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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

ESTADÍSTICA GENERAL - SEMANA 7

Equipo de Estadística

Ciclo académico: 2025 - 1

Sesión 13

Departamento Académico de

Cursos Básicos

REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA https://i.pinimg.com/564x/4c/91/67/4c9167a3d3f3cb5f18bbdb5e40d8e9c 2.jpg

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de distribución binomial, identificando las características de la variable aleatoria y aplicando las fórmulas correctas mediante una ficha con cinco ejercicios prácticos. RESULTADO DE APRENDIZAJE Imagen extraída de Microsoft 365

• Variable aleatoria
• Distribución binomial CONTENIDO

CONTENIDOS DE LA SESIÓN

Imagen extraída de Microsoft 365

Una variable aleatoria es una función que tiene como dominio a los elementos

que constituyen el espacio muestral de un experimento aleatorio y como rango

un subconjunto de números reales.

VARIABLE ALEATORIA

Clases de variables aleatorias

Las variables aleatorias se clasifican en:

• Variables aleatorias discretas
• Variables aleatorias continuas https://acortar.link/QNvkz

VARIABLE ALEATORIA

Variable aleatoria discreta Variable aleatoria continua

Es aquella variable cuya rango esta

determinado por un conjunto finito o infinito

numerable de valores

Es aquella variable cuyo rango esta

determinado por un conjunto infinito no

numerable de valores

Ejemplos: Ejemplos:

• Número de accidentes automovilisticos
  • El peso del corazón de una ballena

azul

• Número de preguntas respondidas

correctamente • Tiempo de una transacción económica

• Número de estudiantes desaprobados en

el curso de estadística general • El diámetro de una arandela

¿Cómo se determinan las probabilidades de Ω a través de X?

Con relación al ejemplo anterior

E: Lanzar dos monedas Ω=^ 𝑆𝑆,^ 𝐶𝑆,^ 𝑆𝐶,^ 𝐶𝐶

La probabilidad de ocurrencia de cada elemento de Ω es 1/

X: Número de caras que se obtienen al lanzar dos monedas

P(X=0)=P(SS)=1/

P(X=1)=P(CS,SC)=P(CS)+P(SC)=1/4+1/4=1/

P(X=2)=P(CC)=1/

X puede tomar 0 para el caso SS

X puede tomar 1 para el caso CS,SC

X puede tomar 2 para el caso CC

VARIABLE ALEATORIA

La función de probabilidad también se puede representar de la siguiente manera:

X: Número de caras que se obtienen al lanzar dos monedas

X f(X)=P(X=x)

Total 1

VARIABLE ALEATORIA

https://bit.ly/4xtdqru

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una variable aleatoria X, tendrá un comportamiento binomial cuando los eventos son

independientes, además están asociados a una probabilidad de ocurrencia (p) y a un

número de ensayos (n); ambos denominados parámetros de la distribución. Siendo

su función de probabilidad:

Donde:

n : número de ensayos del experimento (tamaño de muestra)

x : número de éxitos en los n-ensayos

p : probabilidad de éxito

q : probabilidad de fracaso

𝑛 𝑥

: número combinatorio

𝑃[𝑋 = 𝑥] =

p

𝑥

𝑛−𝑥

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

μ = 𝐸 𝑋 = np 𝜎 2 = npq

Media y varianza de una

variable aleatoria binomial

https://acortar.link/W0m5CH

a. Exactamente la mitad de los vehículos

X: Número vehículos que pasan la prueba de gases

En este caso n = 10 p = 0,50 (probabilidad que el vehículo pase la prueba)

q = 0,50 (probabilidad que el vehículo no pase la prueba)

P X = 5 =

5

5

La probabilidad que exactamente la mitad de los vehículos pasan la prueba de gases

es 0,2461.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

b. Más de 3 vehículos X: Número vehículos que pasan la prueba de gases En este caso n = 10 p = 0 , 50 (probabilidad que el vehículo pase la prueba) q = 0 , 50 (probabilidad que el vehículo no pase la prueba) P(X>3) =1−P(X≤3) P(X>3) =1− P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 P(X>3) =1− 0 , 0010 + 0 , 0098 + 0 , 0439 + 0 , 1172 P(X>3) =1− 0 , 1719 P(X>3)= 0, P X = 0 = 10 0

0 0 , 50 10 =0,0010 P X = 1 = 10 1

1 0 , 50 9 = 0 , 0098 P X = 2 = 10 2

2 0 , 50 8 =0,0439 P X = 3 = 10 3

3 0 , 50 7 =0,

La probabilidad que más de tres vehículos pasan la prueba de gases es 0,8281.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

d. Como máximo la quinta parte de los autos examinados X: Número vehículos que pasan la prueba de gases En este caso n = 10 p = 0 , 50 (probabilidad que el vehículo pase la prueba) q = 0 , 50 (probabilidad que el vehículo no pase la prueba) P(X≤ 2 )= P(X= 0 ) + P(X= 1 ) + P(X= 2 ) P(X≤ 2 )= 0 , 0010 + 0 , 0098 + 0 , 0439 P(X≤ 2 )= 0 , 0547 P X = 0 = 10 0

0 0 , 50 10 = 0 , 0010 P X = 1 = 10 1

1 0 , 50 9 = 0 , 0098 P X = 2 = 10 2

2 0 , 50 8 = 0 , 0439

La probabilidad que máximo la quinta parte de los autos examinados pasen la prueba

de gases es 0,

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

a. Cinco hayan reducido considerablemente su consumo

b. Al menos dos residentes hayan reducido considerablemente su consumo

c. Máximo seis residentes hayan reducido considerablemente su consumo dado que

más de 3 han reducido su consumo

Un reciente reporte ha informado que 70 % de los residentes del

distrito de Los Olivos ha reducido considerablemente el

consumo. Si se seleccionan al azar ocho residentes del distrito

en mención, determine la probabilidad de que:

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https://bit.ly/3zAEM4e