apunts mates, Apuntes de Farmacia

¡Descarga apunts mates y más Apuntes en PDF de Farmacia solo en Docsity!

Notes sobre matemàtica aplicada i

bioestadística

Antonio Bernal

11 de setembre de 2014

Índex

ÍNDEX Antonio Bernal

• 0 Introducció
  • 0.1 Estructura de l’assignatura
  • 0.2 Sobre el campus virtual
  • 0.3 Referències
  • 0.4 Avaluació
  • 0.5 Sobre aquestes notes
• I Matemàtica aplicada
• 1 Funcions d’una variable, càlcul diferencial
  • 1.1 Recordatori de conceptes bàsics
  • 1.2 Algunes gràfiques comunes
  • 1.3 Derivació i extrems
  • 1.4 Possibles problemes que poden sorgir
• 2 Funcions de diverses variables
  • 2.1 Definició i representació
    • 2.1.1 Funció de dues variables, introducció i representació
    • 2.1.2 Representació gràfica de funcions de dues variables
      • sentació 2.1.3 Funcions de tres o més variables, introducció i repre-
  • 2.2 Derivades parcials
    • 2.2.1 Què és la derivada parcial i com es calcula
    • 2.2.2 Quina interpretació té la derivada parcial?
  • 2.3 Vector gradient, càlcul i notació
    • 2.3.1 Càlcul del vector gradient
    • 2.3.2 Notació del vector gradient
  • 2.4 Derivades direccionals
    • 2.4.1 Definició i càlcul de la derivada direccional
    • 2.4.2 Interpretació de la derivada direccional
  • 2.5 Interpretació del vector gradient ÍNDEX Antonio Bernal
  • 2.6 Pla tangent
    • 2.6.1 Definició i càlcul
    • 2.6.2 Interpretació
  • 2.7 Extrems relatius
    • 2.7.1 Introducció i definicions d’extrem local i d’extrem absolut
    • 2.7.2 Condicions necessàries d’extrem local
    • 2.7.3 Condicions suficients d’extrem local
• 3 Integrals
  • 3.1 Definicions i primeres propietats
  • 3.2 Integrals immediates
  • 3.3 Integració amb canvi de variable
  • 3.4 Integració per parts
  • 3.5 Integral definida, introducció
    • 3.5.1 Definició, notació, interpretació i càlcul. Regla de Barrow
    • 3.5.2 Sobre la definició rigorosa de la integral definida
  • 3.6 Dues regles de càlcul
    • 3.6.1 Canvi de variable
    • 3.6.2 Integració per parts
  • 3.7 Volums de cossos de revolució
• 4 Equacions diferencials ordinàries
  • 4.1 Motivació. Un primer exemple
  • 4.2 Primeres definicions
  • 4.3 Resoldre una equació diferencial
  • 4.4 Una equació diferencial important
  • 4.5 Equacions amb variables separables
  • 4.6 Equacions lineals de primer ordre
• II Bioestadística
• 5 Introducció
  • 5.1 Definicions generals
    • 5.1.1 Població
    • 5.1.2 Mostra
    • 5.1.3 Paràmetre
    • 5.1.4 Estadístic
    • 5.1.5 Variable
  • 5.2 Estadística descriptiva
    • 5.2.1 Freqüències i representació gràfica ÍNDEX Antonio Bernal
    • 5.2.2 Estadístics de tendència central
    • 5.2.3 Estadístics de dispersió
    • 5.2.4 Estadístics de localització, percentils
    • 5.2.5 Rang interquartílic
    • 5.2.6 Quins estadístics utilitzar?
    • 5.2.7 Diagrames de caixa o “boxplots”
  • 5.3 Probabilitat
    • 5.3.1 Concepte de probabilitat
    • 5.3.2 Probabilitat condicionada i independència de successos
    • 5.3.3 Darreres consideracions sobre el concepte de probabilitat
    • 5.3.4 Determinació de variables
    • 5.3.5 Paràmetres d’interès de les variables quantitatives
• 6 Distribució bionomial
  • 6.1 Definició de la distribució binomial
  • 6.2 Aplicació de la distribució binomial
• 7 Distribució normal
  • 7.1 Definició de la distribució normal
  • 7.2 Càlcul amb la distribució normal
  • 7.3 Variables bionials amb N gran
  • 7.4 Adequació de les dades a la distribució normal. Gràfica QQ
• 8 Intervals de confiança
  • 8.1 La distribució t d’Student
  • 8.2 Interval de confiança per a la mitjana d’una variable normal
  • 8.3 Desviació típica coneguda
  • 8.4 Interval de confiança per a proporcions
• 9 Tests d’hipòtesis
  • 9.1 Conceptes generals. La prova t
  • 9.2 La prova t
    • 9.2.1 Disseny de l’experiment
    • 9.2.2 La hipòtesi nul·la
    • 9.2.3 Un paréntesi abans de continuar
    • 9.2.4 Càlcul de l’estadístic i decisió d’acceptar o rebutjar
    • 9.2.5 Observacions importants sobre el llenguatge
    • 9.2.6 Importància de les suposicions prèvies
    • 9.2.7 El p-valor d’un test
    • variàncies iguals 9.3 Comparació de mitjanes, mostres independents, sense suposar
  • 9.4 Prova F de comparació de variàncies
    • 9.4.1 La distribució F de Fisher-Snedecor
    • 9.4.2 La prova F per a la comparació de variàncies
  • 9.5 Mostres aparellades
• 10 Anàlisi de la variància d’un factor. ANOVA
  • 10.1 Plantejament del problema i càlculs. La taula ANOVA
    • 10.1.1 Introducció
    • 10.1.2 Un parèntesi. Per què no fer proves t per parelles?
    • 10.1.3 Càlcul d’estadístics
    • 10.1.4 Taula ANOVA i comparació de mitjanes
  • 10.2 Interpretació de la taula ANOVA
  • 10.3 Més sobre anàlisi de la variància
• 11 Taules de contingència
  • 11.1 Introducció
  • 11.2 Taules de contingència
  • 11.3 Tipus d’estudis
    • 11.3.1 Estudis prospectius
    • 11.3.2 Estudis retrospectius
  • 11.4 Prova de la “odds ratio”
  • 11.5 Prova khi-quadrat
    • 11.5.1 La distribució khi-quadrat de Pearson
    • 11.5.2 Execució del test
• 12 Regressió lineal simple
  • 12.1 Plantejament del problema
    • 12.1.1 Disseny de l’experiment
  • 12.2 Estimació puntual
  • 12.3 Motiu de l’elecció dels coeficients de regressió empírics
  • 12.4 Tests d’hipòtesis i intervals
  • 12.5 Correlació
    • 12.5.1 Definició, càlcul i interpretació
    • 12.5.2 Prova per a la correlació

0.2. SOBRE EL CAMPUS VIRTUAL Antonio Bernal

La segona part del curs s’anomena bioestadística i consisteix en un primer curs d’estadística aplicada a les ciències farmacèutiques. En aquesta part no hi ha materials necessaris de batxillerat, es parteix de zero. El tractament tant d’una part com de l’altra, serà eminentment aplicat. No es donarà de forma sistemàtica la demostració dels enunciats i teore- mes que es faci servir i ens centrarem en la seva utilització per a resoldre problemes. Vull posar èmfasi en la necessitat que hi dediqueu un temps considerable a tractar de resoldre problemes. Dit d’una altra manera, aquesta assignatura s’aprova fent problemes. Encara que alguns no us surti, si heu treballat prou amb ells, l’esforç realitzat ja us serà útil i trobareu les explicacions de classe, quan es resolguin els problemes presencialment, molt més clares que si us limiteu a anar a l’aula i copiar passivament el que s’escriu a la pissarra. En l’èxit d’una assignatura presencial, els alumnes teniu, al- menys, el cinquanta per cent de la responsabilitat. Aquestes notes són un document en evolució i la meva intenció és que vagin contenint cada any més exercicis i exemples resolts. De totes mane- res, sóc partidari d’enfocar la pràctica dels exercicis del curs amb “foc real”. Paral·lelament a aquestes notes, trobareu al campus virtual uns exemplars dels exàmens dels darrers anys. Els exercicis que, dia a dia, us aniré pro- posant per a què treballeu, seran d’aquests exàmens. Per tant, us estaré demanant que feu el mateix tipus d’exercici que haureu de resoldre el dia de l’examen.

0.2 Sobre el campus virtual

Les informacions importants es podran dir a classe, o també podran ser publicades al campus virtual de l’assignatura, especialment en el fòrum de notícies. Fins al curs 2012-13 el campus virtual feia servir el programa anomenat Moodle, en la seva versió 1.9. A partir del curs 2013-14, la versió del programa Moodle és la 2.4. En el moment d’escriure aquestes notes, encara no és instal·lada la versió 2.4 i no he tingut temps de comprovar si les següents explicacions relatives al campus virtual són exactament com les explico a la nova versió. En qualsevol cas, suposo que les variacions seran petites. Tots els estudiants teniu un correu electrònic que us dóna la Universi- tat de Barcelona al matricular-vos per primera vegada. Al campus virtual, aquest correu electrònic és l’adreça que figura per defecte com el vostre correu electrònic de contacte. Cada cop que un professor publica una informació al fòrum de notícies del campus virtual, aquesta es reenvia automàticament a

0.3. REFERÈNCIES Antonio Bernal

aquest correu. És convenient que visiteu el campus virtual regularment i el fòrum de notícies, però, si no ho feu, almenys consulteu el correu electrònic que figuri al campus com el vostre correu de contacte. Si no consulteu regularment ni el campus virtual ni el vostre correu de la UB, entenc que podeu configurar al vostre compte de correu de la UB el redireccionament automàtic a alguna altra adreça de correu que sí utilitzeu o, alternativament, també podeu entrar al vostre perfil del campus virtual i canviar el correu ub.edu per defecte per l’adreça de correu que sí que consulteu (gmail, hotmail, etc.) Si ni entreu al campus virtual, ni consulteu cap correu, és possible que no us assabenteu d’informació important, com ara dates de controls, exercicis, advertiments diversos, etc. L’equip docent no acceptarà cap responsabilitat per les conseqüències perjudicials que es puguin derivar d’una manca de seguiment per part vostra de les informacions publicades al campus virtual.

0.3 Referències

Aquesta és una assignatura presencial, de manera que la millor referència és assistir a classe i preguntar tot el que no s’entengui. A part dels apunts que pugueu confeccionar. El contingut teòric del curs es troba en aquestes notes. Els problemes per practicar durant les classes de teoria són un conjunt d’exàmens d’anys anteriors. Hi haurà sessions de seminaris per practicar amb altres problemes ad- dicionals a la part de matemàtica aplicada i per practicar estadística amb ordinador a la segona part del curs. Per a la primera part, si considereu que teniu una base deficient de mate- màtiques (la part de funcions, derivades i integrals) haureu de fer un esforç suplementari pel vostre compte. Una referència que us pot ajudar és el text (ho vaig consultar fa anys, pot haver-hi canviat de títol, tot i que crec que és a la biblioteca de la facultat: Schaum (serie bachillerato), Estévez Andreu, Matemáticas.

0.4 Avaluació

Si us plau, consulteu el pla docent on hi ha la informació actualitzada apli- cable al present any acadèmic. Encara que l’esquema general de l’avaluació és estable en el temps, hi poden haver petites diferències d’un curs a un altre i el document que s’ha de consultar és el pla docent o el document que es

0.5. SOBRE AQUESTES NOTES Antonio Bernal

aportar res de valor a la seva formació com a farmacèutics. Tanmateix, a la part de Bioestadística, cal remarcar el caràcter aplicat del curs. Són problemes didàctics molt diferents explicar l’anomenada prova t d’Student per a la comparació de mitjanes en un context teòric i en un context aplicat. Des del punt de vista teòric, cal demostrar que l’estadístic definit a la prova segueix efectivament una distribució t i estudiar les propietats proba- bilístiques rellevants de la t, la seva densitat, funció característica, moments, etc. Des del punt de vista aplicat, cal fer coses com conèixer com calcular t amb calculadora, com trobar el valor crític a una taula, com fer l’anàlisi amb un programa informàtic o conèixer en quines situacions és greu i en quines no la manca d’alguna de les hipòtesis teòriques, com ara la normalitat o la homocedasticitat. Com es veu, són problemàtiques diferents i en aquest curs, dissenyat per a les necessitats dels estudiants del grau de Farmàcia, hem de decantar-nos per l’enfocament aplicat. Respecte a la redacció d’aquestes notes, he intentat apropar-me més al meu llenguatge parlat que al llenguatge més asèptic, de “llibre”; sovint re- peteixo el mateix argument de més d’una manera per fer l’explicació més entenedora. El preu que es paga amb això és que els apunts es fan més voluminosos. Confio, però, que us siguin relativament fàcils de llegir. Les notes no són un substitut d’anar a classe. En elles ja s’indica de tant en tant que a classe es faran més aclariments i exemples. A més, els problemes del curs es trauran dels exemplars d’exàmens d’anys anteriors. En tot cas, com a fil conductor espero que siguin útils. Vull comentar també que aquests són uns apunts que estic confeccionant dinàmicament. Cada curs probablement contindrà alguna petita modificació respecte de l’anterior, fins a arribar-ne a una versió “estable”. Donat que els apunts els començo a escriure el curs 2013-14, és més probable que hi hagi errates a les primeres versions. Agrairia que em comuniquéssiu les errates que hi trobeu, per tal de poder corregir-les en successives edicions. Finalment, a manera de “disclaimer”, en aquest curs hi ha exemples situats al context de les ciències de la salut, on es parlen de malalties, tractaments, etc. Cal entendre que aquests exemples s’introdueixen exclusivament amb finalitats il·lustratives de les tècniques matemàtiques exposades i no es fa cap afirmació, ni explícita ni implícita, sobre la veracitat clínica de cap d’aquests assajos o tractaments. Per tant, les afirmacions fetes no hauran de ser usades per a cap finalitat, a part de l’estrictament pedagògica dintre del camp de les matemàtiques.

