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Ingeniería Mecánica 281
Arnulfo Luévanos Rojas Facultad de Ingeniería, Ciencias y Arquitectura Universidad Juárez del Estado de Durango Av. Universidad S/N, Fracc. Filadelfia, CP 35010, Gómez Palacio, Durango, México [email protected]
INGENIERÍA MECÁNICA TECNOLOGÍA Y DESARROLLO
Resumen Este documento presenta un modelo matemático para vigas de sección transversal “I” con cartelas rectas para el caso general (simétricas y/o no simétricas) sujetas a una carga uniformemente distribuida tomando en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener los momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez, que es la novedad de esta investigación. Las propiedades de la sección transversal de la viga varían a lo largo de su eje “ x ”, es decir, el ancho del patín “ b ”, el espesor del patín “ t ”, el espesor del alma “ e ” son constantes y la altura del alma “ d ” es variable a lo largo de la viga, esta variación es de tipo lineal. El método de deformación consistente se utiliza para resolver este tipo de problemas, y las defor- maciones en cualquier parte de la viga se encuentran por el método de la viga conjugada mediante la integración exacta usando el software “Derive” para obtener algunos resultados. Los modelos tradicionales consideran únicamente las deformaciones por flexión y otros autores presentan tablas considerando las deformaciones por flexión y cortante, pero están limitadas. También una comparación se realiza entre el modelo tradicional y el modelo propuesto para observar las diferencias. Además de la eficacia y la precisión del modelo desarrollado, una ventaja significativa es que los momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez se calculan para cualquier sección transversal “I” de la viga usando las fórmulas matemáticas.
Abstract
This paper presents a mathematical model for beams of cross section “I” with straight haunches for the general case (symmetri- cal and/or non-symmetrical) subjected to a uniformly distributed load taking into account the bending deformations and shear to obtain the fixed-end moments, carry-over factors and stiffness factors, which is the novelty of this research. The properties of the cross section of the beam vary along its axis “ x ”, i.e., the flange width “ b ”, the flange thickness “ t ”, the web thickness “ e ” are constant and the height “ d ” varies along the beam, this variation is linear type. The consistent deformation method is used to solve such problems, and the deformations anywhere of beam are found by the conjugate beam method through exact integrations using the software “Derive” to obtain some results. The traditional model takes into account only bending deformations, and others authors present tables considering the bending deformations y shear, but are restricted. Besides the effectiveness and accuracy of the developed models, a significant advantage is that fixed-end moments, carry-over factors and stiffness factors are calculated for any cross section of the beam “I” using the mathematical formulas.
Vol. 5 No. 2 (2015) 281 - 292
Modelado para vigas de sección transversal “I” sometidas a una
carga uniformemente distribuida con cartelas rectas
Fecha de recepción: Fecha de aceptación: 25-09-201418-12-
Introducción
En la ingeniería estructural exciten circunstancias, donde las vigas son no uniformes, en el sentido de que la geometría y/o las propiedades del material varían a lo largo de la longi- tud. Por ejemplo, los miembros estructurales no prismáticos con cartelas escalonadas, rectas o parabólicas, que se apli- can comúnmente en el diseño de ingeniería para reducir el peso y optimizar la fuerza y la estabilidad o para cumplir los requisitos arquitectónicos y funcionales específicos.
Uno de los principales problemas en el análisis de estructu- ras con momento de inercia variable a lo largo de su longitud es encontrar los momentos de empotramiento, rigideces y factores de transporte.
