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El concepto de funciones de dos y tres variables en el contexto del Cálculo Vectorial. Se define una función, se determina su dominio y se grafican ejemplos de funciones con sus respectivas superficies y curvas de nivel.
Tipo: Ejercicios
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Gabriel Sepulveda Laura Negrete Osvaldo Polo Jimmy Lloreda
Universidad de C ´ordoba Departamento de Matem ´atica y Estad´stica Monter´ıa-C ´ordoba
Observaci ´on
Si una funci ´on f est ´a dada por una f ´ormula y no se especifica dominio alguno, entonces se entiende que el dominio de f ser ´a el conjunto de parejas (x, y) para el cual la expresi ´on dada es un n ´umero bien definido.
Para calcular el dominio de una funci ´on de dos variables, inicialmente se tiene encuenta las siguientes restricciones:
(^1) (Cocientes) A Q(x, y) ∈ R si y solo si Q(x, y) 6 = 0.
(^2) (Ra´ıces Pares) 2 k
R(x, y) ∈ R si y solo si R(x, y) ≥ 0. (^3) (Logaritmos ) log(S(x, y)) ∈ R si y solo si S(x, y) > 0.
Q, R y S polinomios en las variables x y y.
Ejemplo:
Para las funciones siguientes determine y grafique el dominio.
(1) f (x, y) =
x + y + 1 x − 1
Soluci ´on: La expresi ´on para f tiene sentido si el denominador no es cero y la cantidad dentro del signo de ra´ız cuadrada es no negativa. Entonces, el dominio de f es
D = {(x, y) : x + y + 1 ≥ 0 , x − 1 6 = 0} = {(x, y) : y ≥ −x − 1 , x 6 = 1}
(2) f (x, y) = x ln(y^2 − x)
Soluci ´on: Puesto que ln(y^2 − x) se define s ´olo cuando y^2 − x > 0 , es decir, x < y^2 , el dominio de f es
D = {(x, y)|x < y^2 }
Este es el conjunto de puntos a la izquierda de la par ´^ ´ abola x = y^2. Ver figura
(3) Determine el dominio y el rango de g(x, y) =
9 − x^2 − y^2
Soluci ´on: El dominio de g es
D = {(x, y)| 9 − x^2 − y^2 ≥ 0 } = {(x, y)|x^2 + y^2 ≤ 9 }
que es el disco con centro (0, 0) y radio 3 (ver figura). El rango de g es
{z|z =
9 − x^2 − y^2 , (x, y) ∈ D}
Puesto que z es una ra´ız cuadrada positiva, z ≥ 0. Asimismo, como 9 − x^2 − y^2 ≤ 9 , tenemos
0 ≤
9 − x^2 − y^2 ≤ 3
por lo tanto el rango es
{z| 0 ≤ z ≤ 3 } = [0, 3]
Soluci ´on
Dom(f ) =
(x, y) : x − y > 0 y 4 − x^2 − y^2 ≥ 0
(x, y) : x > y y 4 ≥ x^2 + y^2
(x, y) : y < x y x^2 + y^2 ≤ 4
Gr ´aficas:
Si f es una funci ´on de dos variables con dominio D, entonces la gr ´afica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en R^3 tal que z = f (x, y) y (x, y) est ´a en D.
f : D ⊆ R^2 → R (x, y) 7 → z = f (x, y)
Gr ´aff = {(x, y, f (x, y))|(x, y) ∈ D} = {(x, y, z)|z = f (x, y) y (x, y) ∈ D}
Notese que Gr ´aff ⊆ R^3 y es llamada una superficie.
Trazas
Las trazas de la gr ´afica de una funci ´on de 2 variables z = f (x, y), son sus intersecciones bien sea con planos verticales del tipo x = k o ´ y = k o con planos horizontales del tipo´ z = k.
Ejemplo:
Graficar
(1) f (x, y) = 6 − 3 x − 2 y
Soluci ´on: La gr ´afica de f tiene la ecuaci ´on z = 6 − 3 x − 2 y, o 3 x + 2y + z = 6, que representa un plano. Para graficar el plano, primero obtenemos las intersecciones con los ejes. Hacemos y = z = 0 en la ecuaci ´on y obtenemos x = 2 como la intersecci ´on con el eje x. Con el mismo procedimiento obtenemos la intersecci ´on con el eje y, que es 3, y la del eje z, que es 6. Ya con esto puede trazar la parte de la gr ´afica que est ´a en el primer octante (ver figura).
(2) g(x, y) =
9 − x^2 − y^2
Soluci ´on:
La ecuaci ´on de la gr ´afica es z =
9 − x^2 − y^2. Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuaci ´on obtiene z^2 = 9 − x^2 − y^2 , es decir x^2 + y^2 + z^2 = 9, que se reconoce como la ecuaci ´on de la esfera con centro en el origen y radio 3. Pero comoUniversidad de C ´ordoba C ´ALCULO VECTORIAL z ≥ 0 , la gr ´afica de30 de julio de 2020 g es s ´ olo14 / 25
Superficies Cuadr ´aticas:
Llamamos superficie cuadr ´atica a la gr ´afica de una ecuaci ´on en tres variables. Algunas de ellas son:
