançant fraccions Es representen pel símbol I Altres irracionals són π, e i les arrels quadrades dels nombres primers. En forma decimal tenen infinits decimals sense patró.
Nombres Reals
Es representen pel símbol R És la unió dels conjunts de nombres Racionals i Irracionals (R = Q U I)
Nombres Complexos
Responen a la necessitat de treballar amb √-1 (anomenat i o j ) Es representen pel símbol C És el conjunt format per les expressions de la forma a+bi , en què a i b són nombres reals i i és tal que el seu quadrat és igual a – 1
El principi d’inducció dels nombres naturals
S’empra quan es vol demostrar que una determinada propietat és certa per a tot nombre natural n : o Demostrar que la propietat és certa per a n = 1 o Demostrar que si és certa per a n , llavors ho és per a n+.
Formulació bàsica del principi d’inducció
Sigui P una propietat definida sobre el conjunt dels nombres naturals que satisfà les dues condicions següents:
- P(1) és vertader
- Per a tot n si P(n) és vertader, també ho és P(n+1)
Llavors, la propietat es verifica per a tot nombre natural.
La primera propietat del principi d’inducció s’anomena pas base i la segona hipòtesi d’inducció. P(n) és la hipòtesi d’inducció que s’empra per a demostrar P(n+1)
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Divisió de nombres complexos en forma binòmica
a+bi / n = a/n + b/n i Per a dividir dos nombres complexos, multiplicarem i dividirem pel conjugat del denominador.
Forma Polar
rθ és la manera de representar un nombre complex en forma polar. La distància del punt (a,b) a l’origen de coordenades s’anomena magnitud o mòdul i es representa com a r. L’angle que forma la recta que uneix els punts (a,b) i (0,0) amb l’eix positiu d’abscisses s’anomena argument i es representa com a θ.
De la forma binòmica a la forma polar
Per trobar r farem: o
Per trobar θ farem: o θ = arctan(b/a) (si a és positiu) o θ = arctan(b/a) + π (si a és negatiu i b és positiu) o θ = arctan(b/a) - π (si a i b són negatius)
De forma polar a binòmica
rθ = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + sin(θ) i) - Forma trigonomètrica
sin(θ) cos(θ) Si θ ϵ (π/2, π) sin(π - θ) -cos(π - θ) Si θ ϵ (-π,-π/2) -sin(π+θ) -cos(π+θ) Si θ ϵ (-π/2,0) -sin(-θ) cos(-θ)
Operacions aritmètiques amb nombres complexos en forma polar
Per a sumar o restar dos nombres complexos en forma polar els hem d’expressar en forma binòmica i sumar-los com a tal.
Producte i divisió de nombres complexos en forma polar
Per a multiplicar dos nombres en forma polar es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments. rθ1·s (^) θ2 = (r·s) (^) θ1+ θ
Per a dividir dos nombres en forma polar es divideixen els mòduls i es resten els arguments. rθ1/s (^) θ2 = (r/s) (^) θ1- θ
Exponencial d’un nombre complex
La forma exponencial d’un nombre complex és re
θi
Operacions dels nombres complexos en forma exponencial
Producte o Es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments.
Divisió o Es divideixen els mòduls i es resten els arguments.
Conjugació o El conjugat d’un complex en forma exponencial és el nombre complex de mòdul igual i argument oposat o
Suma i resta o Per a sumar o restar nombres complexos en forma exponencial, els hem d’expressar en forma binòmica. o
Potenciació o Per a elevar un nombre complex en forma exponencial a la potencia n, elevem a n el mòdul i multipliquem per n l’argument.
o
Les arrels dels nombres complexos
A diferència dels nombres reals que poden tenir una o dos o cap solució, una arrel enèsima d’un nombre complex sempre té n solucions.
Per a resoldre-ho primer passarem el nombre a forma exponencial reθi
Aplicarem la fórmula:
, k=0,1,2,3...
Ara anirem substituint la k per 0,1,2... fins arribar a n solucions.