Durante el siglo pasado, entre 1950 y 1960 se desarrollaron
varias ayudas de diseño, como las presentadas por Guldan [1]. Las tablas publicadas por la Portland Cement Associa- tion (PCA) en 1958, donde se presentan constantes de ri- gideces y momentos de empotramiento para miembros de sección variable, las hipótesis utilizada son: 1) La variación de la rigidez de las cartelas (lineal o parabólica, según sea el caso de la geometría) se consideran en función del momento de inercia principal en flexión; 2) Las deformaciones por cortante se despreciaron; 3) La relación claro-peralte de la viga en la definición de los diversos factores de rigidez se despreciaron [2-3]. La formulación elástica de la rigidez de miembros de sec- ción variable fue evolucionado con el tiempo, y posterio- res a la publicación de las tablas de la PCA, los siguientes
Palabras clave: vigas de sección transversal “I”, carga uniformemente distri- buida, cartelas rectas, momentos de empotramiento, factores de transporte, factores de rigidez
Keywords: beams of cross section “I”, uniformly distributed load, straight haunches, fixed-end moments, carry-over factors, stiffness factors
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trabajos merecen mención especial todos ellos se basan en la teoría de vigas: Just fue el primero en proponer la for- mulación de la flexión y matrices de rigidez axial para las vigas de sección variable de secciones transversales cajón e I [4]. Schreyer desarrolló una teoría vigas para los miem- bros linealmente cónicos para tener en cuenta las deforma- ciones por cortante, con el uso de una hipótesis Kirchhoff generalizada en la que se supone que las deformaciones de corte transversal en coordenadas cilíndricas debe ser cero [5]. Medwadowski presenta una solución del problema de la flexión de vigas no prismáticas, incluyendo el efecto de las deformaciones de cortante utilizando la teoría del cálculo de variaciones [6]. Brown propuso un método para encontrar una matriz de rigidez a la flexión modificada para vigas de sección variable [7].
Las matrices de rigidez elástica para miembros bidimensio- nales y tridimensionales de elementos de sección variable basado en la teoría clásica de vigas de Bernoulli-Euler y el método de las flexibilidades tomando en cuenta las defor- maciones axiales y cortante, así como la forma de la sección transversal se encuentran Tena Colunga y Zaldo [8], y en el apéndice B [9]. Pero las tablas se limitan a ciertas relaciones. Artículos publicados recientemente son: Shooshtari y Kha- javi propusieron las funciones de forma y matrices de rigidez de los elementos de viga no prismáticas para las formulacio- nes de Euler-Bernoulli y Timoshenko [10]. Yuksel realizó un estudio para investigar el comportamiento de vigas no prismáticas con cartelas parabólicas simétricas que tienen la relación longitud de cartela constante de 0.5 utilizando análisis de elementos finitos debido a cargas verticales, para obtener los coeficientes de rigidez y de los factores de trans- porte [11]. Luévanos Rojas propuso un modelo matemático para vigas rectangulares de sección transversal variable de forma parabólica simétrica para carga distribuida unifor- memente [12]. Luévanos Rojas y Montoya Ramírez presen- taron un modelo matemático para vigas rectangulares de sección transversal variable de forma lineal simétrica para carga distribuida uniformemente [13]. Luévanos Rojas et al. propusieron un modelo matemático para vigas rectangula- res de sección transversal variable de forma lineal simétrica para carga concentrada [14].
Los métodos tradicionales que se han utilizado para miem- bros de sección variable para calcular las deflexiones se re- quiere de la solución de una integral, en donde el momen- to de inercia, la geometría y carga del miembro se exprese como función de la coordenada “ x ” de la longitud, estas deflexiones son obtenidas por medio de la regla de Simpson o alguna otra técnica numérica para llevar a cabo la integra- ción [15-17], y otros autores presentan tablas considerando las deformaciones por flexión y cortante, pero están limita- das para ciertas relaciones [9].
Este documento presenta un modelo matemático para vigas de sección transversal “I” con cartelas rectas para el caso general (simétricas y/o no simétricas) sujetas a una carga uniformemente distribuida tomando en cuenta las deforma- ciones por flexión y cortante para obtener los momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez, que es la novedad de esta investigación. Las propiedades de la sección transversal de la viga varían a lo largo de su eje “ x ”, es decir, el ancho del patín “ b ”, el espesor del patín “ t ”, el espesor del alma “ e ” son constantes y la altura del alma “ d ” es variable a lo largo de la viga, esta variación es de tipo lineal. El método de deformación consistente se utiliza para resolver este tipo de problemas, y las deformaciones en cualquier parte de la viga se encuentran por el método de la viga conjugada mediante la integración exacta usando el software “Derive” para obtener algunos resultados. Tam- bién una comparación se realiza entre el modelo tradicional y el modelo propuesto para observar las diferencias. Modelo Matemático Principios generales En la Fig. 1 se muestra una viga en elevación y también se presenta su sección transversal “I” tomando en cuenta el an- cho del patín “ b ”, el espesor del patín “ t ” y el espesor del alma “ e ” constantes, y variando la altura del alma “ dy ” de forma lineal en tres tramos diferentes. El momento de inercia alrededor del eje Z “ Iz ” y el área de cortante “ Acx ” a una distancia “ x ” son:
Luévanos Rojas A.
