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ALGEBRA. PRIMERA PARTE
1. LÓGICA
1. Proposiciones
Definición. Una proposición es una afirmación que sólo puede ser cierta o falsa. Cada proposición sólo tiene uno de los dos valores de verdad posibles: V o F (1 o 0).
Ejemplos. Son proposiciones: 2 + 3 = 5 (V) Un cuadrado tiene 5 lados (F) Aquí y ahora llueve.
No son proposiciones: 2 + 3 ¡Estudia! ¿Llueve? x + 1 = 3
Las proposiciones se suelen denotar por p, q, r,…
2. Conectivos y tablas de verdad.
A partir de proposiciones p, q,... se pueden construir proposiciones compuestas mediante Conectivos Lógicos:
- Negación ¬ ¬p (no p) ¬p es la proposición que es falsa cuando p es cierta y es cierta cuando p es falsa.
- Conjunción ∧ p ∧ q (p y q) p ∧ q es la proposición que es cierta cuando p y q son ciertas y es falsa en los demás casos.
- Disyunción ∨ p ∨ q (p o q) p ∨ q es la proposición que es falsa cuando p y q son falsas y es cierta en los demás casos.
- Condicional → p → q (si p entonces q)
- Bicondicional ↔ p ↔ q (p si y sólo si q)
3. Tautologías, contradicciones, implicaciones y equivalencias
p q ¬p p∨¬p p∧¬p
V V F V F V F F V F F V V V F F F V V F
4. Cuantificadores y sus negaciones
∀x∈A “para todo x del conjunto A” ∃x∈A “existe por lo menos un x del conjunto A” ∃!x∈A “existe un y sólo un x del conjunto A”
¬(∀x∈A, x cumple p) ⇔ (∃x∈A, x no cumple p) ⇔ (∃x∈A, x cumple ¬p).
¬(∃x∈A, x cumple p) ⇔ (∀x∈A, x no cumple p) ⇔ (∀x∈A, x cumple ¬p).
p q ¬p p∨q p∧q p→q p↔q
V V F V V V V V F F V F F F F V V V F V F F F V F F V V
Implicaciones
Equivalencias
- p ⇔ ¬(¬p)
- p∧(q∧r) ⇔ (p∧q)∧r
- p∨(q∨r) ⇔ (p∨q)∨r
- p∨q⇔q∨p; p∧q⇔q∧p
- ¬(p∨q) ⇔ (¬p)∧(¬q)
- ¬(p∧q) ⇔ (¬p)∨(¬q)
- p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
- p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
- p→q ⇔ (¬p)∨q
- p→q ⇔ (¬q)→(¬p)
2. CONJUNTOS
1. Definiciones
- Un conjunto es una colección de objetos.
- Los objetos de un conjunto se llaman elementos del conjunto y se dice que pertenecen al conjunto. A conjunto, a elemento: a∈A o a∉A 4 maneras de describir un conjunto
- Por extensión: Enumerando todos sus elementos.
- Enumerando unos cuantos y utilizando … cuando es evidente cómo continúa.
- Por comprensión: Caracterizando los elementos por la/las propiedades que satisfacen.
- Representación gráfica por un diagrama de Venn. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. El conjunto vacío: es el conjunto que no tiene elementos: ∅ o { } Inclusión de conjuntos A, B conjuntos A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
∅ ⊆ A, A ⊆ A ∀A A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A Cardinal de un conjunto A conjunto n número entero no negativo A tiene exactamente n elementos distintos ⇒ A es un conjunto finito y el cardinal de A es n: |A| = n Un conjunto infinito es un conjunto que no es finito. A ⊆ B ⇒ |A| ≤ |B| El conjunto de las partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A: P(A) ={B| B⊆A} |A| = n ⇒ |P(A)| = 2n^ ,
2. Operaciones entre conjuntos
La n-pla ordenada (a 1 , a 2 , …, a (^) n) es la colección ordenada que tiene a 1 como primer elemento, a (^2) como segundo, …, a (^) n como nésimo elemento. (a 1 , a 2 , …, an ) = (b 1 , b 2 , …, bn ) ⇔ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,……, an = b (^) n Pares ordenados, ternas ordenadas, cuaternas ordenadas. Producto cartesiano A, B conjuntos, A x B = {(a,b)| a∈A ∧ b∈B} A 1 , A 2 , …, A (^) n conjuntos, A 1 x A 2 x …x A (^) n ={ (a 1 , a 2 , …, an) | ai ∈A (^) i, i = 1,2,…,n} Cardinales: |A x B| = |A| ⋅ |B|, |A 1 x A 2 x …x An | = |A 1 | ⋅ | A 2 | ⋅ … ⋅ | A (^) n | Unión de conjuntos A, B conjuntos A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B} (A unión B) x∈ A∪B ⇔ x∈A o x∈B o (x∈A y x∈B) Intersección de conjuntos A, B conjuntos A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B} (A intersección B) Dos conjuntos son disjuntos cuando su intersección es el ∅ Cardinales (fórmula de inclusión-exclusión): | A∪B | = |A| + |B| - | A∩B | Diferencias de conjuntos A, B conjuntos A - B = {x | x∈A ∧ x∉B} (diferencia de A y B o complementario de B respecto de A) Cardinal: | A - B | = |A| - | A∩B |
A subconjunto de B, A incluido en B, A contenido en B
^ =
k
n (^) nº de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos
• A⊂B
∀y∈b ∃x∈A tal que f(x) = y Equivalentemente: f(A) = B Aplicaciones biyectivas Una aplicación f : A→B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y exhaustiva Ejemplos
- f : Z→Z^ es biyectiva^ 2. f : Z→Z no es inyectiva ni exhaustiva n →n+1 n →n 2 Cardinales: | {f : A→B | f aplicación} | = m n | {f : A→B | f aplicación inyectiva} | =m (m-1)(m-2)⋅⋅⋅(m-n+1) ¡n≤m! | {f : A→B | f aplicación biyectiva} | =m! ¡n=m! Composición de aplicaciones f : A→B, g : B→C aplicaciones g o f : A →C x→ g o f (x) = g ( f(x) ) Aplicación inversa f : A→B aplicación biyectiva ⇒ ∃! f-1^ : B→A aplicación (también biyectiva) y → f-1^ (y) =x tal que f(x) = y f-1^ es la aplicación inversa de f ∀y∈B f(f-1^ (y)) = y y ∀x∈A f-1(f(x)) = x Grafo y gráfica de una aplicación f : A→B aplicación, el grafo de f es: Gr (f) = {(x,y)| x ∈A ∧ f(x) = y} Y la gráfica de f es la representación de Gr (f) en el plano xy. Las aplicaciones parte entera inferior y parte entera superior x ∈ R x = max {n ∈Z | n ≤ x} x = min {n ∈Z | n ≥ x}
4. SUCESIONES, SUMAS Y PRODUCTOS
Definición. Dado un conjunto A, una sucesión de elementos de A es una aplicación de N o Z en A. a: N → A 0 → a 0 1 → a 1 M n → an M La sucesión se indica por (a (^) n) o (a (^) n)n∈N o (an )n≥ 0 , {an } o {a (^) n} (^) n∈N o {a (^) n}n≥ 0 Ejemplos
- La sucesión (an) (^) n≥ 1 con a (^) n= 1/n: 1, ½, 1/3, ¼,…
- La sucesión (bn) (^) n≥ 0 con b (^) n= (-1) n: 1, -1, 1, -1,…
- La sucesión (cn )n≥ 0 con cn= (5) n: 1, 5, 25, 125, 625,… Algunas sucesiones de números enteros (n 2 ) 1,4,9,16,25,36,49,64,… (n3) 1,8,27,64,125,216,343,… (n 4 ) 1,16,81,256,625,1296,… (2 n) 1,2,4,8,16,32,64,128,256,… (3 n) 1,3,9,27,81,243,729,2187,… n! 1,2,6,24,120,720,5040,40320,.. Progresiones aritméticas a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+nd,… Progresiones geométricas a, ar, ar^2 , ar^3 , …, ar n,… Sumatorios
|A| = n |B| = m
∀x∈R x ≤ x ≤ x
a (^) n es la imagen del entero n y se le llama término n-ésimo de la sucesión Sucesiones^ ↔^ listas ordenadas infinitas de elementos Listas ordenadas finitas, secuencias finitas o cadenas a 1 , a 2 , …, a (^) n o a 1 a 2 … an. La longitud de una cadena es su número de términos. La cadena vacía es la que no tiene términos, y tiene longitud 0.
