BackTracking, Apuntes de Ingeniería Infórmatica

¡Descarga BackTracking y más Apuntes en PDF de Ingeniería Infórmatica solo en Docsity!

Backtracking

Dise˜no y An´alisis de Algoritmos

Backtracking Contenidos

Contenidos

1 Introducci´on

Arboles de b´usqueda

3 N reinas

Otros problemas

5 Ramificaci´on y poda

Poda alfa-beta

Esquemas generales

Backtracking Introducci´on

Backtracking - Vuelta atr´as

Estrategia para encontrar soluciones a problemas con restricciones

definidos sobre espacios discretos (de elevado tama˜no)

Construye soluciones parciales progresivamente, las cuales deben

cumplir las restricciones del problema

El recorrido (en profundidad) tiene ´exito si, procediendo de esta

forma, se puede definir por completo una soluci´on (en una hoja de un

´arbol de recursi´on)

Puede detenerse al encontrar una soluci´on o seguir hasta encontrar

todas

Si en alguna etapa la soluci´on parcial construida hasta el momento no

se puede completar, se vuelve atr´as deshaciendo la soluci´on parcial,

hasta un punto donde puede seguir explorando posibles soluciones

Es un m´etodo de “fuerza bruta” pero “inteligente”

Backtracking Introducci´on

Ejemplo - 4 reinas

Backtracking Arboles de b´usqueda

Permutaciones de {a, b, c}

a c

b

b c

c b c a b a

a c a b

(a,b,c)

(a,c,b)

(b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)

Backtracking Arboles de b´usqueda

Permutaciones de {a, b, c}

a c

b

b c

c b c a b a

a c a b

(a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)

primer

elemento

segundo

elemento

tercer

elemento

3 llamadas

2 llamadas

1 llamada

permutación

Backtracking Arboles de b´usqueda

Implementaci´on - I

1 void permutaciones(int n){

2 int[] perm = new int[n];

3 boolean[] libres = new boolean[n];

4

5 for(int i=0; i<n; i++)

6 libres[i] = true;

7

8 perms(n, 0, perm, libres);

9 }

10

11 void imprimir(int[] v){

12 for(int i=0; i<v.length; i++)

13 System.out.print(v[i]+" ");

14

15 System.out.println();

16 }

Backtracking Arboles de b´usqueda

Implementaci´on - II

1 void perms(int n, int i, int[] solucion, boolean[] xs){

2 for(int k=0; k<n; k++)

3 if(xs[k]){

4 solucion[i] = k;

5 xs[k] = false;

7 if(i==n-1)

8 imprimir(solucion);

9 else

10 perms(n, i+1, solucion, xs);

12 xs[k] = true;

n: n´umero de elementos (profundidad del ´arbol)

i: posici´on del elemento a insertar

solucion: permutaci´on parcial construida

xs: indica los elementos incluidos en la soluci´on parcial

Backtracking Arboles de b´usqueda

Partes de {a, b, c}

Soluci´on - ´arbol binario

{c}

{b}

{ } {b,c}

{a} {a,c} {a,b}

{a,b,c}

se incluye: a

se incluye: b

se incluye: c

Backtracking Arboles de b´usqueda

Partes de {a, b, c}

Soluci´on - ´arbol binario

Arbol binario

En cada nodo decides si un elemento estar´a presente o no

Simplemente crea un vector un vector de valores booleanos

[1, 0 , 1] = {a, c}

No es necesario deshacer los cambios

Backtracking Arboles de b´usqueda

Implementaci´on - II

Soluci´on - ´arbol binario

1 void partes1(int n, int i, int[] c, boolean[] subc){

2 for(int k=0; k<=1; k++){

3 if(k==0)

4 subc[i] = false;

5 else

6 subc[i] = true;

8 if(i==n-1)

9 imprimir(c,subc);

10 else

11 partes1(n, i+1, c, subc);

n: n´umero de elementos (profundidad del ´arbol)

i: elemento a considerar (nivel del ´arbol)

c: vector de elementos

subc: valores booleanos que definen los subconjuntos

Backtracking Arboles de b´usqueda

Partes de {a, b, c}

Soluci´on - subconjunto en cada nodo

a c

b c

{c}

{b}

{a,b} {a,c} {b,c}

{a}

{a,b,c}

b

c

c

Backtracking Arboles de b´usqueda

Partes de {a, b, c}

Soluci´on - subconjunto en cada nodo

El ´arbol de recursi´on no es binario

En el nivel i las soluciones tienen i elementos

Crea un vector con los ´ındices de los elementos que se van incluyendo

[0, 2] = {a, c}

Tiene la mitad de nodos (factor constante) que el ´arbol binario del

primer algoritmo

Se obtiene un subconjunto en cada nodo (no solo en las hojas)

Backtracking Arboles de b´usqueda

Partes de {a, b, c}

Soluci´on - subconjunto en cada nodo

j

j+1 j+2 ... n-

Ahora es necesario llevar dos ´ındices

Posici´on en la soluci´on del elemento a incluir

´

Indice del elemento a incluir (qu´e elemento se incluye)