Fig. 1. Sección transversal “I” con cartelas rectas
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θ A x θ z
L B
M
EI
1 =^ ∫ 0 dx − 1 (16)
donde: G es el módulo de cortante, E es el módulo de elas- ticidad, Vx es la fuerza cortante y Mx es el momento flexio- nante a una distancia “ x ”.
La fuerza cortante en cualquier lugar de la viga sobre el eje “ x ” es [24]:
V
w L x x =^
( −^2 )
El momento en cualquier punto de la viga sobre el eje “ x ” es:
M x = wx L (^^ − x )
El módulo de cortante es:
G E v
donde ν es la relación de Poisson.
Utilizando las ecuaciones (15) y (16) para obtener los valo- res de “ ƟB 1 ” y “ ƟA 1 ”:
θ B z
a a z
L c z
w EL
L x x I
dx L^ x x I
dx L^ x x (^1) I
2 (^01)
2
2
2 2 2 2
= (^ − )
^
∫ +^ ∫ (^ − )^ +^ (^ − )
− 33
(^01 )
L c
L
cx a cx
a L c cx
dx
v
L x A
dx
L x A
dx
L x A
− −
L c 33
L
∫ − dx
θ A z
a a z
L c z
w EL
L x x I
dx L^ x^ x I
dx L^ x^ x (^1) I
2 (^01)
2
2
2 2 2 2
= (^ − )
∫ +^ ∫ (^ − )^ +^ (^ − )
− 33
(^01 )
L c
L
cx a cx
a L c cx
dx
v L^ x A
dx L^ x A
dx L^ x A
−
−
L c 33
L dx
La viga de la Fig. 2(c) se analiza para encontrar “ ƟA 2 ” y “ ƟB 2 ” en función de “ MAB ”:
La fuerza cortante en cualquier lugar de la viga sobre el eje “x” es [24]:
V M x L
= − AB (22)
El momento en cualquier punto de la viga sobre el eje “ x ” es:
M M^ L^ x x L
= AB (^ − )^ (23)
Empleando las ecuaciones (15) y (16) para encontrar “ ƟB 2 ” y “ ƟA 2 ”:
θ B AB z z L^ c z
L a
M a L^ c EL
L x x I
dx L^ x x I
dx L^ x x I 2 2 dx (^01 2 )
= (^ − )^ + (^ − )^ + −(^ − )
−
−
(^01 2 ) v A
dx A
dx A
dx cx cx L^ c cx
L a
a L c
θ A AB z z L^ c z
L a
M a L^ c EL
L x I
dx L^ x I
dx L^ x I 2 2 dx
2
1
2
2
2 (^03)
= ∫(^ − )^ + ∫−(^ − )^ + ∫−(^ − )
−
−
(^01 2 ) v A
dx A
dx A
dx cx cx L^ c cx
L a
a L c (25) Subsecuentemente, el miembro de la Fig. 2(d) es analizado para obtener “ ƟA3 ” y “ ƟB3 ” en función de “ MBA ”: La fuerza cortante en cualquier lugar de la viga sobre el eje “ x ” es [24]:
V M x L
= BA (26)
El momento en cualquier punto de la viga sobre el eje “ x ” es:
M
M x x L
= BA (^ )^ (27)
Utilizando las ecuaciones (15) y (16) para obtener “ ƟB3 ” y “ ƟA3 ”:
θ B BA z a z
a L c L c z
M L
EL
x I
dx x I
dx x I
dx
v A
(^3 )
2 1
2 (^02)
2 3
2 1 1
−
ccx
a a cx
L c L c cx
L dx A
dx A
dx (^0 12 )
∫ +^ ∫ +∫
− −
θ A BA z a z
a L c L c z
M L
EL
L x x I
dx L^ x x I
dx L^ x x I 3 2 dx (^0 1 )
= ∫ (^ − )^ + ∫−(^ − )^ + ∫−(^ − )
− 2 1 (^) −
(^0 12 ) v A
dx A
dx A
dx cx
a a cx
L c L c cx
L