Elements d’àlgebra lineal i geometria
Espais vectorials
Vectors a l’espai R
n
Donats dos punts en Rn, P(p 1 ,p 2 ,…,pn) i Q(q 1 ,q 2 ,…,qn) es defineix el vector com el segment orientat que té origen a P i final a Q. o P(5,5) i Q(7,2) o P(-2,-3,1) i Q(3,1,0) —
Operacions amb vectors u+v=(u 1 +v 1 , u 2 +v 2 , …, un+vn) (u+v) Є Rn k·u=(k·u 1 , k·u 2 , …, k·un) (k·u) Є Rn
Definició d’espai vectorial
Donat un conjunt i dues operacions: La suma d’elements d’V (+) i el producte d’un element d’V per un nombre Real (·) si:
suma o Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (u,v,w ϵ V) o Conmutativa: u + v = v + u o Existència d’element neutre u + 0 = 0 + u = u o Existència d’element oposat u + v = v + u = 0 Producte o Distributiva: k · ( u + v ) = k · u + k · v (k,h ϵ R) o Distributiva II: (k + h) · u = k · u + h · u o Associativa: k· (h · u ) = (k · h) · u o Existència d’element neutre: 1 · u = u
Els elements d’un espai vectorial s’anomenen vectors
Subespai Vectorial Si W és subconjunt de V i la suma de dos elements d’W i el producte d’un escalar per W tenen com a resultat un nou element d’W parlem de subespai vectorial.
Combinació lineal. Subespai generat
Un vector de dimensió n, és combinació lineal d’n vectors si cada terme d’aquest és resultat de multiplicar cada vector per una constant. o El vector(2,-3,1) és combinació lineal de (1,0,0),(0,3,1) i (0,0,1) pq. (2,-3,1)=2(1,0,0)+(-1)(0,3,1)+2(0,0,1) Un subespai generat d’n vectors és el conjunt dels vectors generats de multiplicar cada vector per qualsevol nombre. Els vectors sobre els que actuen s’anomena sistema generador.
Dependència i independència lineal. Base i dimensió d’un espai vectorial.
Un vector és linealment dependent d’uns altres si es pot escriure com a combinació lineal dels mateixos. Si no es pot és linealment independent. El rang d’un conjunt de vectors és el nombre màxim de vectors linealment independents. El conjunt d’n vectors B=[(1,0,…0), (0,1,…,0), (0,0,...,1) s’anomena base canònica. Si V té dimensió n, un sistema generador tindrà un mínim d’n vectors. Si V té dimensió n, un conjunt linealment independent tindrà un màxim d’n vectors. Si V té dimensió n, i n vectors linealment independents, es diu que és base de V.
Coordenades d’un vector en una base Si tenim una base de V (B) amb els vectors u1 ... un, per a cada vector (v) hi ha un únic conjunt de nombres reals tals que v = c 1 · u 1 + ... + cn· un. A aquest nombres se’ls anomena coordenades de v en la base B.
Dimensió del subespai S’anomena dimensió del subespai (dimW) al nombre de vectors d’una base.
Determinants
Determinant associat a una matriu quadrada d’ordre 2 o 3
Si la matriu és 1x1 el determinant és el nombre que compon la matriu. Si la matriu és 2x2, el determinant és el producte dels elements de la diagonal.
Si la matriu és de 3x3:
Determinant associat a una matriu quadrada d’ordre 4 o superior
Adjunt d’un element És el determinant que resulta eliminant la fila i columna a la que pertany l’element. El signe de l’adjunt serà:
Càlcul del determinant d’una matriu quadrada a partir dels adjunts. Buscarem la fila o columna que més ceros tingui. El determinant és el resultat de sumar el producte de tots els termes de la fila o columna escollida pel seu adjunt.
Propietats del determinants
El determinant d’una matriu és igual al de la seva transposada Si partim d’un determinant inicial i s’intercanvien de posicio dues files o dues columnes, el valor del nou determinant és el mateix però de signe contrari Si un determinant té dues files o columnes iguals o proporcionals, el seu valor és 0. Si un determinant té una fila o columna tota de zeros, el seu valor és 0. Multiplicar un determinant per un número és equivalent a multiplicar una sóla fila o columna pel número. Si tots els element d’una fila o columna d’un determinant estan formats per dos sumands, el determinant es pot descompondre com a suma de dos determinants. Si els elements d’una fila o columna són combinació lineal de les altres, el determinant val 0. Si a una fila o columna se li suma els elements d’una altra línea multiplicats per un número (ouna combinació lineal de les altres) el valor del determinant no varia. El determinant d’un producte de matrius és igual al producte dels determinants. |A·B| = |A|·|B|
Càlcul de la matriu inversa
Una matriu té inversa (no és singular) si el seu determinant no és nul. Per calcular-la apliquem: , és a dir: o Calculem el seu determinant i veiem que no és 0. o Calculem la matriu d’adjunts (A’) o Transposem (canviant files per columnes) la matriu (A’)T o Multipliquem la matriu transposada per 1 dividit pel determinant
Rang d’una matriu. Càlcul mitjançant determinants
És el nombre de files o columnes linealment independents. Es denota com rg(A) S’anomena menor d’ordre h a qualsevol determinant que s’obtingui després de seleccionar h files i columnes d’una matriu. S’anomena orlat d’un menor, el determinant que s’obté després d’afegir al menys, de forma ordenada, els elements d’una nova fila i columna. El rang d’una matriu no nul·la és determinat per l’ordre del major menor no nul.
