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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Automática Básica (
do
parcial). 04/06/
NOTA : Solo se permite la utilización del formulario normalizado. Duración : 2.5 horas. Puntuación : Problema 1º: 3 puntos, Problema 2º: 5 puntos. Problema 3º: 2 puntos.
1º) La función de transferencia de un determinado proceso de naturaleza desconocida y del sensor que se va a emplear en la realimentación son las siguientes:
2 6 5 5 ( ) ; ( ) 1 2 3 4
s s G s H s s s s s
⋅ + ⋅ + = =
Se va utilizar como elemento de control una ganancia variable K. El lugar de las raíces se incluye en la figura adjunta.
a) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema sea estable.
b) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga una respuesta sobreamortiguada.
c) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga una sobreoscilación inferior al 10%.
d) Determinar el rango de valores de K que hacen que el servosistema tenga un tiempo de establecimiento inferior a 4 segundos.
2º) En el sistema del problema anterior, se sustituye la ganancia variable por un regulador de tipo PID. Se pretende diseñar el regulador para el cumplimiento de ciertas especificaciones de funcionamiento.
a) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en bucle cerrado tenga una duración del transitorio inferior a 4 segundos y error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.
b) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en bucle cerrado tenga una duración del transitorio inferior a 1 segundo , una sobreoscilación inferior al 10% y un error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.
c) Suponiendo que después de diseñar el regulador para el apartado b) el servosistema presenta un mapa de polos y ceros como el que se indica en la figura que se incluye a continuación justifica, de manera razonada , en que medida se van a cumplir las especificaciones dinámicas de dicho apartado. En caso de que no se vayan a cumplir con exactitud, indica qué se podría hacer para mejorar el cumplimiento de dichas especificaciones.
3º) Sobre el sistema de los problemas anteriores diseñar un regulador PID por el método de cancelación que consiga un tiempo de establecimiento inferior a 0.5 segundos , con sobreoscilación nula y error de posición nulo.
a) En el lugar de las raíces se observa como la rama dominante cruza al semiplano positivo por un punto cuyas coordenadas se pueden medir (de manera aproximada) sobre la figura.
El punto s=±7.54j supone una transición de respuesta estable a inestable en bucle cerrado. El valor de la ganancia correspondiente a este punto se puede obtener por aplicación del criterio del módulo:
K L K KG K H K K
El rango de valores de la ganancia que dan lugar a una respuesta estable en bucle cerrado será, por lo tanto:
K ∈ ] 0 ... 4.714[
b) En el lugar de las raíces se observan tres puntos de transición entre polos de reales y complejos conjugados). Las coordenadas de estos puntos se pueden medir (de manera aproximada) sobre la figura. El primero y segundo de estos puntos (s=.1.43 y s=-3.72) suponen una transición de respuesta sobreamortiguada a subamortiguada. El segundo punto (s=-5.31) es una transición de subamortiguada a sobreamortiguada. Conocidas las coordenadas las ganancias correspondientes se pueden obtener por aplicación del criterio del módulo:
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3
L G H L G H
L G H
K K K K K K
K K K K K K
K K K K K K
Dado K 3 es mayor que el que determina el final de la respuesta estable y K 2 es mayor que K 1 , el rango de valores de la ganancia que dan lugar a una respuesta sobreamortiguada será:
K ∈ ] 0 ... 0.00606[
S=±7.54j
c) Para determinar la zona de puntos del plano complejo que dan lugar a una sobreoscilación inferior al 10% hay que calcular el ángulo que se corresponde con dicha sobreoscilación.
etg 10% 0.1 53.8º
π
Para trazar este ángulo sobre el lugar de las raíces se calcula un la parte imaginaria que le corresponde a un valor cualquiera de parte real.
(53.8º )^ p^4 5.
tg p
Utilizando el punto s=-4±5.46j se sitúa el límite de la zona de especificaciones sobre el lugar de las raíces para determinar los puntos de transición para la sobreoscilación deseada. Viendo como intersecta el lugar de las raíces con la zona de especificaciones queda claro que el servosistema deja de cumplir la especificación de sobreoscilación cuando la rama dominante sale de la zona (dado que el resto del lugar de las raíces está completamente dentro de dicha zona). Las coordenadas del punto por donde la rama sale del lugar de las raíces se pueden determinar (de manera aproximada) en la figura.
Aplicando el criterio del módulo sobre el punto s=-1.1±1.49j se determina el valor de la ganancia que provoca el final del cumplimiento de la especificación de sobreoscilación:
K L = 0.961 = K ⋅ K G ⋅ K H = 10 K → K =0.
El rango de valores de la ganancia para una respuesta con un sobreoscilación inferior al 10% será, por lo tanto:
K ∈ ] 0 ... 0.0961[
S=-1.
S=-3.
S=-5.
El valor de la ganancia que le corresponde al punto de salida de la zona correspondiente a la especificación (s=-1±1.8j) se puede calcular por aplicación del criterio del módulo:
K L = 1.504 = K ⋅ KG ⋅ K H = 10 K → K =0.