Las ecuaciones (21), (25) y (29) correspondientes al apoyo “A” se sustituyen en la ecuación (13), y las ecuaciones (20), (24) y (28) correspondientes al apoyo “B” se sustituyen en la ecuación (14). Subsecuentemente, las ecuaciones generadas se resuelven para obtener los valores de “ MAB ” y “ MBA ”. Es- tas se presentan en las ecuaciones (30) y (31) del apéndice. Factor de transporte y rigidez El factor de transporte y rigidez se obtiene tomando en cuen- ta el siguiente problema: Si un momento en sentido de las manecillas del reloj “ MAB ” se aplica en el apoyo simple de un
Luévanos Rojas A.
Ingeniería Mecánica 285
miembro recto de sección transversal variable, simplemente apoyado en un extremo y empotrado en el otro, encontrar la rotación “ ƟA ” en el apoyo simple y el momento “ MBA ” en el extremo empotrado, como se muestra en la Fig. 3.
Fig. 3. Viga simplemente apoyada en un extremo y empotrada en el otro
Los momentos finales adicionales de “ MAB ” y “ MBA ”, deben ser tales que causan rotaciones de “ ƟA ” y “ ƟB ”, respecti- vamente. Si “ ƟA2 ” y “ ƟB2 ” son las rotaciones causados por “ MAB ”, de acuerdo con la Fig. 3(b), así como “ ƟA3 ” y “ ƟB3 ” son debidos a “ MBA ”, que se observa en la Fig. 3(c).
Las condiciones requeridas de geometría son [25]:
θ (^) A = θ (^) A 2 −θ A 3 (32)
0 = θ (^) B 2 −θ B 3 (33)
La viga de la Fig. 3(b) se analiza para obtener “ ƟA2 ” y “ ƟB2 ” en función de “ MAB ”, estos se muestran en las ecuaciones (24) y (25). La viga de la Fig. 3(c) se analiza para encontrar “ ƟA3 ” y “ ƟB3 ” en función de “ MBA ”, estos se presentan en las ecuaciones (28) y (29).
Ahora, las ecuaciones (24) y (28) se sustituyen en la ecua- ción (33). Posteriormente, se usan para obtener “ MBA ” en función de “ MAB ”.
Por lo tanto, el factor de transporte de “A” a “B” es la rela- ción del momento inducido en el apoyo “B” debido al mo- mento aplicado en el apoyo “A”, este es el coeficiente del momento “ MAB ” expresado en la ecuación (34), se presenta en el apéndice.
Ahora, las ecuaciones (25) y (29) se sustituyen en la ecua- ción (32) y enseguida, la ecuación (34) se sustituye en esta ecuación para obtener “ MAB ” en función de “ ϴA ”. Entonces, el factor rigidez es el momento aplicado en el soporte “A” para causar una rotación de 1 radian en el soporte “A” es el coeficiente de la rotación “ ϴA ” expresado en la Ecuación (35), se presenta en el apéndice.
Ahora el procedimiento se usa para obtener el factor de transporte “B” a “A” presentado en la ecuación (36) y el fac- tor de rigidez en el soporte “B” mostrado en la ecuación (37), estas ecuaciones se presentan en el apéndice.
