¡Descarga Apunts integrals Mates y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Càlcul d’integrals indefinides
Siga f :[a ,b] →R
S’anomena primitiva de f (x)a tota funció F( x)derivable en [a , b]tal que F' (x)= f(x).
S’anomena integral indefinida de la funció al conjunt F( x)+ Con F( x)és una primitiva
de f (x). Ho denotarem per:
∫ f^ (x)dx.
Propietats de les integrals indefinides:
1.- Si α ∈R, ∫ α f(x)dx=α∫f(x)dx
2.- ∫ ( f+ g)(x)dx=∫ f(x)dx+∫g(x)dx.
Integrals immediates
Tipus Formes Simples Compostes
Potencial n ≠ − 1
kdx= kx+C
C
n 1
x x dx
n 1 n
C n 1
f f f'dx
n 1 n
Logarítmic
dx= lnx+C x
dx= lnf+C f
f'
Exponencial
a > 0 ,a≠ 1 ∫^
e xdx= ex+C
= +C
lna
a a dx
x x
e f⋅ f'dx=ef+C
⋅ = +C
lna
a a f'dx
f f
Cosinus
∫ sin^ xdx=^ −cosx+C ∫ (sin^ f)f'dx=^ −cosf+C
Sinus
cos xdx= sinx+C ( )
cosff'dx= sinf+C
Tangent
( 1 + tg x)dx=tgx+C
2
tgx C cos x
dx 2
( 1 + tgf)f'dx=tgf+C
2
dx tgf C cos f
f' 2
Cotangent
( 1 + ctg^2 x)dx=−ctgx+C
ctgx C sin x
dx 2
( 1 + ctg^2 f)f'dx=−ctgf+C
dx ctgf C sin f
f' 2
Arc sinus dx arcsinx C 1 x
2
dx arcsinf C 1 f
f'
2
Arc tangent
dx arctgx C 1 x
dx arctgf C 1 f
f' 2
Tipus potencial
∫ x^ dx
4
∫ 3 x^ dx
5
( 2 x 4 x 1 )dx
3 2
∫ dx
x
3
x dx
(^3 )
( x+ 1 ) dx
2
∫ (^2 x+^3 )dx
5
∫ (^ x +^ x+^1 )(^2 x+^1 )dx
2 4
sin x cosx dx
3
dx x
lnx
Tipus logarítmic
dx x
dx 5 x
dx x x 5
3 x 1 3
2
dx 1 x
x
dx ax b
dx x lnx
tgxdx
Tipus arc sinus
dx 1 x
2
dx 1 x
x
4
dx 1 e
e
2 x
x
dx x 1 ln x
dx x 1 x
dx 1 x
x
6
2
Tipus arc tangent
dx 3 3 x
2
dx 1 9 x
2
dx 1 x
x 4
dx 1 sin x
cosx
dx 1 e
e 2 x
x
dx a x
2 2
dx 1 4 x
x 6
2
Integrals per substitució:
Moltes vegades fent el canvi x = θ(t)la integral es transforma en una d’altra més
senzilla.
Aleshores,
dx =θ'(t)dt
f (x)dx= f ( θ(t)) ⋅θ'(t)dt ∫ ∫
Al final es desfà el canvi substituint t per (x)
− 1 θ.
Problema 1:
Calculeu (^) ∫ x x− 7 dx
2
Solució:
Efectuem el canvi t = x− 7 ,
2 x = 7 + t dx = 2 t dt.
( ) ( ) ∫ ∫ ∫
x x− 7 dx= 7 +t ⋅t⋅ 2 tdt= 2 t + 28 t + 98 t dt=
2 22 6 4 2
= + + t +C = 3
t 5
t 7
(x 7 ) C 3
(x 7 ) 5
(x 7 ) 7
Problema 2:
Calculeu ∫
16 − x dx
2
Solució:
Efectuem el canvi, x = 4 sint a fi que desaparega l’arrel.
dx = 4 costdt, (^)
x t arcsin.
∫ ∫
16 − x dx= 16 −( 4 sint) 4 cost⋅dt=
2 2
∫
= 16 ( 1 −sin t) 4 costdt=
2
∫
= 16 cos tdt=
2
Recordem que ( 1 cos 2 t) 2
cos t
2 = +
∫
= ( 1 +cos 2 t)dt= 2
^ =
∫ ∫
2 cos 2 t)dt 2
8 dt
= 8 t+ 4 sin 2 t+C =
C
x 4 sin 2 arcsin 4
x 8 arcsin +
^ +
Integració per parts
d( uv)=d(u)⋅v+u⋅d(v )
Aleshores,
∫ ∫ ∫
uv= d(uv)= v⋅d(u)+ u⋅d(v)
Per tant,
∫ u⋅^ d(v)=uv−∫ v⋅d(u)
Aleshores el mètode s’aplicarà sempre que (^) ∫ v ⋅ d(u)tinga menys dificultat de càlcul
integral que la integral de partida i que d( v)siga fàcilment integrable.
Problema:
Calculeu (^) ∫ xe dx
x .