Càlcul del Rang d’una matriu Per a saber el rang d’una matriu partirem d’un nombre diferent de 0. Fem tots els determinants que podem (menors d’ordre 2) que inclouen el nombre anterior fins a trobar un diferent de
- Si no en trobem cap, el rang és 1. Orlem el menor anterior. Si no n’hi ha cap diferent de 0, el rang serà 2. Repetim el procés fins que no puguem orlar el menor.
Aplicacions als espais vectorials
Dependència i independència lineal Un conjunt d’n vectors són linealment independents si el rang de la matriu que els allotja és n Un conjunt d’n vectors són linealment dependents si el rang de la matriu que els allotja és menor que n
Dimensió d’un subespai generat La dimensió d’un espai generat, coincideix amb el rang de la matriu
Matriu de canvi de base en un espai vectorial
En aquest cas, el vector que tingui coordenades (1,1,0) en base B tindrà les coordenades següents en base A:
Equacions de rectes i plans
Equacions d’una recta al pla
Si tenim una recta r, que passa per dos punts P(p 1 ,p 2 ) i Q(q 1 ,q 2 ), podem considerar un vector director v= =(v 1 ,v 2 )=(q 1 -p 1 ,q 2 -p 2 ). (x,y) és qualsevol altre punt de la recta.
Equació vectorial X=P+k·v, on k Є R (x,y)= (p 1 ,p 2 )+k·(v 1 ,v 2 ) Equacions paramètriques
Equació continua
Equació punt-pendent
Equació explícita y=m·(x-p 1 )+p 2 = m·x-m·p 1 +p 2 o sigui y=m·x+n essent n=-m·p 1 +p 2 l’ordenada a l’origen Equació genèrica Ax+By+C=0, on A=v 2 , B=-v 1 i C=-v 2 ·p 1 + v 1 ·p 2
Equacions d’una recta a l’espai
Equació vectorial (x,y,z)= (p 1 ,p 2 ,p 3 )+k·(v 1 ,v 2 ,v 3 ) Equacions paramètriques
Equacions continues
Vector combinació lineal d’una base
Si tenim una base B={u 1 , u 2 , ..., up} d’un subespai W a ℝn, podem trobar un vector v de W que sigui combinació lineal de la base trobant les coordenades c 1 , c 2 , ..., cp
v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + cp u p
Per a trobar les ci caldrà resoldre un sistema del tipus:
Si la base és ortogonal aquest sistema se simplifica bastant:
ci = v·ui / ui · ui (i=1,2,...,p)
Projeccions Ortogonals
Tenim un vector v de ℝn, un subespai vectorial W de ℝn^ i una base ortogonal B={u 1 , u 2 , ..., up} de W
PO(v, W ) = v* = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + cp u p amb c i = v · u i / u i· u i (i = 1,2,...,p)
Descomposició ortogonal
Qualsevol vector d’ ℝn^ es pot escriure com:
v = v* + z ;
z = v – v* és un vector de W┴.
|z| és la distancia més curta d’un punt d’v a W
Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt Permet obtenir una base ortogonal per a qualsevol subespai ℝn^ no trivial (que no només conté el vector 0 de ℝn)
Sigui W un subespai vectorial d’ℝn^ i B ={u 1 , u 2 , ..., up} una base qualsevol de W.
- Es pren v 1 = u 1 i es considera W 1 =< v 1 >
- Es pren v 2 = u 2 – PO( u 2 , W 1 ) i es considera W 2 =< v 1 , v 2 >
- Es pren v 3 = u 3 – PO( u 3 , W 2 ) i es considera W 3 =< v 1 , v 2 , v 3 >
- Es pren v 4 = u 4 – PO( u 4 , W 3 ) i es considera W 4 =< v 1 , v 2 , v 3 , v 4 > ... p) Es pren v p= u p – PO( u p, W p-1)
Sistemes d’equacions lineals (SEL)
Sistemes d’equacions lineals (SEL)
Un sistema d’ m equacions lineals amb n incògnites (SEL) és un conjunt de relacions de la forma:
ℝ s’anomenen coeficients del sistema. ℝ s’anomenen incògnites del sistema. ℝ s’anomenen termes independents del sistema. Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen el mateix nombre d’incògnites i les mateixes solucions, encara que puguin tenir un nombre d’equacions diferents.