Resultados
Las Tablas 1 y 2 muestran la comparación entre los dos mo- delos, el modelo propuesto (MP) es el modelo matemático presentado en este documento, donde las deformaciones por flexión y cortante se consideran, y el modelo tradicional (MT) toma en cuenta solo las deformaciones por flexión. Las Tablas presentan los factores de los momentos de empo- tramiento (mAB y m (^) BA) para una viga sometida a una carga uniformemente distribuida, los factores de transporte (CAB y CBA), y los factores de rigidez (kAB y kBA). La Tabla 1 para L = 20d → d = 0.05L. La Tabla 2 para L = 10d → d = 0.10L. Dichas comparaciones se realizaron para ν = 0.30 (acero estructural), b = 13.02t → t = 0.0768b, d = 26.91e → e = 0.0372d, b = 0.813d, u = f, porque estos valores se presentan en las Tablas del apéndice B por Tena Colunga [9]. Los re- sultados mostrados en la Tabla 1 mencionadas anteriormen- te son idénticos para el modelo propuesto. Otra manera para validar el modelo propuesto es como si- gue: sustituyendo “ a = 0L” y “ c = 0L” en la ecuación (30) y (31) para encontrar los momentos de empotramiento “ MAB = MBA = wL^2 /12”. Ahora, cuando “ a = 0L” y “ c = 0L” se sustitu- yen en la ecuación (34) y (36), y las deformaciones por cor- tante se desprecian para obtener los factores de transporte “ CAB = CBA = 0.5”. También en la ecuación (35) y (37) se sus- tituye “ a = 0L” y “ c = 0L”, y también las deformaciones por cortante se desprecian para encontrar los factores de rigidez kAB = kBA = 4, por lo tanto la rigidez es “ KAB = KBA = 4 EIz2/L ”. Los valores presentados anteriormente corresponden a una sección transversal constante.
Entonces el modelo propuesto en este documento es válido y no se limita para ciertas dimensiones o proporciones como algunos autores muestran, y también las deformaciones por flexión y cortante son consideradas.
La Tabla 1 muestra los momentos de empotramiento, los factores de transporte y los factores de rigideces de los miembros entre ambos modelos para d = 0.05L, la Tabla 2 para la relación d = 0.1L. De acuerdo con los resultados, las diferencias más grandes se presentan en la relación d = 0.1L. Cuando el momento de empotramiento de un miembro en un soporte es mayor con respecto al otro apoyo, en un apoyo el modelo tradicional es mayor, y en el otro apoyo es mayor el modelo propuesto, siendo la diferencia hasta de un 3.7%. En los factores de transporte el modelo tradicional es mayor en todos los casos y alcanza una diferencia hasta un 29.5%. En cuanto a los factores de rigideces el modelo tradicional también es mayor en todos los casos, siendo su diferencia hasta de un 61.4%.
M odelado para vigas de sección transversal “i” soMetidas a una carga uniforMeMente distribuida con cartelas rectas
Ingeniería Mecánica 287
La aplicación significativa de los momentos de empotra- miento y las rigideces de un miembro es en los métodos ma- triciales de análisis estructural. Los momentos de empotra- miento, el factor de transporte y el factor rigidez se utiliza en el método de distribución de momentos.
Las sugerencias para investigaciones futuras: 1) Cuando el miembro presenta otro tipo de sección transversal, por ejemplo sección transversal variable de tipo cajón, o “T”;
- Cuando el miembro tiene otro tipo de configuración, por ejemplo cartelas parabólicas; 3) Cuando el miembro está su- jeto a otro tipo de carga.
Referencias
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[2] Portland Cement Association, Handbook of frame cons- tants: Beam factors and moment coefficients for mem- bers of variable section , 1958.
Tabla 2. Elementos mecánicos para d = 0.10L
c f/d
Momentos de empotramiento Factores de transporte Rigidez wL^2 /mAB wL^2 /mBA (^) C AB CBA
kAB EIz2/L kBA EIz2/L mAB mBA kAB kBA MP MT MP MT MP MT MP MT MP MT MP MT a = 0.1L
0.1L
0.5 11.353 11.353 11.353 11.353 0.4523 0.5440 0.4523 0.5440 3.9140 4.7015 3.9140 4. 1.0 11.031 11.031 11.031 11.031 0.4731 0.5689 0.4731 0.5689 4.2222 5.1611 4.2222 5. 1.5 10.841 10.841 10.841 10.841 0.4865 0.5847 0.4865 0.5847 4.4331 5.4823 4.4331 5. 2.0 10.716 10.716 10.716 10.716 0.4958 0.5956 0.4958 0.5956 4.5859 5.7177 4.5859 5.