Solució:
Fent el canvi u = x, d( u)= 1 ⋅dx
d( v) e dx
x = , ∫
x x v e dx e.
Aplicant el mètode:
∫ xe^ dx=^ xe − ∫e dx=xe −e +C=(x−^1 )e +C
x x x x x x .
Problema:
Calculeu ∫
I = e sinxdx
x .
Solució:
Fent el canvi
x u = e d( u) e dx
x
d( v)= sinx dx, v = sinxdx=−cosx ∫
Aplicant el mètode:
∫ ∫ ∫
I = e sinxdx=−cosx⋅e − (−cosx)e dx=−cosx⋅e + cosx⋅e dx
x x x x x
Fem el canvi
x u = e d( u) e dx
x
d( v)= cosx dx, v = (^) ∫ cosxdx=sinx.
Per tant, aplicant el mètode:
∫ ∫
cos x⋅ e dx=e ⋅sinx− e sinxdx
x x x .
Aleshores,
I e sinxdx cosx e cosx e dx cosx e sinx e I
x x x x x = (^) ∫ =− ⋅ +∫ ⋅ =− ⋅ + ⋅ −
Resolem l’equació en la incògnita I: x x 2 I =−cosx⋅e +sinx⋅e
Aleshores,
( ) C 2
e sinx cosx I
x
Exercicis integració per parts:
∫ lnxdx
∫ x⋅^ cosxdx
x e dx
2 x
∫ x⋅^ lnxdx
∫ e cosxdx
x
arctgxdx
∫ e^ sinxdx
2 x
∫ e cos^3 xdx
x
sin xdx
4
∫ x^ ⋅^7 dx
x
dx x
lnx
∫^3
lnx 3 C 4
lnx 1 4
dx x 3
dx x 1
dx x 2 x 3
Problema:
Calculeu
dx x 6 x 11 x 6
x 9 x 23 x 17 3 2
3 2
Solució:
El grau del numerador no és menor que el grau del denominador. Efectuem la divisió:
x 6 x 11 x 6
3 x 12 x 11 1 x 6 x 11 x 6
x 9 x 23 x 17 3 2
2
3 2
3 2
Calculem les arrels del denominador amb la regla de Ruffini:
x = − 1 ,− 2 ,− 3 , aleshores:
x 6 x 11 x 6 (x 1 )(x 2 (x 3 )
3 2
x 3
C
x 2
B
x 1
A
x 6 x 11 x 6
3 x 12 x 11 3 2
2
. Hem de determinar A, B,C∈ R.
3 x 12 x 11 A(x 2 )(x 3 ) B(x 1 )(x 3 ) C(x 1 )(x 2 )
2
Per a x = − 1 ,
3 ( − 1 )^2 + 12 (− 1 )+ 11 =A(− 1 + 2 )(− 1 + 3 )+B(− 1 + 1 )(− 1 + 3 )+C(− 1 + 1 )(− 1 + 2 )
2 = 2 A, Per tant, A = 1.
Per a x = − 2 , − 1 =−B, Per tant, B = 1.
Per a x = − 3 , 2 = 2 C, Per tant, C = 1.
Aleshores,
dx x 6 x 11 x 6
3 x 12 x 11 dx 1 x 6 x 11 x 6
x 9 x 23 x 17 3 2
2
3 2
3 2
^ =
dx x 3
x 2
x 1
x
lnx 1 lnx 2 lnx 3 C 2
x
2 = + + + + + + +
Exercicis d’integrals racionals arrels reals simples
dx x 2 x
x 1 2
dx x 4
x 1 2
3
dx x(x 2 )(x 1 )
dx x 7 x 6
x 1 3
2
b) Arrels reals múltiples
Si les arrels de q( x)són x 1 ,x 2 ,.....,xnreals de multiplicitat r 1 ,r 2 ,.....,rn, respectivament.
( ) 1 ( ) 2 n
r n
r 2
r q( x)= x−x 1 x−x ⋅......⋅(x−x ).
Aleshores:
( ) ( ) ( ) ( ) n
n 1
1 r n
nr 2 n
n 2
n
n 1 r 1
1 r 2 1
12
1
11
x x
A
x x
A
x x
A
x x
A
x x
A
x x
A
q(x)
p(x)
−
= on
Aij ∈ R.
Per tant:
dx ... x x
A
dx ...... x x
A
dx x x
A
dx q(x)
p(x) 1
1 r 1
1 r 2 1
12
1
11
dx x x
A
dx ...... x x
A
dx x x
A
n
n r n
nr 2 n
n 2
n
n 1
−
( 1 r)(x x )
..... A
x x
A lnx x A r 1 1 1
1 r 1
(^11 )
C
( 1 r)(x x )
..... A
x x
... A lnx x A r 1 n n
nr n
n 1 n n (^21) n + − −
−
Problema:
Calculeu
dx (x 1 )
3 x 1 2
Solució:
El grau del numerador és menor que el grau del denominador.
L’arrel del denominador són x = − 1 de multiplicitat 2.
2 2 (x 1 )
B
x 1
A
(x 1 )
3 x 1
. Hem de determinar A, B∈ R.
