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EXAMEN DE ESTAD´ISTICA APLICADA
1.o^ de Fisioterapia Modelo A 8 de septiembre de 2003
- En un grupo de pacientes se analiza el efecto de una sustancia dopante en el tiempo de respuesta a un determinado est´ımulo. Para ello, se suministra en sucesivas dosis, de 0 a 70 mg, la misma cantidad de dopante a todos los miembros del grupo, y se anota el tiempo medio de respuesta al est´ımulo, expresado en cent´esimas de segundo.
X (mg) 0 10 20 30 40 50 60 70 Y (10−^2 s) 28 46 62 81 100 132 195 302
a) Representar la nube de puntos. A la vista de la representaci´on, ¿crees que el modelo lineal es el que mejor explica el tipo de relaci´on entre las variables? b) Calcular la recta de regresi´on del tiempo en funci´on de la cantidad de dopante, y utilizarla para predecir el tiempo de reacci´on medio para una cantidad de dopante de 25 mg. c) Si para el est´ımulo estudiado los tiempos de reacci´on superiores a un segundo se consideran peligrosos para la salud, ¿a partir de qu´e nivel deber´ıa regularse, e incluso prohibirse, la administraci´on de la sustancia dopante?
SOLUCI ´ON
a) El diagrama de dispersi´on de Y sobre X es el siguiente
X dosis (mg)
Y Tiempo de respuesta (10^-2 s)
0 20 40 60 80
0
100
200
300
400
A la vista del diagrama se puede decir que el modelo lineal no es el que mejor se ajustar´ıa a la nube de puntos, sino posiblemente el exponencial. b) La recta de regresi´on de Y sobre X, tiene ecuaci´on
y = y +
sxy s^2 x
(x − x).
Calculamos primero los estad´ısticos que necesitamos en la ecuaci´on:
x =
xi n
s^2 x =
x^2 i n
− x^2 =
02 + 10^2 + · · · + 70^2
sx =
y =
yj n
s^2 y =
y^2 j n
− y^2 =
282 + 16^2 + · · · + 302^2
sy =
sxy =
xiyj N
− xy =
Sustituyendo en la ecuaci´on anterior estos estad´ısticos calculados obtenemos la recta de re- gresi´on de Y sobre X.
y = 118,25 +
(x − 35) = 3, 44 x − 2 , 25.
Seg´un esta recta, el tiempo de reacci´on medio para una cantidad dopante de 25 mg ser´ıa
y(25) = 3, 44 · 25 − 2 ,25 = 83,82 cent´esimas de segundo.
c) Para ver la cantidad dopante que le corresponde 1 segundo de tiempo de reacci´on, necesitamos utilizar la recta de regresi´on de X sobre Y. La ecuaci´on de esta recta es
x = x +
sxy s^2 y
(y − y) = 35 +
(y − 118 ,25) = 0, 25 y + 5, 57.
Y ana vez que tenemos la recta de regresi´on, para estimar la dosis correspondiente a 1 segundo, hacemos la predicci´on para y = 100 cent´esimas de segundo (ya que las unidades de X son cent´esimas de segundo 10−^2 s). Sustituyendo en la ecuaci´on anterior tenemos
x(100) = 0, 25 · 100 + 5,57 = 30,46 mg.
Como la relaci´on entre X e Y es creciente (sxy > 0), a partir de 30,46 mg el tiempo de reacci´on ser´ıa superior a un segundo, y por tanto, peligroso para la salud.
- Se sabe que en una poblaci´on el 50 % de las personas mayores de 18 a˜nos son fumadores, el 30 % consumen alcohol habitualmente y el 30 % de los que no consumen alcohol habitualmente son fumadores. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar:
a) Ni fume ni consuma alcohol habitualmente. b) Consuma alcohol habitualmente si no es fumador. c) ¿Son independientes los sucesos fumar y consumir alcohol habitualmente? ¿Son compatibles?
SOLUCI ´ON
Llamemos F al suceso consistente en que una persona mayor de 18 a˜nos fume, y B al sucesos consistente en que beba alcohol. Del enunciado tenemos que P (F ) = 0,5, P (B) = 0,3 y P (F/B) = 0 ,3.
b) Si se toman muestras de un mm^3 en 10 tubos de ensayo, ¿cu´al es la probabilidad de que haya m´as de 8 en los que no haya bacterias? c) Si sabemos que hay al menos 7 tubos en los que no hay bacterias, ¿cu´al es la probabilidad de que haya m´as de 8 tubos sin bacterias?
Nota: Todos los ejercicios valen 2 puntos.