a primer término de la progresión d diferencia de la progresión
=
n
i
a a an ai 1
1 2 L^ ∑
=
n
i m
a (^) m am 1 am 2 L an ai
índice del sumatorio límite inferior límite superior
a primer término de la progresión r razón de la progresión
Ejemplos
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica no constante (r ≠ 1)
Sumatorios dobles
5. COMBINATORIA
1. Principios básicos de conteo.
Principio de la suma Si A 1 , A 2 ,…, A (^) m son conjuntos disjuntos dos a dos, entonces el cardinal de su unión es la suma de sus cardinales: | A 1 U A 2 U … U A (^) m | = |A 1 | + |A 2 | + … + |A (^) m | Como corolario del principio de la suma se tiene:
Si las tareas T 1 , T 2 ,…, T (^) m pueden hacerse de n 1 , n 2 , …nm maneras distintas respectivamente, y ningún par de estas tareas pueden hacerse simultáneamente, entonces hay n 1 + n 2 + … + nm maneras de hacer una de las tareas dadas. Principio del producto Si A 1 , A 2 ,…, Am son conjuntos, entonces el cardinal de su producto cartesiano es el producto de sus cardinales: | A 1 × A 2 × … × Am | = |A 1 | · |A 2 | · … · |Am | Como corolario del principio del producto se tiene:
Si un proceso consta en realizar las tareas T 1 , T 2 ,…, Tm. Supongamos que T 1 puede hacerse de n (^1) maneras distintas y cada Ti puede hacerse de ni formas distintas después de haber hecho T 1 ,T 2 ,…,Ti-1 entonces hay n 1 ·n 2 ·…·nm maneras de realizar el proceso. Ejemplos.
- ¿Cuántas cadenas de bits de longitud 7 distintas hay?: cada uno de los 7 bits puede ser de dos maneras: 0 o 1 ⇒ hay en total 2 7 = 128 cadenas de bits de longitud 7 distintas.
- ¿Cuántas aplicaciones hay de un conjunto de m elementos en uno de n elementos?: nm^.
- ¿Cuántas aplicaciones inyectivas hay de un conjunto de m elementos en uno de n elementos?: Es necesario que m ≤ n y entonces hay n(n – 1)(n – 2) ··· (n – m + 1). Muchos problemas de conteo se resuelven usando ambos principios.
2. Permutaciones y combinaciones.
Definiciones. Una permutación de un conjunto de n elementos es una ordenación de los n elementos. Una r-permutación de un conjunto de n elementos es una ordenación de r cualesquiera de los n elementos (una selección ordenada o distribución de r de los n elementos). (r ≤ n) P(n,r) es el número de r-permutaciones de un conjunto de n elementos. Teorema. El número de r-permutaciones de un conjunto de n elementos distintos es: P(n,r) = n(n – 1)(n – 2) ··· (n – r + 1).
1 4 9 16 25 55
5 1
(^2) =+ + + + = ∑ j =
j (^) ∑
− = − + − + =
8 4
( 1 ) 1 1 1 1 1 1 k
k
( 1 ) 2
( ) 0
=
n a a nd a id
n i
+^ último⋅nºdetérminos 2
1 º
r
nar a arn
j
j −
= = − +
1
0
S (^)
⋅ 1 - r
1º-últimor
( 2 3 ) 6 6 12 18 24 60
4 1
4 1
3 1
4 1
∑∑ =^ ∑ + + =∑ = + + +^ =
i = j = i = i =
ij i i i i
∑
=
n k
nn k 1 2
( 1 )
∑
=
n k
nn n k 1
2 6
( 1 )( 2 1 )
∑
=
n k
n n k 1
2 2 3 4
( 1 )
Agunos sumatorios útiles
Demostración: Aplicando el teorema del binomio:
- Para todo entero n ≥ 0 se tiene:
Demostración: Aplicando el teorema del binomio a 2 n^ = (1 + 1) n
- Para todo entero n ≥ 0 se tiene:
Demostración: Aplicando el teorema del binomio a 3 n^ = (2 + 1) n Igualdades combinatorias.