0.3L
0.5 11.916 11.917 10.281 10.280 0.5080 0.6178 0.4323 0.5201 4.0193 4.9043 4.7232 5. 1.0 12.056 12.101 9.309 9.278 0.5735 0.7024 0.4404 0.5293 4.4415 5.6109 5.7837 7. 1.5 12.251 12.355 8.686 8.622 0.6218 0.7652 0.4450 0.5342 4.7592 6.1811 6.6495 8. 2.0 12.450 12.618 8.256 8.163 0.6587 0.8130 0.4480 0.5370 5.0073 6.6499 7.3617 10.
0.5L
0.5 12.176 12.050 10.158 10.266 0.5300 0.6540 0.4018 0.4862 4.0749 4.9861 5.3757 6. 1.0 12.548 12.361 9.010 9.146 0.6247 0.7865 0.3904 0.4738 4.5658 5.8330 7.3064 9. 1.5 12.979 12.775 8.220 8.346 0.7041 0.9006 0.3816 0.4636 4.9598 6.5962 9.1515 12. 2.0 13.421 13.236 7.642 7.740 0.7713 0.9989 0.3748 0.4554 5.2872 7.2990 10.8797 16. a = 0.3L
0.1L
0.5 10.281 10.280 11.916 11.917 0.4323 0.5201 0.5080 0.6178 4.7232 5.8257 4.0193 4. 1.0 9.309 9.278 12.056 12.101 0.4404 0.5293 0.5735 0.7024 5.7837 7.4455 4.4415 5. 1.5 8.686 8.622 12.251 12.355 0.4450 0.5342 0.6218 0.7652 6.6495 8.8533 4.7592 6. 2.0 8.256 8.163 12.450 12.618 0.4480 0.5370 0.6587 0.8130 7.3617 10.0676 5.0073 6.
0.3L
0.5 10.784 10.784 10.784 10.784 0.4849 0.5896 0.4849 0.5896 4.8612 6.1019 4.8612 6. 1.0 10.145 10.145 10.145 10.145 0.5319 0.6509 0.5319 0.6509 6.1322 8.2227 6.1322 8. 1.5 9.757 9.757 9.757 9.757 0.5658 0.6948 0.5658 0.6948 7.2485 10.3121 7.2485 10. 2.0 9.499 9.499 9.499 9.499 0.5913 0.7274 0.5913 0.7274 8.2277 12.3351 8.2277 12.
0.5L
0.5 11.024 10.907 10.664 10.784 0.5037 0.6217 0.4499 0.5508 4.9366 6.2103 5.5259 7. 1.0 10.559 10.355 9.846 10.058 0.5724 0.7208 0.4697 0.5816 6.3367 8.5840 7.7229 10. 1.5 10.319 10.045 9.277 9.555 0.6283 0.8031 0.4824 0.6016 7.6277 11.1125 9.9350 14. 2.0 10.193 9.865 8.852 9.176 0.6747 0.8724 0.4911 0.6153 8.8166 13.7878 12.1118 19. [3] A. Tena Colunga, Stiffness formulation for nonprisma- tic beam elements , Journal of Structural Engineering ASCE 122 (1996) 1484-1489.
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Luévanos Rojas A.
Marzo 2015, Vol. 5
290
+ 2( 1 + )^
+ 2( 1 + )^
− 2( 1 + )^
+ 2( 1 + )^
− 2( 1 + )^
Luévanos Rojas A.
Ingeniería Mecánica 291
Factor de transporte de “A” a “B” es:
− 2( 1 + )^
Factor de rigidez de “A” es:
[ ( + 2 ) − ( − ) ]
+ 2( 1 + )^
+ 2( 1 + )^
M odelado para vigas de sección transversal “i” soMetidas a una carga uniforMeMente distribuida con cartelas rectas