Classificació
Si un sistema d’equacions (lineal o no) té solució s’anomena sistema compatible. Si un sistema d’equacions (lineal o no) NO té solució s’anomena sistema incompatible. Si un sistema d’equacions lineal te una única solució s’anomena sistema compatible determinat. Si un sistema d’equacions lineal te infinites solucions s’anomena sistema compatible indeterminat.
Expressió matricial d’un SEL
Es possible expressar un sistema d’equacions lineals com a producte de matrius.
o equivalentment A·X=B
o A és la matriu de coeficients o X és el vector d’incògnites o B és el vector de termes independents
També existeix la matriu de coeficients ampliada
Discussió de SEL
Consisteix en determinar quin tipus de sistema és el SEL
Teorema de Rouché-Fröbenius
Donat un sistema d’m equacions lineals i n incògnites es compleix que:
o Si rg(A) = rg(M) = n tenim un SCD (Sistema compatible determinat) o Si rg(A) = rg(M) = r < n tenim un SCI (Sistema compatible indeterminat) Es diu que té n – r graus de llibertat
o Si rg(A) < rg(M) és un SI (Sistema incompatible)
A és la matriu de coeficients i M la matriu de coeficients ampliada.
Interpretació geomètrica dels SEL
m rectes en el pla És a dir m equacions amb dues incògnites (x,y) Per tant: o Si el sistema és compatible determinat existeix un únic punt (x 0 , y 0 ) on es tallen les m rectes o Si el sistema és compatible indeterminat les m rectes tenen infinits punts en comú, és a dir, és la mateixa recta expressada de diferents formes o Si el sistema és incompatible, no hi ha cap punt en comú (si m=2 són paral·leles)
m plans a l’espai Un pla es representa com una equació lineal de tres incògnites: o ᴨ : ax + by +cz = d Per tant: o Un SEL d’m equacions amb 3 incògnites es pot interpretar com un conjunt d’m plans a l’espai o Si un SEL és compatible determinat existirà un únic punt (x 0 , y 0 , z 0 ) on s’intersecaran els m plans. Si tenim dos plans (m=2) mai es tallaran en un únic punt (o serà el mateix plà o es tallaran en una recta) o Si un SEL és compatible indeterminat hi haurà infinites solucions que verifiquin les m equacions, és a dir que es tallaran en una recta o serà el mateix pla. o Si un SEL és incompatible els m plans no tindran cap punt d’intersecció.
rectes com a intersecció de plans Atès que la intersecció de dos plans dona una recta, podem determinar una recta així:
o
Així doncs podem determinar la posició relativa d’una recta en un pla discutint un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites. o Si el sistema és incompatible la recta està en un altre pla paral·lel o Si el sistema és compatible determinat la recta talla al pla en un punt o Si el sistema és compatible indeterminat la recta pertanyerà al pla
D’altra banda podem estudiar la posició relativa de dues rectes amb un SEL de quatre equacions i 3 incògnites:
o
o Si el sistema és incompatible les rectes seran paral·leles o es creuaran però pertanyeran a plans paral·lels. o Si el sistema és compatible determinat les rectes es tallaran en un punt. o Si el sistema és compatible indeterminat les rectes seran la mateixa.
Aplicacions lineals
Concepte d’aplicació lineal
Aplicacions entre conjunts
Una aplicació f d’un conjunt origen A en un conjunt destí B és una relació de correspondència que assigna a cada element a Є A un únic element b Є B b és la imatge de a per f. Per extensió s’anomena imatge de A per f al subconjunt de B format per totes les imatges dels elements de A. Es representa: o
Una aplicació és injectiva si a elements diferents del conjunt origen corresponen elements diferents del conjunt destinació. Una aplicació és suprajectiva (o exhaustiva) quan tots els elements del conjunt origen tenen imatge. Una aplicació és bijectiva quan és injectiva i suprajectiva alhora.
Aplicacions lineals entre espais vectorials
Tenim dos espais vectorials (U,+,·) i (V,+,·) d’ℝ. f és una aplicació entre U i V
U → V és una aplicació lineal o homomorfisme si: o u 1 , u 2 ϵ U, f( u 1 + u 2 ) = f( u 1 ) + f( u 2 ) o u ϵ U, λ ϵ ℝ, f(λ · u ) = λ · f( u )
Ó el que és equivalent o u 1 , u 2 ϵ U, λ1, λ 2 ϵ ℝ, f(λ 1 · u 1 + λ 2 · u 2 ) = λ1 · f( u 1 ) + λ 2 · f( u 2 )
Una aplicació lineal s’anomena endorfisme quan l’espai origen és el mateix que el destí. f:U → U
Matriu associada a una aplicació lineal
N’hi ha prou en conèixer com actua l’aplicació lineal sobre els elements d’una base origen per a conèixer com actuarà sobre qualsevol altre vector de l’espai origen.