La identidad de Pascal:
La identidad de Vandermonde:
6. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
1. Demostraciones - ¿Cuando una demostración o un razonamiento matemático es correcto? - ¿Qué métodos se pueden usar para construir razonamientos matemáticos? Un teorema es una afirmación que se puede demostrar que es cierta. Una demostración es una cadena de afirmaciones o pasos, en la que cada nueva afirmación se deduce (se concluye) de: - Las hipótesis del teorema - Anteriores afirmaciones de la demostración ya demostradas - Axiomas o postulados - Teoremas previos Para pasar de un paso al siguiente, para extraer conclusiones de ciertas afirmaciones se utilizan reglas de inferencia. !!!!! Proposiciones, lemas, corolarios, conjeturas, falacias 2. Reglas de inferencia Nombre Tautología o Regla de inferencia Adición p → (p ∨ q)
Simplificación (^) (p ∧ q) → p
Conjunción ((p) ∧ (q) )→ (p ∧ q)
Modus ponens (^) [p ∧ (p → q)] → q
Modus tollens (^) [¬q ∧ (p → q)] → ¬p
Silogismo hipotético [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Silogismo disjuntivo [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q
∑ ∑ = =
− (^) −
− =
= − + = ^ n k
n k k
n knk k
n k
n 0 0
0 (( 1 ) 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 )
n k
n k
n 0
2
∑
=
n k
k n k
n 0
2 3
+ =
+
− k
n k
n k
n 1 1
∑
^ +^ = ^ − ⋅
k r r
n k r
m k
m n 0 2
0
2
=
= ⋅
n k k
n n
n
!!!! Triángulo de Pascal o de Tartaglia
Ejemplos
- Si n es divisible por 3, entonces n 2 es divisible por 9 n = 15 es divisible por 3
- Si n es divisible por 75, entonces es divisible por 25 Si n es divisible por 25, entonces es divisible por 5
Un argumento (p 1 ∧ p 2 ∧ … ∧ p (^) n ) → q es válido si se cumple que cuando todas las hipótesis p 1 , p 2 , … ,pn son ciertas la conclusión q también es cierta. Entonces, si el argumento es válido y todas las proposiciones p 1 , p 2 ,…,p (^) n son ciertas , la conclusión q también lo será. Un argumento válido puede conducir a una conclusión falsa si una de las premisas que utiliza es falsa. Ejemplo : “Si n es divisible por 3, entonces n^2 es divisible por 9. n = 101 es divisible por 3. Consecuentemente 101 2 es divisible por 9.” Ejemplos comunes de argumentos incorrectos
- [ (p → q) ∧ q] → p
- [ (p → q) ∧ ¬p] → ¬q
- En una demostración no se puede usar lo que se quiere demostrar. Algunos métodos de demostración de teoremas Muchos teoremas son implicaciones. p → q es cierto excepto en el caso en que p es cierto y q es falso. Para demostrar p → q hay que probar que q es cierto si p es cierto. ¾ Demostración directa Consiste en demostrar p → q viendo que si p es cierto, entonces q debe también ser cierto. Se supone que p es cierto y se utilizan reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para mostrar que q debe también ser cierto. Ejemplo: demostración directa de “Si n es impar, entonces n^2 es impar”
- Suponemos que la hipótesis es cierta: n es impar
- Entonces n = 2k + 1 con k entero
- Entonces n 2 = (2k + 1)^2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) +1 y 2k 2 + 2k es entero
- Por tanto n^2 es impar ¾ Demostración indirecta o por el contra-recíproco Se basa en que la implicación p → q equivale a ¬q → ¬p Consiste en demostrar p → q viendo que si q es falso, entonces p debe también ser falso. Se supone que q es falso y se utilizan reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para mostrar que p debe también ser falso. Ejemplo: demostración por el contra-recíproco de “Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar”
- Suponemos que la tesis es falsa: n es par
- Entonces n = 2k con k entero
- Entonces 3n + 2 = 3(2k ) + 2= 2(3k + 1) y 3k + 1 es entero
- Por tanto 3n + 2 es par ¾ Demostración vacía Se basa en que si la hipótesis p es falsa entonces la implicación p → q es cierta. (Las implicaciones F → V y F → F son las dos ciertas).
⇒ n^2 = 225 es divisible por 9
⇒ Si n es divisible por 75, entonces es divisible por 5
Silogismo hipotético
Modus ponens
Ejemplo: demostración por casos de “Si un entero n no es divisible por 3, entonces n^2 ≡ 1 (mod 3)”.
- 3 | n ⇔ [n≡1 (mod 3) ∨ n≡2 (mod 3)].
- n≡1 (mod 3) ⇒ n 2 ≡1 (mod 3).
- n≡2 (mod 3) ⇒ n 2 ≡1 (mod 3).
