Inferencia Estad´ıstica
Estad´ıstica (10Grado ADE) - Universidade de Vigo - 2015-2016
1. El n´umero de clientes que acuden a una estaci´on de servicio a lo largo del d´ıa sigue una distribuci´on de
Poisson de media λdesconocida. Con el fin de mejorar el servicio, se quiere estimar λ. Para ello se extrae una
m.a.s. X1, ..., Xn, con n≥2, y se proponen los siguientes estimadores: T1=X,T2=X+λ
2,T3=X1−Xn
2
yT4=X1+Xn
2. ¿Cu´ales pueden utilizarse como estimadores de λ? ¿Cu´al es el mejor?
2. Sean T1yT2dos estimadores de θverificando que E(T1) = θ,E(T2) = (n+ 2)θ
n+ 3 ,V ar(T1) = θ2
nyV ar(T2) =
(n+ 6)θ2
(n+ 3)2. Determina cu´al es el mejor estimador en funci´on del tama˜no muestral.
3. En muestras de tama˜no 5 de una variable aleatoria normal con desviaci´on t´ıpica 2, se consideran los siguientes
estimadores de la media:
T1=1
6
3
X
i=1
Xi+1
4(X4+X5) y T2=1
2X1+1
8
5
X
i=2
Xi.
a) Comprueba que ambos estimadores son insesgados. ¿Cu´al es mejor?
b) ¿Cu´al es la mejor estimaci´on para la media de la poblaci´on utilizando los estimadores anteriores y la
muestra siguiente: 2.1,1.8,1.7,1.9,1.8?
c) Prop´on otro estimador diferente y comp´aralo con los anteriores.
4. El consumo de un cierto producto en una familia de cuatro miembros durante los meses de verano, es
una variable aleatoria con distribuci´on uniforme en el intervalo (α, α + 1) Dada una m.a.s. X1,...,Xnde
consumos de distintas familias. (Nota: dada X∼U(a, b), E(X) = (a+b)/2 y V ar(X) = (b−a)2/12.)
a) Demostrar que la media muestral es un estimador sesgado de α.
b) Calcular el error cuadr´atico medio de X.
c) Obtener un estimador insesgado de α(a partir de X).
5. Un secadero artificial presenta una temperatura uniformemente distribuida entre 0 y un m´aximo desconocido
θ. Para estimar θse obtiene una muestra aleatoria de 5 temperaturas X1, ..., X5y se desean probar los
estimadores: b
θ1=Xyb
θ2=X1+X2. Determinar:
a) Si son insesgados y consistentes.
b) Sus errores cuadr´aticos medios. ¿Cu´al es el mejor estimador puntual de los dos?
c) Prop´on otro estimador diferente y comp´aralo con los anteriores.
6. En la oficina de control de pesas y medidas se present´o una denuncia de que las botellas de “un litro” de
cierta marca de leche no ten´ıan la capacidad real de un litro. Los expendedores se defendieron alegando
que era muy dif´ıcil que una botella en particular tuviera la capacidad de un litro, pero que la media de la
poblaci´on s´ı era un litro. Para atender la denuncia, se midieron 25 botellas elegidas al azar y se obtuvo una
media muestral de X= 995cm3.
a) Supuesto que la capacidad de las botellas es normal con desviaci´on t´ıpica 19, obtener una estimaci´on por
intervalo de confianza al 99% para la capacidad media.
b) ¿Cu´al es el n´umero m´ınimo de botellas que deber´ıan haberse medido para, con un valor de la media
muestral de 995cm3y con una confianza del 99%, poder afirmar que el denunciante ten´ıa raz´on?
7. Una empresa cervecera sabe que las cantidades de cerveza que contienen sus latas sigue una distribuci´on
normal con desviaci´on t´ıpica poblacional 0.03 litros.
a) A partir de una muestra aleatoria de 25 latas se construye un intervalo de confianza para la media
poblacional del contenido en litros de las latas que resulta ser (0.32,0.34). ¿Cu´al es el nivel de confianza de
este intervalo?
b) Un gerente de esta empresa exige un intervalo de confianza del 99% que tenga una amplitud m´axima de
0.03 litros a cada lado de la media muestral. ¿Cu´antas observaciones son necesarias, como m´ınimo, para
alcanzar este objetivo?
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