Como el punto de entrada a la zona de especificaciones coincide con un punto inicial el rango de valores que dan lugar a un tiempo de establecimiento inferior a 4 segundos será:
K ∈ ] 0 ... 0.1504[
2º) En el sistema del problema anterior, se sustituye la ganancia variable por un regulador de tipo PID. Se pretende diseñar el regulador para el cumplimiento de ciertas especificaciones de funcionamiento.
a) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en bucle cerrado tenga una duración del transitorio inferior a 4 segundos y error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.
b) Diseñar un regulador de tipo PID lo más sencillo posible para que la respuesta en bucle cerrado tenga una duración del transitorio inferior a 1 segundo , una sobreoscilación inferior al 10% y un error en el seguimiento de referencias en escalón inferior al 5%.
c) Suponiendo que después de diseñar el regulador para el apartado b) el servosistema presenta un mapa de polos y ceros como el que se indica en la figura que se incluye a continuación justifica, de manera razonada , en que medida se van a cumplir las especificaciones dinámicas de dicho apartado. En caso de que no se vayan a cumplir con exactitud, indica qué se podría hacer para mejorar el cumplimiento de dichas especificaciones.
A pesar de que hay una parte del lugar de las raíces dentro de la zona de especificaciones dinámicas la rama por la que se mueve el polo dominante está totalmente fuera de la misma. Por lo tanto, será necesario modificar el trazado del lugar de las raíces incluyendo la acción derivada en el regulador. A falta de un motivo mejor el punto de diseño elegido será s=-4±5.46j. Como en el apartado anterior, este punto cumple las especificaciones en el límite sin exigir al sistema más de lo que es necesario. Las coordenadas de este punto se pueden obtener sobre la figura en la intersección de los límites de las zonas correspondientes a la sobreoscilación y al tiempo de establecimiento (aunque en este caso, casualmente, ya habían sido calculadas en 1c).
Aplicando el criterio del argumento sobre el punto de diseño elegido se puede determinar el ángulo que debe formar con el mismo el cero del derivador:
Conocido el ángulo se determina la posición del cero del derivador sobre el eje real y, con ella, el tiempo de derivación del regulador:
p d d d
tg z Td
z z Td
ω β σ
Con esto se consigue que el lugar de las raíces pase por el punto de diseño elegido. La acción proporcional llevará los polos en bucle cerrado a dicho punto. Aplicando el criterio del módulo se determina la ganancia del regulador:
K L K G KH Kr Td Kr Kr
Obtenidos los parámetros del regulador PD hay que determinar si es necesaria o no la acción integral. Para ello se calcula el error de posición con el regulador diseñado:
S=-4±5.46j
0 (^ )
p s
e
Lim Kr Td s G s H s
→
+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^ ⋅^ ⋅
La especificación estática se cumple sin necesidad de incluir acción integral en el regulador. Con
esto está terminado el diseño del regulador para el cumplimiento de las especificaciones
propuesta en este apartado:
GR ( ) s = 2.505 1 ( + 0.249⋅ s )
c) El enunciado de este apartado proporciona el mapa de polos y ceros con un cierto regulador. Aunque no tendría por qué ser así, el hecho de que haya dos polos en bucle cerrado prácticamente en el punto de diseño elegido en el apartado anterior hace pensar que el regulador de este apartado coincide (casualmente) con el diseñado en el anterior. Si solamente estuvieran estos dos polos, las especificaciones dinámicas se cumplirían con total exactitud. Sin embargo, aparecen en el mapa dos polos y tres ceros adicionales.
Los dos polos adicionales están muy próximos de dos de los ceros (la distancia que los separa es inferior a la decima parte de la parte real de loa polos) lo que significa que su influencia será despreciable en las características de la respuesta temporal.
El tercer cero adicional hará que la sobreoscilación sea mayor de la esperada y su influencia será significativa puesto que está relativamente próximo al punto de diseño. Dado que el cero adicional no tiene una influencia significativa en el tiempo de establecimiento es de esperar que se cumpla la duración del transitorio propuesta en el enunciado.
Para mejorar el cumplimiento de la especificación de sobreoscilación se puede aumentar ligeramente la acción derivada (con un valor mayor del tiempo de derivación). Con esto se aporta un mayor amortiguamiento que reducirá la sobreoscilación hasta hacer que se cumpla el comportamiento deseado. Una alternativa más correcta consistiría en elegir un punto de diseño con la misma parte real y una parte imaginaría menor (esto es, con un ángulo menor) y repetir el diseño del regulador PD.
Puesto que la sobreoscilación debe ser nula se puede escoger el punto s=-8 como punto de diseño. Aplicando el criterio del módulo sobre este punto sin considerar los polos cancelados y teniendo en cuenta la presencia del integrador, la ganancia del regulador es:
L 3 2 G H
K K K Kr Td Kr Kr
Ya que se ha añadido un integrador el error de posición será nulo al haber convertido el servosistema en uno de tipo 1. Con los parámetros calculados el regulador PID diseñado por el método de cancelación y para el punto de diseño elegido resulta ser:
( )
GR ( ) s 5.33 1 0.5 s 1
s
Este regulador no está en el formato industrial clásico del regulador PID. Aplicando las conocidas fórmulas los parámetros industriales serán:
Td Td Td
Kr Kr Td Td Ti Kr Kr
Ti Ti Ti
′ ^ ^ ′ ^ ′ ′ ^
Una vez en el formato industrial la función de transferencia del regulador PID es:
G R s s
s
Nota: Con el regulador diseñado hay, efectivamente un polo en el punto de diseño. Un análisis más detallado informa de que, además, hay dos polos adicionales (s=-4.79 y s=-20.74) y dos ceros adicionales (s=-4 y s=-6). El polo en s=-4.79 podría hacer que el tiempo de establecimiento fuera mayor de lo esperado pero el hecho de que tenga un cero bastante próximo hace que su influencia sobre la duración del transitorio se reduzca, por lo que se puede afirmar que el tiempo de establecimiento será aproximadamente igual al esperado.