- Por tanto 3 |n ⇒ n 2 ≡1 (mod 3). ¾ Demostraciones de equivalencias Cuando un teorema establece que varias proposiciones son equivalentes: p 1 ↔ p 2 ↔… ↔ p (^) n , para demostrarlo suele demostrarse que las implicaciones p 1 →p 2 , p 2 →p 3 ,…, p (^) n-1→p (^) n , pn→p 1 , son ciertas. Ejemplo: Para demostrar que si n es un entero las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- n mod 3 = 1 o n mod 3 = 2.
- n no es divisible por 3.
- n 2 ≡1 (mod 3). se demuestra p 1 →p 2 , p 2 →p 3 , y p 3 →p 1 : demostración directa de p 1 → p 2 : Suponemos n mod 3 = 1 o n mod 3 = 2. Entonces n = 3q +r con r = 1 o r = 2. Por tanto r ≠ 0. Es decir n no es divisible por 3. La demostración de p 2 → p 3 era el ejemplo anterior. demostración indirecta de p 3 → p 1 : Suponemos que la conclusión es falsa: ¬(n mod 3 = 1 o n mod 3 = 2). Entonces, como n mod 3 sólo puede ser 0, 1 o 2, tiene que ser n mod 3 =
- Por tanto 3 | n. Es decir ∃k entero con n = 3k. Entonces n 2 = 9k 2 = 3(3k 2 ). Por tanto n 2 ≡ 0 ≡ 1 (mod 3). Teoremas y cuantificadores. Los TEOREMAS DE EXISTENCIA son los que su tesis es del tipo ∃x P(x). Sus demostraciones pueden ser constructivas o no constructivas. ¾ Demostraciones constructivas: consisten en encontrar un elemento a tal que P(a) es cierto. Ejemplo: demostración de que para todo entero positivo n existen n enteros positivos compuestos consecutivos. (Euclides) ¿∀n ∃x (x+i es compuesto para i = 1, 2, … , n)?
- Sea x = (n + 1)! + 1.
- Consideramos los enteros x + 1, x + 2, … , x + n
- Para cada i = 1, 2,…, n se tiene que i + 1 divide a x + i = (n + 1)! + (i + 1).
- Por tanto x+i es compuesto para i = 1, 2,…, n. ¾ Demostraciones no constructivas: no consisten en encontrar un elemento a tal que P(a) es cierto, si no en demostrar ∃x P(x) de otra forma. Muchas veces se hace una demostración por reducción al absurdo, mostrando que la negación de ∃x P(x) implica una contradicción y otras veces se hace una demostración directa. Ejemplo: demostración de que para todo entero positivo n existe un número primo mayor que n. (demostración directa) ¿ ∀n ∃x ( x es primo y x es mayor que n).?
- Sea n un entero positivo.
- Consideramos el entero n! + 1.
- n! + 1 > 1 ⇒ ∃p primo tal que p | (n! + 1).
- Al dividir (n! + 1) entre cualquier entero entre 2 y n se tiene resto 1.
Demostraciones de Teoremas de existencia
- Por tanto cualquier p primo tal que p | (n! + 1) ha de ser p > n.
- Consecuentemente ∃p primo tal que p > n. ¾ Demostraciones por contraejemplo Dado que ¬(∀x P(x) ) equivale a que ∃x ¬ P(x), PARA DEMOSTRAR QUE ∀ X P(X) ES FALSO basta hallar un elemento a tal que ¬ P(a). Ejemplo: Para demostrar que la afirmación “Todos los números primos son impares” es falsa basta con mostrar que 2 es un contraejemplo. ¾ DEMOSTRACIONES DE ∀ X P(X) Para demostrar que ∀x P(x) no basta mostrar que es cierto para unos cuantos x (aunque sean muchos). Por muchos x que haya para los que P(x) sea cierto, puede pasar que ∀x P(x) sea falso. Ejemplo: ¿Es n^2 – n + 41 primo para cualquier entero no negativo n? Aunque resulta ser cierto para todos los enteros no negativos hasta el 40, para n= 41 no lo es. INDUCCIÓN MATEMÁTICA El Principio de Inducción sirve para demostrar proposiciones del tipo P(n) ∀n entero tal que n ≥ n (^0) También se usa para demostrar resultados sobre