Exemple:
BU = {(1,0,1),(0,1,1),(-1,2,2)} és una base d’ℝ^3 Les imatges són: {(2,4),(1,3),(0,3)}
M ( f |Bℝ^3 , Bℝ^2 )=
Per tant qualsevol vector u d’ℝ^3 expressat com a combinació lineal d’ Bu es pot resoldre:
u = (-7,5,0) = -5·(1,0,1) + 1 · (0,1,1) + 2 · (-1,2,2)
Nucli i imatge d’una aplicació lineal
nucli o kernel de l’aplicació és el conjunt de tots els vectors de l’espai origen la imatge dels quals sigui en vector nul.
Teorema de la dimensió
Sigui f: U → V una aplicació lineal, es compleix que: dim U = dim Ker(f) + dim Im(f)
Diagonalització d’endomorfismes
Diagonalització, conceptes i resultats
Sigui f :U → U un endomorfisme i sigui n = dim U, f és diagonalitzable si:
- El polinomi característic descompon completament en factors reals de grau 1 (possiblement repetits)
- La multiplicitat de cada VAP coincideix amb la dimensió de l’espai vectorial generat pels seus VEP associats.
o És a dir, resolem un sistema homogeni per a cada λ. Si els vectors resultants son linealment independents, la matriu és diagonalitzable (pels seus VAPS), l’ordre donaria el mateix.
Aplicació al càlcul de potències d’una matriu
Tm^ = P · Dm^ · P-1^ m ϵ ℕ
Transformacions Geomètriques
Translació en 2D
Translació en un punt
Per a traslladar un punt P a P’ fem (x’, y’) = (x,y) + (tx, ty) El vector (tx, ty) s’anomena vector de translació.
Rotació en 2D
Rotació d’un punt al voltant de l’origen de coordenades
P’=R·P
P’ = R és la matriu de rotació
Rotació d’un objecte al voltant d’un punt de rotació genèric
Apliquem una translació a l’objecte i al punt de rotació, de manera que l’últim coincideixi amb l’origen de coordenades Rodem l’objecte al voltant de l’origen de coordenades. Traslladem l’objecte a la posició inicial
Escalatge en 2D
Escalatge d’un punt a partir de l’origen de coordenades
P’=S·P
P’ = R és la matriu d’escalatge Els factors d’escala sx i sy poden prendre qualsevol valor positiu o Els factors d’escala superiors a 1 produeixen un allunyament respecte l’eix de coordenades o Els factors d’escala inferiors a 1 produeixen un apropament respecte l’eix de coordenades
Escalatge d’un objecte a partir d’un punt fix genèric tant en 2D com 3D
Apliquem una translació a l’objecte i al punt de rotació, de manera que l’últim coincideixi amb l’origen de coordenades Escalem l’objecte a partir de l’origen de coordenades. Traslladem l’objecte a la posició inicial
Notació matricial eficient
De tot l’anterior deduïm que tant la translació, com la rotació, com l’escalatge presenten expressions de la forma general:
P’ = M 1 · P + M 2
o P’ =
o o M 2 és un vector columna que conté els termes de translació. M 2 = 0 en cas de rotacions i escalatges.
La fórmula anterior té el problema de que s’ha de repetir per cada pas, hem de trobar una manera més genèrica:
o Translació d’un punt 2D / 3D
La inversa de la matriu de translació es pot obtenir reemplaçant els paràmetres tx i ty pels seus oposats -tx i -ty
o Rotació d’un punt al voltant de l’origen (2D)
al voltant de l’eix Z
al voltant de l’eix X
al voltant de l’eix Y
La inversa de la matriu de rotació s’obté reemplaçant els paràmetres θ per -θ
o Escalatge d’un punt a partir de l’origen:
La inversa de la matriu d’escalatges s’obté reemplaçant els paràmetres sx i sy pels seus inversos 1/sx i 1/sy
Composició de transformacions
Translació: T(tx2,ty2) · T(tx1,ty1) = T(tx1+tx2 , ty1+ty2) Rotació: R(θ 2 )· R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) Escalatge: S(sx2,sy2)· S(sx1,sy1)= S(sx1·sx2,sy1·sy2)
Transformacions afins en 2D
Una transformació afí en 2D és una transformació de coordenades de la forma: o x’= a 11 x + a 12 y + b 1 y’= a 21 x + a 22 y + b 2