Part I

Matemàtica aplicada

1.1. RECORDATORI DE CONCEPTES BÀSICS Antonio Bernal

• La funció h(x) = ln x és (^) ((((convexa( còncava.

Podem veure les gràfiques d’aquestes funcions a les figures 1.1, 1.2 i 1.3.

Figura 1.1: La funció f (x) = x^2 és convexa

Figura 1.2: La funció g(x) = ex^ és convexa

1.1. RECORDATORI DE CONCEPTES BÀSICS Antonio Bernal

Figura 1.3: La funció h(x) = ln x és còncava

És important conèixer com és el comportament de certes funcions si x → +∞.

Exemple 2. Si considerem la funció xα, on α > 0 és un exponent positiu, tenim limx→+∞ xα^ = ∞. Totes les potències d’exponent positiu tendeixen a infinit si la variable x tendeix a infinit. Unes tendeixen però, més ràpidament que altres. Per exemple, si tenim dos exponents β > α > 0 :

lim x→+∞

xβ xα^

= lim x→+∞ x(β−α)^ = +∞,

ja que β − α > 0. Això indica que el quocient xβ^ /xα^ acaba sent tot el gran que calgui, més gran que 1 , més gran que 106 ,... només prenent x prou gran. En particular, xβ^ acaba sent molt més gran que xα.

Encara que xβ^ i xα^ tendeixen a infinit, xβ^ , la potència d’exponent major, acaba “guanyant” a xα, si x → +∞. Les funcions potencials xα, amb α > 0 , formen una família de funcions en la qual totes tendeixen a infinit. Com més gran sigui α > 0 més ràpidament tendiran a infinit, com més petit sigui α > 0 més lentament tendiran a infinit.

Exemple 3. D’altra banda, la funció exponencial ex^ tendeix a infinit més ràpidament, “guanya”, a totes les potències xα, no importa l’alt que sigui l’exponent α > 0. De fet, el límit

lim x→+∞

ex xα^

1.2. ALGUNES GRÀFIQUES COMUNES Antonio Bernal

Exemple 7. A continuació hi ha una petita mostra d’aquestes funcions. Hauríeu d’estar familiaritzats, si més no, amb la forma general de les gràfi- ques. Observeu que l’escala a l’eix horitzontal pot ser molt diferent de l’escala a l’eix vertical en algunes d’elles.

Figura 1.4: Gràfica de la funció sinus

Figura 1.5: Gràfica de la funció cosinus

1.2. ALGUNES GRÀFIQUES COMUNES Antonio Bernal

Figura 1.6: Gràfica de la funció tangent

Figura 1.7: Gràfica de la funció arc-tangent

1.2. ALGUNES GRÀFIQUES COMUNES Antonio Bernal

Figura 1.10: Gràfica de la funció f (x) = x

Figura 1.11: Gràfica de la funció f (x) = x^3

1.2. ALGUNES GRÀFIQUES COMUNES Antonio Bernal

Figura 1.12: Gràfica de la funció f (x) = x^4

Figura 1.13: Gràfica de la gaussiana f (x) = x^5