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Área con Cambio de variables
Cuando una integral definida exige una 𝑦 − 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛, es conveniente determinar los
límites de integración para la variable “𝑦” en lugar de regresar con la primitiva a la variable “𝑥”
y determinar los límites originales.
Ejemplos
- Determine el área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥
2
con 𝑦 = 2 𝑥 (hacer el
cambio de variable)
Graficamos la parábola 𝑦 = 𝑥
2
con vértice en (0, 0) y se abre hacia arriba
Luego graficamos la recta 𝑦 = 2 𝑥
Así, obtenemos el siguiente gráfico
Trazamos un rectangulito vertical, el cual si se mueve paralelamente, siempre debe tocar a las dos
curvas.
Para hallar los puntos de intersección igualamos las dos curvas
𝑥
2
= 2 𝑥, entonces tenemos el polinomio 𝑥
2
− 2 𝑥 = 0 ⟷ 𝑥
( 𝑥 − 2
) = 0
Luego, si 𝑥 = 0 ⟶ 𝑦 = 0 , ⇒ (0, 0)
si 𝑥 = 2 ⟶ 𝑦 = 4 , ⇒ (2, 4)
Según el gráfico en la integral se debe poner curva de arriba – curva de abajo
2
2
0
2
𝑥
3
3
0
2
8
3
4
3
Para el cambio de variable hacemos lo siguiente:
Si 𝑦 = 𝑥
2
⟶ 𝑥 = ± √
𝑦 obtenemos dos ramas de raíz cuadrada
Si 𝑦 = 2 𝑥 ⟶ 𝑥 =
𝑦
2
obtenemos una recta
Al graficar tales curvas, no es otra cosa que el mismo gráfico, decir:
Trazamos un rectangulito horizontal, el cual si se mueve paralelamente, siempre debe tocar a las
dos curvas.
Según el gráfico en la integral se debe poner curva de la derecha – curva de la izquierda
En este caso, cambia los límites de integración, también cambia la diferencial
𝑦
2
4
0
2
3
3
2
𝑦
2
4
0
4
2
3
3
2 −
( 4 )
2
4
4
3
Se ve claramente que el cálculo de la integral es más complicado, pero no tanto.
Pero como el gráfico es el mismo, obviamente el área es la misma.
En conclusión, ¿para qué sirve el cambio de variable?
Bueno nada más y nada menos que para agilizar el cálculo.
2. Halle el área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 = √𝑥
3
con 𝑥 + 𝑦 = 2 , eje X
(hacer el cambio de variable)
Graficamos la ecuación 𝑦 = √𝑥
3
pasa por el origen de coordenadas
Luego graficamos la recta 𝑦 = 2 − 𝑥
Para hallar los puntos de intersección igualamos las dos curvas
√
𝑥
3
= 2 − 𝑥, así tenemos el polinomio 𝑥
3
− 6 𝑥
2
- 13 𝑥 − 8 = 0 ⟷ (𝑥 − 1 )(𝑥
2
− 5 𝑥 + 8 ) = 0
Luego, si 𝑥 = 1 ⟶ 𝑦 = 1 , ⇒ (1, 1)
Así, obtenemos el gráfico siguiente
Si trazamos un rectangulito vertical, tendríamos que calcular dos integrales, pues el
rectangulito al moverlo paralelamente, no tocaría siempre a dos curvas, sino más curvas
Bueno y ustedes saben que es malo tocar muchas curvas. (No tan malo) Es decir:
Según el gráfico en la integral se debe poner curva de arriba – curva de abajo
1
3
1
0
2
1
3
4
𝑥
4
3
0
1
𝑥
2
2
1
2
5
4
Pero para qué nos complicamos la vida, si podemos hacer el
Cambio de variable. Además, el área es la misma, pues el gráfico es el mismo.
Si 𝑦 = √
𝑥
3
⟶ 𝑥 = 𝑦
3
obtenemos la curva cúbica
Si 𝑦 = 2 − 𝑥 ⟶ 𝑥 = 2 − 𝑦 obtenemos una recta
Pero al graficar tales curvas, no es otra cosa que el mismo gráfico, es
decir:
Trazamos un rectangulito horizontal, el cual si se mueve paralelamente, siempre debe tocar a
Y nos da una aproximación a la longitud total de la gráfica en [𝑎, 𝑏]. Cuando la partición
‖𝑃‖ → 0 , finalmente se obtiene
lim
𝑛→∞
1 + [𝑓′(𝑥
𝑘
∗
)]
2
𝑘
𝑛
𝑘= 1
√ 1 + [𝑓′(𝑥))]
2
𝑏
𝑎
Así, la ecuación (2) nos permite dar la definición de la longitud de arco de una gráfica en
un cierto intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]
DEFINICIÓN
Sea 𝒇 una función para la cual 𝒇
′
es continua en
[
]
. La longitud 𝑆 de la gráfica en el
intervalo o longitud de arco , está dado por:
𝑆 = ∫ √ 1 + [𝑓′(𝑥)]
2
𝑏
𝑎
NOTA
Si tenemos 𝑥 = 𝑓(𝑦) , con 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 con 𝑔′(𝑦) continua, entonces la longitud de la
curva es:
1 + [𝑔′(𝑦)]
2
𝑑
𝑐
EJEMPLOS : Grafique la curva y calcule la longitud de la curva
Sol. 𝑦
′
= − 3 , luego
[
]
2
− 2
1
1
− 2
1
− 2
2
Sol. 𝑦
′
−𝒙
√ 𝟒 − 𝒙
𝟐
, luego
2
2
2
0
2
2
0
2
2
3
2
3 / 2
Sol. 𝑦
′
2
1 / 2
, luego
[
2
1 / 2
]
2
4
2
2
0
2
0
2
2
2
2
0
2
0
22
3
2
3
3 / 2
Sol. 𝑥
′
1 / 2
, luego
𝐿 = ∫ √ 1 + [(𝑦 − 1 )
1 / 2
]
2
5
1
5
1
5
1
[ 5 √ 5 − 1 ]
1
6
3
1
2 𝑥
Sol. 𝑦
′
=
1
6
𝑥
3
−
1
2 𝑥
2
, luego
[
1
2
2
1
2 𝑥
2
]
2
3
1
1
2
2
2
1
2
1
2 𝑥
2
2
3
1
1
2
2
2
1
2
1
2 𝑥
2
2
3
1
1
2
2
1
2 𝑥
2
2
3
1
1
2
2
3
1
1
2
− 2
14
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. 𝑦 = 𝑥; − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 R. 2
2. 𝑦 = 2 𝑥 + 1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 R. 3
3 / 2
+ 4 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 R.
1
27
[ 13
3
2
− 8 ] ≅ 1. 44
2 / 3
; 1 ≤ 𝑥 ≤ 8 R.
1
3
[ 64 − 7
3 / 2
]
2
3
2
3 / 2
; 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 R. 45
1
8
4
1
4 𝑦
2
, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 R. 33 / 16
2
3
2
3 / 2
, 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 R. 46 / 3
1
3
2
3 / 2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 R. 4 / 3
1
3
3 / 2
1 / 2
; 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 R.
10
3
1
6
3
1
2 𝑥
; 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 R. 227 / 24
