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5.11 OSCILADOR ARMÓNICO
ley de Hooke
Esta relación se suele denominar ley de Hooke. De la segunda ley del movimiento, F ma, tenemos
En el caso especial del movimiento armónico simple, la fuerza restauradora F sobre una
partícula de masa m es lineal; es decir, F es proporcional al desplazamiento x de la partícula desde
su posición de equilibrio y en dirección opuesta. De este modo
Sus niveles de energía están espaciados uniformemente.
La inercia de las masas involucradas hace que excedan el equilibrio y el sistema oscila
indefinidamente si no se pierde energía.
d
x kx m
dt
kx
El movimiento armónico tiene lugar cuando un sistema de algún tipo vibra alrededor de una
configuración de equilibrio. El sistema puede ser un objeto sostenido por un resorte o flotando en
un líquido, una molécula diatómica, un átomo en una red cristalina: hay innumerables ejemplos en
todas las escalas de tamaño. La condición para el movimiento armónico es la presencia de una
fuerza restauradora que actúa para devolver el sistema a su configuración de equilibrio cuando es perturbado.
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En realidad, el resultado de un escaneo STM no es un verdadero mapa topográfico de la altura de la superficie, sino un mapa de contorno de densidad electrónica constante en la superficie. Esto significa que los átomos de diferentes elementos aparecen de manera diferente, lo que aumenta en gran medida el valor del STM como herramienta de investigación. Mecánica cuántica Incluso los materiales biológicos relativamente blandos pueden examinarse con un AFM y monitorearse los cambios en ellos. Por ejemplo, la unión de las moléculas de la proteína de la sangre fibrina, que ocurre cuando la sangre se coagula, se ha observado con un AFM. Aunque muchos materiales biológicos conducen la electricidad, lo hacen mediante el flujo de iones en lugar de electrones, por lo que no se pueden estudiar con STM. Un desarrollo más reciente, el microscopio de fuerza atómica (AFM) se puede utilizar en cualquier superficie, aunque con una resolución algo menor que un STM. En un AFM, la punta afilada de un diamante fracturado presiona suavemente contra los átomos en una superficie. Un resorte mantiene constante la presión de la punta y se registran las desviaciones de la punta a medida que se mueve por la superficie. El resultado es un mapa que muestra contornos de fuerza repulsiva constante entre los electrones de la sonda y los electrones de los átomos de la superficie. F Los átomos de silicio en la superficie de un cristal de silicio forman un patrón regular y repetido en esta imagen producida por un STM.
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1 2
Frecuencia
del oscilador armónico
Armónico
oscilador
188 Figura 5.10 La energía potencial de un oscilador armónico es proporcional a x2 donde x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. La amplitud A del movimiento está determinada por la energía total E del oscilador, que clásicamente puede tener cualquier valor.
A
Y
X 0 Energía 1 2 +A U = k x 2
Capítulo cinco
d F dx Dado que x 0 es la posición de equilibrio, Fx0 0. Para x pequeña, los valores de x2 son muy pequeños en comparación con x, por lo que se pueden despreciar los términos tercero y superior de la serie. Por lo tanto , el único término significativo cuando x es pequeño es el segundo. dx F(x) dx k Para verificar este importante punto, observamos que cualquier fuerza restauradora que sea una función de x puede expresarse en una serie de Maclaurin sobre la posición de equilibrio d x dt A, donde E y A están relacionados por E
que es la ley de Hooke cuando (dFdx)x0 es negativa, como lo es, por supuesto, para cualquier fuerza restauradora. La conclusión, entonces, es que todas las oscilaciones son de carácter armónico simple cuando sus amplitudes son suficientemente pequeñas. 1kx22 _ _ La importancia del oscilador armónico simple tanto en la física clásica como en la moderna no radica en la estricta adherencia de las fuerzas restauradoras reales a la ley de Hooke, lo que rara vez es cierto, sino en el hecho de que estas fuerzas restauradoras se reducen a la ley de Hooke para pequeños desplazamientos x. Como resultado, cualquier sistema en el que algo ejecute pequeñas vibraciones alrededor de una posición de equilibrio se comporta de manera muy parecida a un oscilador armónico simple.
xdx
metro Hay varias formas de escribir la solución de la Ec. (5.62). Uno común es dx DF La función de energía potencial U(x) que corresponde a la fuerza de la ley de Hooke se puede encontrar calculando el trabajo necesario para llevar una partícula de x 0 a xx contra tal fuerza. El resultado es u(x)
d F dx F(x) Fx Por eso F(x) que se representa en la figura 5.10. La curva de U(x) versus x es una parábola. Si la energía del oscilador es E, la partícula vibra de un lado a otro entre x A y x kA2. La figura 8.18 muestra cómo se puede aproximar una curva de energía potencial no parabólica mediante una parábola para pequeños desplazamientos.
x 0 como kx 0 m k 1
..
