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Taller 4: An´alisis input-output de Leontief
Pablo S´anchez Moreno
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
[email protected]
Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas Curso 2013-
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Modelo de Leontief
Wassily W. Leontief (San Petersburgo 1905 - Nueva York 1999) (Premio Nobel de Econom´ıa, 1973) Pablo S´anchez Moreno Taller 4: An´alisis input-output de Leontief 2 / 8
Modelo de Leontief
El modelo de Leontief analiza las interrelaciones entre oferta y demanda que existen entre diversos sectores de una econom´ıa. Consideremos una econom´ıa con los siguientes tres sectores: Sector industrial, con dos industrias: A y B. Sector de otros factores de producci´on, con los costes de cada una de las industrias. Sector demanda final, con los consumidores.
Esta es la tabla input-output de este sistema:
Industria A Industria B Demanda final Producci´on total Industria A 240 500 460 1200 Industria B 360 200 940 1500 Otros 600 800 Consumo total 1200 1500
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Modelo de Leontief
La pregunta que nos hacemos es c´omo cambia la producci´on de las dos industrias y del sector de otros factores, si la demanda final cambia. Comenzamos redefiniendo los datos de las columnas de cada industria para tener los valores referidos a una sola unidad monetaria.
Industria A Industria B
Industria A
Industria B
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Modelo de Leontief
Se puede comprobar que, en este ejemplo, se cumplen las siguientes ecuaciones: (^) { 1 5 xA^ +^
1 3 xB^ +460^ =^ xA 3 10 xA^ +^
2 15 xB^ +940^ =^ xB donde xA y xB son las producciones totales de las industrias A y B, y 460 y 940 son los valores invertidos por la demanda final. En este caso, xA = 1200, xB = 1500, ser´ıa la soluci´on del sistema.
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Modelo de Leontief
5 xA^ +^
1 3 xB^ +460^ =^ xA 3 10 xA^ +^
2 15 xB^ +940^ =^ xB
Si X =
xA xB
es la matriz de producci´on,
T =
5
1 3 3 10
2 15
es la matriz de tecnolog´ıa, y
F =
es la matriz de demanda final,
el sistema se puede escribir en forma matricial como
T X + F = X Pablo S´anchez Moreno Taller 4: An´alisis input-output de Leontief 6 / 8
Modelo de Leontief
T X + F = X
Ahora despejamos la matriz de producci´on X:
X − T X = F ⇒ (In − T )X = F ⇒ X = (In − T )−^1 F
A la matriz (In − T )−^1 se la suele denominar matriz inversa de Leontief.
En el ejemplo
X = (I 2 − T )−^1 F =
5
1 3 3 10
2 15
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Modelo de Leontief
Ahora la demanda final cambia a 500 para la Industria A y a 1100 para la Industria B, entonces la nueva matriz de demanda final es
F =
La nueva matriz de producci´on es
X = (I 2 − T )−^1 F =
5
1 3 3 10
2 15
Luego las nuevas producciones de las industrias, de acuerdo con la nueva demanda final son xA = 1348. 31 y xB = 1735. 96.
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