ASÍNTOTAS
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Asintotas: Tipos y Posición en la Función, Apuntes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Lo que son las asintotas en una función matemática, sus tipos (horizontales, verticales y oblicuas) y cómo determinar su posición respecto a la curva. Se incluyen ejercicios para practicar.
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
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ASÍNTOTAS
I.E.S. “
Miguel de Cervantes
” – Departamento de Matemáticas - GBG
Ramas infinitas de una función Se dice que una función
f
tiene una rama infinita cuando
x
f
x
o ambas crecen infinitamente. El punto
P
x
f
x
se dice que se aleja infinitamente.
Primer caso
Segundo caso
Tercer caso
infinito, finito
x
f
x
finito, infinito
x
f
x
infinito, infinito
x
f
x
Una asíntota de una función es una recta a la que la gráfica de la función se va acercando cuando alguna de lasdos variables, o ambas, tienden a infinito.Podemos decir que se juntan en el infinito, lo cual no quiere decir que no puedan tener puntos de intersecciónfinitos.Las asíntotas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.
Horizontales
ASÍNTOTAS
VerticalesOblicuas
y
k
x
a
y
mx
n
Asíntotas horizontales
Asíntotas verticales
Asíntotas oblicuas
I.E.S. “
Miguel de Cervantes
” – Departamento de Matemáticas - GBG
ASÍNTOTAS VERTICALES La recta
x
a
es una asíntota vertical de
f
si al menos uno de los límites laterales en
a
es infinito,
es decir,
lim x
a
f
x
o
lim x
a
f
x
o
lim x
a
f
x
o
lim x
a
f
x
x
a
asíntota vertical de
f
lim
ó
o
lim
ó
x
a
x
a
f
x
f
x
POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LAS ASÍNTOTASLos límites laterales nos determinarán la posición de la curva con respecto a la asíntota.
I.E.S. “
Miguel de Cervantes
” – Departamento de Matemáticas - GBG
ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta
y
mx
n
, con
m
, es una asíntota oblicua de la función
f
si al menos uno de los límites
en el infinito de la diferencia entre la función y la recta es cero.
y
mx
n
asíntota oblicua de
f
lim
o
lim
x x
f
x
mx
n
f
x
mx
n
Los valores de
m
y
n
tienen que ser finitos y se obtienen de la siguiente forma:
Por la izquierda
Por la derecha
lim x
f
x
m
x
lim x
n
f
x
mx
lim x
f
x
m
x
lim x
n
f
x
mx
POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LAS ASÍNTOTASSe estudiará la posición de la curva con respecto a la asíntota hallando la imagen,
f
c
, en la función de un valor
c
, muy grande (
x
) o muy pequeño (
x
), y comparándola con la imagen de ese mismo valor
c
en la
recta,
mc
n
f
c
mc
n
La curva está por encima de la asíntota
f
c
mc
n
La curva está por debajo de la asíntota
I.E.S. “
Miguel de Cervantes
” – Departamento de Matemáticas - GBG
EJERCICIOSEstudia las asíntotas de las siguientes funciones:
x
f
x
x
3
f
x
x
2
2
x
f
x
x
x
2
x
x
f
x
x
2
2
x
f
x
x
ln
f
x
x
2
2
x
x
f
x
x
2
x
f
x
x
2
x
f
x
x
x
f
x
e
2 2
x
x
f
x
x
x
tg
f
x
x
2
f
x
x
x
f
x
x
3 2
x
f
x
x
sen
x
f
x
x