la complejidad de algoritmos, verificar ciertos tipos de programas, teoremas de grafos y árboles, y muchas igualdades y desigualdades entre los elementos de conjuntos discretos. El Principio de inducción se basa en el: El principio de la buena ordenación. Todo conjunto no vacío de enteros no negativos tiene primer elemento: ∀A ∈ Z+^ ∃min A Todo subconjunto no vacío de Z acotado inferiormente tiene mínimo. Todo subconjunto no vacío de Z acotado superiormente tiene máximo. Teorema Sea n 0 un número entero y sea S un subconjunto de Z tal que: (i) n 0 ∈ S (ii) ∀n ≥ n 0 n ∈ S ⇒ n+1 ∈ S Entonces {x ∈ Z / x ≥ n 0 } ⊂ S. Demostración. Por reducción al absurdo: Suponemos que {x ∈ Z / x ≥ n 0 } ⊄ S. Entonces el conjunto X = {x ∈ Z / x ≥ n 0 , x∉S} ≠∅. Como X está acotado inferiormente por n 0 ⇒ ∃min X. Sea α = min X. (α ∈ X) Por (i) se tiene α ≠ n 0. Por tanto α > n 0. Entonces α - 1 ≥ n 0. Como α = min X y α - 1 < α ⇒ α - 1 ∉ X Entonces por (ii): (α - 1) + 1 = α ∈ S. Contradicción. Corolario: el principio de inducción. Supongamos que para cada n ≥ n 0 tenemos una proposición P(n) que puede ser cierta o falsa. Si: (i) P(n 0 ) es cierta y (ii) ∀n ≥ n 0 P(n) ⇒ P(n+1)
⇒ α - 1 ∈ S
- Como n + 1 = d.q ⇒ n + 1 es producto de primos 2. Sólo con sellos de 4 cent. y sellos de 5 cent. se puede pagar cualquier tarifa postal n ≥ 12 cent. P(n): Se puede pagar n cent. usando únicamente sellos de 4 cent. y sellos de 5 cent. (i) Paso base: una tarifa de 12 cent. se puede pagar usando únicamente sellos de 4 cent. (ii) Paso inductivo: a) Lo vemos para 13, 14 y 15: 13 = 2 * 4 + 5, 14 = 4 + 2 * 5, 15 =3 * 5 b) Sea n ≥ 15 y supongamos que: H. I. se puede pagar k cent. usando únicamente sellos de 4 cent. y sellos de 5 cent para 12 ≤k≤n. Entonces para pagar n + 1 cent. se ponen los sellos necesarios para n-3 cent y se añade uno de 4cent.
6. ARITMÉTICA
1. ENTEROS Y DIVISIBILIDAD
Definición. Dados a,d∈Ζ con d≠0, se dice que d divide a a cuando existe un q ∈Ζ tal que a=dq. d|a ∃⇔ q ∈Ζ tal que a=dq. También se dice que d es un divisor de a, que d es un factor de a y que a es un múltiplo de d. Propiedades de la relación de divisibilidad en Ζ
- 1,a,-1 y –a dividen a a (⇒ reflexiva)
- d|a ⇔ (-d)|a ⇔ d|(-a) ⇔ (-d)|(-a) ⇔ |d| | |a|
- d|a, a≠0 y d≥ 0 ⇒ 1 ≤d≤|a|
- d|1 ⇒d=+
- a|b y b|a ⇒b=+a (|b| = |a|) (en Z+^ antisimétrica)
- a|b y b|c ⇒a|c (transitiva)
- a|b y a|c ⇒a|(b+c)
- a|b ⇒a|bc, ∀c ∈Ζ
2. NÚMEROS PRIMOS. CRIBA DE ERATÓSTENES. Definición. Un número primo es un número entero p >1 que sólo tiene cuatro divisores: 1,p,-1 y –p. Un número entero compuesto es un número entero que no es primo Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo entero positivo se puede escribir de manera única como producto de primos de forma que sus factores primos estén en orden creciente. (producto de 0, 1 o más factores primos) 1. Demostración de la existencia de la descomposición como producto de factores primos de un entero positivo Veremos que todo número entero n > 1 o es un número primo o es producto de primos por inducción completa: i) El entero 2 es un número primo. ii) Supongamos que es cierto para todos los enteros k con 1 < k ≤ n y veremos que entonces es cierto para n+1: - Si n+1 es primo ⇒ ya está
d | a d no divide a a
- Si n,d ∈ Z +^ ⇒ el número de múltiplos de d entre 1 y n es n/d
H.I.
