Tema 1: Topologia de Rn
1. Espais m`etrics
1.1. Definici´o Donat un conjunt M, una dist`ancia ´es una aplicaci´o d:M×M−→ Rtal que:
(i) d(x, y)≥0∀x, y ∈M.
(ii) d(x, y)=0⇐⇒ x=y.
(iii) d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈M(simetria).
(iv) d(x, y)≤d(x, z) + d(z , y) (desigualtat triangular).
1.2. Definici´o Un conjunt Mamb una dist`ancia d´es un espai m`etric.
2. Espais normats
2.1. Definici´o Donat un espai vectorial real E, una norma ´es una aplicaci´o k·k :E−→ R
tal que:
(i) kvk ≥ 0∀v∈E
(ii) Si kvk= 0, aleshores v= 0
(iii) kλvk=|λ|kvk ∀v∈E, ∀λ∈R
(iv) kv+wk ≤ kvk+kwk ∀v, w ∈E(desigualtat triangular)
2.2. Definici´o Un espai vectorial Eamb una norma k·k ´es un espai normat.
2.3. Proposici´o
(a) Tot espai normat ´es espai m`etric amb la dist`ancia associada a la norma: d(x, y ) = kx−yk.
(b) El rec´ıproc ´es fals.
3. Espais euclidians
3.1. Definici´o Donat un espai vectorial real E, un producte escalar ´es una aplicaci´o
<, >:E×E−→ R:
(i) Bilineal.
(ii) Sim`etrica.
(iii) Definida positiva: < x, x >≥0, ∀x∈E.
(iv) No degenerada: < x, x >= 0 ⇐⇒ x= 0.
3.2. Definici´o (E, <, >) ´es un espai euclidi`a.
3.3. Proposici´o
(a) Tot espai euclidi`a ´es espai normat amb la norma associada al producte escalar:
kvk= +√< v, v >.
(b) El rec´ıproc ´es fals.
3.4. Desigualtat de Cauchy-Schwarz: en un espai euclidi`a E,
|< x,y > |≤kxkkyk,∀x, y ∈E.
3.5. Identitat del paral·lelogram: en un espai euclidi`a E,
kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+ 2kyk2,∀x, y ∈E
3.6. Identitat de polaritzaci´o: en un espai euclidi`a E,
4< x,y >=kx+yk2− kx−yk2,∀x, y ∈E.
3.7. Lema Rn´es un espai euclidi`a amb el producte escalar: < x, y >=
n
X
i=1
xiyi. Tamb´e ´es espai
normat i espai m`etric amb la norma (que denotarem per k.k2) i la dist`ancia (d2) associades a
aquest producte escalar.
1
