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Estimación puntual y por intervalos. Intervalos de probabilidad. Intervalos de Confianza.
Hemos comentado ya en varias ocasiones como la importancia de la estadística radica en poder definir una población a través de un subgrupo de esta, una muestra. A partir de las técnicas de muestreo vamos a ser capaces de seleccionar una muestra que sea representativa de la población y a partir de las Técnicas de la Inferencia Estadística vamos a deducir las características poblacionales partiendo de las obtenidas en las muestras. Las dos maneras de realizar inferencia estadística son la estimación y el contraste de hipótesis. En el tema anterior hemos podido observar como las distribuciones dependen a menudo de parámetros, de manera que una vez conocidos estos se puede determinar la probabilidad de varios sucesos. El problema radica en que en la mayoría de las ocasiones los parámetros poblaciones son desconocidos y lo que intentamos calcular, hallar o conocer es ese valor a partir de muestras aleatorias. Debido a las variaciones de los valores obtenidos en las muestras no podemos afirmar que el valor obtenido sea el valor real, pero si podemos elegir una sola opción óptima basándonos en la información muestral, incluso señalar un intervalo de valores entre los que tenemos la confianza que se encuentre el valor real. Dado que las distribuciones de las muestras son variables aleatorias es de aplicación todo lo expresado hasta aquí sobre las distribuciones normal y binomial. En el contraste de hipótesis se hace una afirmación sobre la población objeto de estudio y luego se observan los resultados obtenidos en la muestra y se comprueba si son consistentes o no con la hipótesis establecida.
ESTIMACIÓN :
Cuando de la información suministrada por una muestra solamente se utiliza un solo valor numérico, un estadístico, que sea un buen indicador de un parámetro fundamental de la población tenemos un problema de estimación por parámetros. En este caso se debe de elegir un estimador que a ser posible, lo que es imposible, fuera siempre exactamente igual al parámetro que queremos estudiar. Al depender de muestras siempre hay que contar con el error muestral. Las propiedades que deben elegirse a cualquier estimador son los siguientes:
- Carencia de sesgo: que el estimador sea en promedio igual al valor del parámetro.
- Eficiencia: Que la variancia, la dispersión respecto al valor central sea tan pequeña como sea posible.
Distribución muestral.- Dada una muestra con n elementos de una población, se llama distribución muestral de un estadístico a la distribución de frecuencias de los valores que ese estadístico toma en un número infinito de muestras. Ejemplo: Ver la distribución muestral de 1,2,3,4,5,6. Tomados de 3 tres. Se pueden observar tres conclusiones:
1º.- La distribución de las medias de las muestras obtenidas sigue una ley normal. 2º.- La media de la distribución muestral es igual a la media de la población.
μ dm = μ población
3º.- A medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la variancia de la distribución muestral.
Sx^2 = ^2 / N; Sx = / ࡺ√
Teorema del límite central: La media aritmética de varias muestras de una misma distribución sigue una ley normal, aunque la distribución de origen no la siga. De manera que la media de las medias de las distribuciones muestrales es precisamente la media poblacional y la desviación típica es función de la variancia de la propia distribución y del
tamaño de la muestra. S = / ࡺ√^.
Estimación por Intervalos.- El concepto de estimación por intervalos arranca de un concepto básico que es el intervalo de probabilidad (1-α). Este concepto es imprescindible para entender la base teórica de la estimación por intervalos y el concepto sobre el que se construyen las pruebas de hipótesis. El intervalo de probabilidad 1- α es aquel intervalo que tiene una probabilidad 1- α de contener las proporciones o las medias observadas en las muestras de tamaño extraídas al azar de una población con una proporción o una media y variancia conocida. Para calcular los intervalos de probabilidad se debe elegir un valor α pequeño, normalmente α =0,05 (5 %). En este caso el intervalo de probabilidad 0,95, contendrá el 95 % de las de las proporciones o las medias observadas en muestras procedentes de una población dada. Este intervalo permite evaluar la variabilidad debida al azar de un estadístico observado en una muestra procedente de una población conocida. El valor asociado a este intervalo indica la probabilidad de que un valor observado se encuentre fuera de él.
Cálculo del intervalo de probabilidad :
a.- Proporciones : ࢆ ± ିࢻ/ ට×.
Para poder aplicar esta fórmula se precisa que n·p y n·q sean superiores a 5.
n·p y n·q ≥ 5.
Ejemplo: p = 0,5; q = 0,5; n = 100
, ± ,ૢ × ට , ., 0,5 ± 1,96 · 0,05 = 0,5 ± 0,098.
b.- Medias : ࢞ഥ ± ࢆ ି ࢻ ൗ ×࣌ √
Esta fórmula se puede aplicar siempre que se trate de grandes muestras (n sea mayor de 30) y en el caso de muestras pequeñas siempre que la distribución objeto de estudio siga una ley normal.
Ejemplo: Media = 115, = 15; n = 100 115 ± 1,96 x 15 / √100మ^ = 115 ± 2,94.
Intervalo de confianza: Hemos observado como el intervalo de probabilidad nos va a permitir conocer dado un tamaño de muestra n elegido aleatoriamente entre que valores se encontraría la media o la proporción de la variable estudiada del 95 % de las muestras extraídas. La verdad que esto tiene poca aplicación, excepción hecha de la aportación pedagógica y la aproximación a otro concepto de más interés. Efectivamente, normalmente a partir de la muestra debemos de saber si el valor obtenido se aproximará al que queremos saber, al parámetro poblacional. Si en vez de definir un punto, damos como resultado un intervalo, dos valores, es mayor la probabilidad que el valor real, el parámetro poblacional se encuentre entre los valores definidos en el intervalo. Para calcular este intervalo se procede de la misma manera que en el intervalo de probabilidad, como en el caso anterior se debe fijar un valor de confianza pequeño (α=0,05 (5 %)). Posteriormente, según se trate de proporciones o de medias se calcula de forma diferente.
Cálculo del intervalo de confianza :
a.- Proporciones : ࢆ ± ିࢻ/ ට^ ×^
Para poder aplicar esta fórmula se precisa que n·p y n·q sean superiores a 5.
Error standard (SE) = ට^ ×^
Ejemplo: p = 0,5; q = 0,5; n = 100.
, ± ,ૢ × ට, × , = 0,5 ± 1,96 · 0,05 = 0,5 ± 0,098.
b.- Medias : ࢆ ± ߤି ࢻ ൗ ࢙× (^) ି√ Esta fórmula se puede aplicar siempre que se trate de grandes muestras (n sea mayor de 30) y en el caso de muestras pequeñas siempre que la distribución objeto de estudio siga una ley normal.
Ejemplo: μ = 115, s = 16; n = 65. 115 ± 1,96·16 / √65 − 1మ^ = 115 ± 3,92.