- Si n+1 no es primo ⇒ n+1 tiene algún divisor d ≠ 1, n+1. Sea n+1 = dq ⇒ d y q son enteros entre 2 y n ⇒ d y q son números primos o producto de primos ⇒ n+1 es producto de primos. Teorema.
n > 0 compuesto ⇒ ∃p primo, p ≤ n n tal que p|n Demostración n compuesto ⇒ ∃a factor de n t.q. 11.
Entonces a ≤ n o b ≤ n , ya que si no ab> n n = n. Por tanto n tiene un factor
positivo estrictamente menor que n y estrictament mayor que 1, que o es primo o tiene algun divisor primo. !!!!! Proceso de factorización de un número entero positivo !!!!! Números primos de Mersenne (s. XVII): 2 p^ -1. Teorema. Hay infinitos números primos distintos Demostración Por “reducción al absurdo”: Suponemos que hay un número finito de números primos. Sean p 1 ,p 2 ,…,pn todos los números primos y sea N = p 1 p 2 …p (^) n + N>1⇒ N es primo o es producto de primos. Sea p uno de los factores primos de N: p|N ⇒ p≠ p 1 ,p 2 ,…,pn N - p 1 p 2 …pn = ⇒p es un número primo distinto de p 1 ,p 2 ,…,p (^) n. Criba de Eratóstenes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Se tacha el 1. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. Se deja el siguiente nº 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 no tachado y se tachan todos sus múltiplos.
- Repetir paso 2 3. DIVISIÓN EUCLÍDEA. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. ALGORITMO DE EUCLIDES Definición. Dados dos enteros a,b, con b≠0, el cociente y el resto de la división euclídea de a por b son los dos números enteros q y r que satisfacen: a = bq+r y 0 ≤ r < |b| Teorema. Dados dos enteros a,b, con b≠ 0 ⇒ el cociente y el resto de la división euclídea de a por b existen y son únicos. Ejemplos. 11 3 -11 3 11 -3 -11 - 2/ 3 1/ -4 2/ -3 1/ 4 11 = 3.3 + 2 -11 = 3.(-4) + 1 11 = (-3).(-3) + 2 -11 = (-3).4 + 1 Definición. Dados dos enteros a,b no ambos nulos, el máximo común divisor de a y b es el mayor número entero positivo d tal que d|a y d|b. Se escribe mcd(a,b). Definición. Dos enteros a,b son relativamente primos (o primos entre sí) cuando mcd(a,b) = 1. Definición. a 1 ,a 2 ,…,an enteros son primos entre sí dos a dos cuando mcd(ai ,aj) = 1 para cualesquiera 1 ≤ i < j ≤n. Cálculo del mcd(a,b)
n+1 = dq
Entonces mcd(a,b) = r (^) n y axn +byn = r (^) n = mcd(a,b) ⇒ x =xn y = y (^) n es una solución de la Identidad de Bézout.
Lema 1 para la demostración de la unicidad del T.F.A. a,b,c ∈Ζ+^ , mcd(a,b) = 1 y a | bc ⇒ a|c Demostración: mcd(a,b) = 1 ⇒ ∃s,t ∈Ζ t.q. sa + tb = 1 ⇒ sac +tbc = c Además: a | bc ⇒ a | tbc, y siempre: a | sac ⇒ a| (sac +tbc ) ⇒ a|c
Lema 2 para la demostración de la unicidad del T.F.A. p número primo, a 1 ,a 2 , … ,an ∈Ζ p | a 1 a 2 … an ⇒ ∃ i∈{1,2, … ,n} t.q. p|a (^) i (dem por inducción)
