Matem´atica B´asica - Grupos A y B Curso 2016/17
SEMINARIO 1: TEMA 2. Teor´ıa elemental de conjuntos y aplicaciones
Proposici´
on 1.Consideremos conjuntos A, B, C y aplicaciones f:A−→ Byg:B−→ C. Se
verifica:
(1) f, g inyectivas ⇒gf inyectiva.
(2) f, g sobreyectivas ⇒gf sobreyectiva.
(3) f, g biyectivas ⇒gf biyectiva y (gf )−1=f−1g−1.
(4) gf inyectiva ⇒finyectiva.
(5) gf sobreyectiva ⇒gsobreyectiva.
(6) gf biyectiva ⇒fes inyectiva y ges sobreyectiva.
(7) fbiyectiva ⇒f−1biyectiva.
Demostraci´on. (1) Tenemos como hip´otesis que fygson inyectivas y queremos probar (tesis)
que gf es inyectiva.
Por la definici´on de aplicaci´on inyectiva, hemos de probar que si a, b ∈A,a=b, entonces
gf (a)=gf (b).
Sean a, b ∈A,a=b. Como fes inyectiva, tendremos que f(a)=f(b). Observemos que
f(a), f (b)∈B. Aplicando ahora que ges inyectiva y la definici´on de composici´on de aplicaciones,
tendremos:
gf (a) = g(f(a)) =g(f(b)) = gf (b).
Proposici´
on 2.La composici´on de aplicaciones es asociativa, es decir, si A, B, C, D son con-
juntos y f:A−→ B,g:B−→ Cyh:C−→ Dson aplicaciones, entonces
(hg)f=h(gf ).