x A porque (2t ) dónde es la frecuencia de las oscilaciones y A es su amplitud. El valor del ángulo de fase depende de lo que sea x en el tiempo t 0 y de la dirección del movimiento en ese momento. . ,
DF
X , (5.65) 0 X^. X x0^ x
x
x x X x 0
x
Energía mi = 0 (a) mi = 0 mi = 0 Energía mi = 0 (C)
(b) Energía Figura 5.11 Pozos de potencial y niveles de energía de (a) un átomo de hidrógeno, (b) una partícula en una caja y (c) un oscilador armónico. En cada caso, los niveles de energía dependen de manera diferente del número cuántico n. Solo para el oscilador armónico los niveles están igualmente espaciados. El símbolo significa "es proporcional a". 1 2 7 5 2 1 1 3 2 2 9 2 1 2 2
La fórmula general para la función de onda n ésima es
2m
tu 1
h
norte 0, 1, 2
Notemos que cuando n 0,
La figura 5.11 es una comparación de los niveles de energía de un oscilador armónico con los de
un átomo de hidrógeno y de una partícula en una caja con paredes infinitamente duras. También se
muestran las formas de las respectivas curvas de energía potencial. El espaciado de los niveles de
energía es constante solo para el oscilador armónico.
norte.
La energía de un oscilador armónico se cuantifica así en pasos de h.
(2n n!)12 Hn(y)e
que es el valor más bajo que puede tener la energía del oscilador. Este valor se denomina energía de
punto cero porque un oscilador armónico en equilibrio con su entorno se acercaría a una energía de E
E0 y no de E 0 a medida que la temperatura se acerca a 0 K.
Para cada elección del parámetro n hay una función de onda diferente que consiste
en un polinomio Hn(y) (llamado polinomio de Hermite) en potencias pares o impares de y, el factor
exponencial e y un coeficiente numérico que se necesita para cumplir con la condición de normalización
Las funciones de onda que corresponden a los primeros seis niveles de energía de un oscilador
armónico se muestran en la figura 5.12. En cada caso se indica el intervalo al que estaría confinada
una partícula que oscilara clásicamente con la misma energía total En. Evidentemente, la partícula es
capaz de penetrar en regiones clásicamente prohibidas, es decir, de superar la amplitud A determinada
por la energía, con una probabilidad exponencialmente decreciente, como en el caso de una partícula
en un pozo de potencial cuadrado finito.
Cada función
Tabla 5.2 Algunos polinomios de Hermite
Los primeros seis polinomios de Hermite Hn(y) se enumeran en la tabla 5.2.
Es interesante e instructivo comparar las densidades de probabilidad de un oscilador armónico
clásico y un oscilador armónico mecánico cuántico de la misma energía. Las curvas superiores de la
figura 5.13 muestran esta densidad para el oscilador clásico. La probabilidad P de encontrar la partícula
en una posición dada es mayor en los extremos de su movimiento,
En
E E1 E E E A – (^) n A n E E E2 E E E E E3 E E4 E 01 Y n + 7 h h h
2y 4y 2 8y3 12y 16y4 48y2 12 32y 160y3 120y
h 5 h 3 4 h
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norte
norte
norte norte 2 ( oscilador Energía de punto cero Armónico 1 2 Capítulo cinco Hn(y) Funciones de onda y2 2
E norte 14 y2 2
Exactamente el comportamiento opuesto ocurre cuando un oscilador mecánico cuántico tiene su 0), donde se mueve Podría objetarse que aunque 10 fuera, sin embargo, la objeción sólo tiene sentido si las fluctuaciones son observables, y cuanto menor es el espacio entre los picos y los huecos, más difícil es detectarlos experimentalmente. donde se mueve lentamente y menos cerca de la posición de equilibrio (x rápidamente. en su estado de energía más bajo de n 0. Como se muestra, la densidad de probabilidad 0 tiene un valor máximo en x 0 y cae a ambos lados de esta posición. Sin embargo, este desacuerdo se vuelve cada vez menos marcado a medida que aumenta n. El gráfico inferior de la figura 5.13 corresponde a n 10, y es claro que cuando se promedia sobre x tiene aproximadamente el carácter general de la probabilidad clásica P. Este es otro ejemplo del principio de correspondencia mencionado en el Cap. 4: En el límite de los grandes números cuánticos, la física cuántica arroja los mismos resultados que la física clásica. Las “colas” exponenciales de más allá de x A también disminuyen en magnitud al aumentar n. Así, las imágenes clásica y cuántica empiezan a parecerse más y más cuanto mayor es el valor de n, de acuerdo con el principio de correspondencia, aunque son muy diferentes para n pequeño. de hecho se aproxima a P cuando se suaviza fluctúa rápidamente con x mientras que P no lo hace. Sin embargo, esto x = – A x = +A x = – A PAG x = +A x = – A x = +A x = +A x = – A x = +A x = – A x = +A PAG x = – A x = +A Figura 5.12 Las primeras seis funciones de onda del oscilador armónico. Las líneas verticales muestran los límites A y A entre los cuales vibraría un oscilador clásico con la misma energía. x = – A x = +A Figura 5.13 Densidades de probabilidad para los estados n 0 y n 10 de un oscilador armónico de mecánica cuántica. Las densidades de probabilidad para osciladores armónicos clásicos con las mismas energías se muestran en blanco. En el estado n 10, la longitud de onda es la más corta en x 0 y la más larga en x A. x = – A 2 10 10 2 10 2
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