2. Demostración de la unicidad de la descomposición como producto de factores primos de un entero positivo (reducción al absurdo) Sea n = p 1 p 2 … p (^) s = q 1 q 2 … q (^) t , p (^) i ,q (^) j primos, p 1 ≤p 2 ≤ … ≤p (^) s , q 1 ≤q 2 ≤ … ≤q (^) t Dividiendo ambos productos por todos los primos comunes a los dos, tendremos: p (^) i1p (^) i2 … p (^) iu = q (^) j1 q (^) j2 … q (^) jv con ningún factor en común y u,v ∈Ζ+ Por el lema 2: p (^) i1 | q (^) jk , para algún k Pero ningún número primo divide a otro número primo ⇒ IMPOSIBLE 5. ARITMÉTICA MODULAR. Definición. Dado a^ ∈Ζ^ y m^ ∈Ζ + , a mod m es el resto de la división euclídea de a entre m. a mod m es r ⇔ 0 ≤ r < m y ∃q∈Ζ t.q. a = qm + r Definición. Dados a,b ∈Ζ y m ∈Ζ + , a es congruente con b mod m si m divide a a-b. a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a-b) ⇔ m | (b-a) ( Cuando no: a ≡ b (mod m) ) Propiedades de las congruencias Si a, b, c, n ∈Z, n > 0, entonces: 1. a ≡ a (mod n) 2. a ≡ b (mod n) ⇒ b ≡ a (mod n) 3. a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n) ⇒ a ≡ c (mod n) 4. a ≡ b (mod n), d|n ⇒ a ≡ b (mod d) 5. Si k≠0 ka ≡ kb (mod n) ⇔ a ≡ b (mod )
Y todas las soluciones son:
x = x (^) n +
t ∈Ζ
y = y (^) n -
bt
at
mcd (a,b)
mcd (a,b)
mcd(n,k )
n
a ≡ b (mod n) ⇔ ka ≡ kb (mod kn) ⇒ ka ≡ kb (mod n) ka ≡ kb (mod n) ⇒ a ≡ b (mod n) ka ≡ kb (mod n), mcd (k,n) = 1 ⇒ a ≡ b (mod n)
- a ≡ b (mod n), a ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ b (mod mcm(n,m))
- a ≡ b (mod n) ⇒ ak ≡ bk (mod n) para todo k> Teorema. Dados a,b ∈Ζ y m ∈Ζ + , a ≡ b (mod m) ⇔ ∃k ∈Ζ t.q. a = b + km demostración. a ≡ b (mod m) ⇔ m | (a-b) ⇔ ∃k ∈Ζ t.q. a – b = km ⇔ ⇔ ∃k ∈Ζ t.q. a = b + km Teorema. Sea m ∈Ζ +. Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), entonces: a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m) Demostración. a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) ⇒ ∃ s,t ∈Ζ t.q. b = a + sm y d = c + tm ⇒ b+d = (a + sm) + (c + tm) = (a + c) + m(s + t) y: bd = (a + sm)(c + tm) = ac + m(at +cs +stm). Es decir: a + c ≡ b + d (mod m) y ac ≡ bd (mod m) Congruencias lineales ax ≡ b (mod m) a,b ∈ Ζ y m> Resolver la congruencia lineal es hallar todos los xΖ∈ que la satisfacen. Un método para resolverla utiliza un inverso de a módulo m si éste existe. Definición. Dados a ∈ Ζ y m>1, se dice que es un inverso de a módulo m cuando (mod m). Teorema. Si a y m son enteros primos entre sí y m>1 ⇒ Existe un inverso de a módulo m y es único módulo m.
Demostración existencia: mcd(a,m)=1 ⇒ ∃ s,t ∈ Ζ t.q. sa+tm = ⇒ sa+tm ≡ 1 (mod m) y como tm ≡ 0 (mod m) ⇒ sa ≡ 1 (mod m) Entonces para resolver ax ≡ b (mod m) cuando mcd(a,m) = 1, se halla el inverso de a modulo m y se multiplican los dos miembros de la ecuación por este inverso. Ejemplo: Buscar el inverso de 3 módulo 7 y resolver 3x ≡ 4 (mod 7) Cuando el mcd(a,m) ≠ 1, se descompone la ecuación en un sistema de ecuaciones descomponiendo el módulo en factores y utilizando la propiedad 6 de las congruencias. En unas ocasiones se obtiene un sistema incompatible (ejemplo 3x ≡ 4 (mod 15) ⇔ 3x ≡ 4 (mod 3) y 3x ≡ 4 (mod 5), en el que la 1ª ecuación no tiene solución) y en otras ocasiones se tiene un sistema compatible indeterminado en Z (^) m (ejemplo 3x ≡ 6 (mod 15) ⇔ 3x ≡ 6 (mod 3) y 3x ≡ 6 (mod 5) ⇔ 3x ≡ 6 (mod 5) ⇔ x ≡ 2 (mod 5) ⇔ x ≡ 2 (mod 15) o x ≡ 7 (mod 15) o x ≡ 12 (mod 15))
Exponenciación modular El cálculo de la exponenciación modular puede ser bastante rápido utilizando la expresión binaria del exponente: ejemplo: 1819 13 mod 2537 = 2081
mcd ( a, m) = 1 ,m> 1 ⇒∃!a∈Ζt.q. 1 ≤a≤m- 1 conaa= 1
a ∈ Ζ a ⋅a≡ 1