3 x + 1 =A(x+ 1 )+B
3 x + 1 =Ax+A+ B. Igualant els coeficients dels polinomis:
A B 1
A 3
, la solució del sistema és:
B 2
A 3
Aleshores,
C
x 1
dx 2 lnx 1 (x 1 )
dx x 1
dx (x 1 )
3 x 1 2 2
Exercicis d’integrals racionals arrels reals múltiples
dx x 4 x 4
x
dx x 4 x 4 x
4 3 2
dx x 4
x 1
x 4 x 5
Bx C
x
A
x 4 x 5 x
x x 1 3 2 2
2
x (x 4 x 5 )
Ax 4 x 5 Bx Cx
x
A
x 4 x 5 x
x x 1 2
2
3 2
2
Els denominadors són iguals.
Donant valors al numerador:
Si x = 0 , 1 = 5 A, aleshores, 5
A =.
Si x = 1 , 3 = 2 A+B+C.
Si x = − 1 1 = 10 A+B−C.
B C 1
B C
. Resolent el sistema:
C
B
dx x 4 x 5
4 x 9
5
dx x
dx x 4 x 5 x
x x 1 3 2 2
2 .
La primera integral és immediata de tipus logarítmic i la segona l’hem de transformar
en dues integrals una de tipus logarítmic i una de tipus arc tangent.
dx (x 2 ) 1
dx 17 x 4 x 5
2 x 4 2 5
lnx 5
dx x 4 x 5 x
x x 1 3 2 2 2
2
arctg ( x 2 ) C
lnx 4 x 5 5
lnx 5
Racionals amb canvi de variable
dx 1 e
e x
2 x
dx 1 x
x
dx 2 1
x
2 x
dx 1 x
x
2
dx 1 x
x
dx x 1
x
3
dx 1 x 1
x 1
Solucions
Tipus potencial
C
x x dx
5 4
∫ = + x C
3 x dx
5 6
∫ = + (^2 x^4 x^1 )dx
3 2
∫ −^ + C
2 x
dx x
x C 5
x dx
(^3 2 3 )
∫ = + C
(x 1 ) (x 1 ) dx
3 2
∫ + = (^2 x^3 ) C
( 2 x 3 ) dx
5 6
C
x x 1 (x x 1 )( 2 x 1 )dx
2 5 2 4
∫ + + + = C
sin x sin x cosxdx
4 3
C
ln x dx x
ln x
2 = +
Tipus logarítmic
dx 3 lnx C x
lnx C 5
dx 5 x
dx lnx x 5 C x x 5
3 x (^13) 3
2 = + + +
ln 1 x C 2
dx 1 x
x (^2) 2
lnax b C a
dx ax b
dx lnlnx C x lnx
tg xdx=−lncosx+ C
Tipus exponencial
C
ln 3
3 dx
x x
∫ = + C
ln
dx 2
x
x
x
e C 2
5 xe dx
x 2 x^2
e cosxdx e C
sin x sinx
∫ = + C
ln 8
8 dx
2 x 1 2 x 1 = +
∫ ln 4 C
dx 1 x
arctgx
2
arctgx = +
Tipus sinus-cosinus
3 cosxdx= 3 sinx+ C
− 5 sinxdx= 5 cosx+C
cos 3 x C 24
dx 8
sin 3 x
cos( 5 x 1 ) C 5
cos( 5 x+ 1 )dx= + +
e x^ sin(e x) dx=−cos(e x) +C
( ) sin( 2 x 1 ) C
x cos 2 x 1 dx
3 4 4
Tipus tangent-cotangent
dx 8 ctgx C sin x
2
( 5 5 tgx)dx 5 tgx C
2
tgx C 2
dx cos x
x (^2) 2 2
tg xdx= −x+tgx+C
2 tg( 3 x) C 3
tg 3 xdx x
2 =− + +
Tipus arc sinus
dx 4 arcsinx C 1 x
2
arcsinx C 2
dx 1 x
x (^2)
4
dx arcsin (e ) C
1 e
e (^) x
2 x
x = + −
dx arcsin(lnx) C x 1 ln x
2
dx 2 arcsin x C x 1 x
3 6
2 arcsin x 3
dx 1 x
x
−
C
3 (x 3 )
lnx 3 9
lnx 9
dx x 6 x 9 x
2 x 1 3 2 − − − +
C
16 (x 3 )
lnx 3 32
16 (x 1 )
lnx 1 32
dx (x 1 ) (x 3 )
Racionals amb canvi de variable
dx e ln 1 e C 1 e
e (^) x x x
2 x = − + +
2 ln 1 x C 3
x 2 x x 6 dx 1 x
x − − +
C
ln 2
2 ln 2 1
ln 2
dx x 2 1
x x
x
2 x
( 3 x 4 x 8 ) x 1 C
dx 1 x
x (^2)
2 = − + + +
x 2 ln 1 x C 3
dx x 2 x 1 x
x (^3) =− + + − + +
( 5 x 6 x 8 x 16 ) x 1 C
dx x 1
x (^32)
3 = + + + − +
dx x 2 x 1 2 ln x 1 1 C 1 x 1
x 1 =− − − − − − + − −
