Integrales indefinidas: Funciones primitivas y reglas de integración, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Integrales indefinidas: Funciones primitivas y reglas de integración y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Tema 4.

Integraci´o de funcions

d’una variable

Calcul Aeronautica. EETAC

Susana-Clara L´opez

Integraci´o de funcions d’una variable

1. Funci´o primitiva. Integral indefinida.
   2. Integrals indefinides immediates.
   3. Integrals indefinides quasi-immediates.
   4. Integraci´o per parts.
   5. Funcions racionals. 5.1. Descomposici´o en fraccions simples. 5.2. Integraci´o de fraccions simples.
   6. Integraci´o per canvi de variable. 6.1. Canvi amb funcions trigonom`etriques. 6.2. Canvi amb funcions irracionals.
2. Integral definida.
   8. Aplicacions de la integral definida. 8.1. Calcul d’arees planes. 8.2. Longitud d’arc. 8.3. Volum de cossos de revoluci´o.
   9. Integral impr`opia.

Exemples

3 x^2 dx = x^3 + C

(cos x + sin x)dx = sin x − cos x + C

1 + x^2

dx = arctan x + C

Observaci´o El c`alcul d’integrals indefinides

´es el problema invers de trobar derivades.

Propietats De les regles de derivaci´o obtenim:

• Suma/resta ∫

(f (x) ± g(x))dx =

f (x)dx ±

g(x)dx

• Producte per constant ∫

(K · f (x))dx = K ·

f (x)dx, ∀K const.

2. Integrals indefinides immediates

dx = x + C ∫ kdx = kx + C ∫ xndx = (^) n+1^1 xn+1^ + C ∀n ∈ R, n 6 = − 1 ∫ (^1) x dx^ = ln^ |x|^ +^ C ∫ axdx = (^) ln^1 aax^ + C ∫ exdx = ex^ + C ∫ (^) dx 2 √x =^

√x + C

∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ (^1) cos^2 xdx^ = tan^ x^ +^ C ∫ (^) − 1 sin^2 xdx^ = cotan^ x^ +^ C ∫ (^1) √ 1 −x 2 dx = arcsin x + C ∫ (^1) 1+x^2 dx^ = arctan^ x^ +^ C

4. Integraci´o per parts

De la derivada d’un producte dedu¨ım

f (x)g′(x)dx = f (x)g(x) −

f ′(x)g(x)dx.

Tamb´e:

udv = uv −

vdu.

La idea ´es que la nova integral sigui m´es sen-

zilla que la inicial i f`acil d’integrar.

Exemples

1. I =

xexdx.

Plantegem

[

u = x → du = dx dv = exdx → v = ex

]

. Usant la f´ormula:

I =

xexdx = xex^ −

exdx = xex^ − ex^ + C.

2. I =

x sin xdx.

Plantegem

[

u = x → du = dx dv = sin xdx → v = − cos x

]

. D’on:

I =

x sin xdx = −x cos x − (−

cos xdx) =

= −x cos x + sin x + C.

A vegades, cal repetir el proc´es m´es d’un cop.

3. I =

x ln^2 xdx.

Plantegem [ u = ln^2 x → du = 2 ln x · (^1) x dx dv = xdx → v = 12 x^2

]

Aplicant la f´ormula:

I =

x ln^2 xdx =

x^2 ln^2 x −

x^2 ln x ·

x dx =

=^1

x^2 ln^2 x −

x ln xdx.

La darrera integral: [ u = ln x → du = (^1) x dx dv = xdx → v = 12 x^2

]

D’on

x ln xdx =^1 2

x^2 ln x−^1 2

xdx. D’aqu´ı, la integral

I =^1

x^2 ln^2 x − 1 2

x^2 ln x +^1 4

x^2 + C.

I un exemple curi´os:

4. I =

ex^ cos xdx

5.1. Descomposici´o en fraccions simples

S´on fraccions simples:

A

(x − a)r^

, o b´e

M x + N

((x − a)^2 + b^2 )r

on A, M, N, a, b, r s´on constants.

La descomposici´o en fraccions simples de p q((xx))

dep`en de les arrels del denominador.

(a) Arrels reals simples Per cada arrel sim-

ple a de q(x) apareix la fracci´o (xA−a) on A ´es

una constant que cal trobar.

Exemple Com x^2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2) considerem

7 − x x^2 + x − 2

= A

x − 1

+ B

x + 2 amb A, B constants adequades. Tornant a sumar les fraccions 7 − x x^2 + x − 2

A(x + 2) (x − 1)(x + 2)

B(x − 1) (x + 2)(x − 1)

Igualant els numeradors: 7 − x = A(x + 2) + B(x − 1) i donant valors a x (tants com constants) trobem A, B:

• Per x = 1 → 6 = 3A → A = 2
• Per x = − 2 → 9 = − 3 B → B = − 3

(b) Arrels reals m´ultiples Per cada arrel a

de multiplicitat k de q(x) apareix

A 1

(x − a)

A 2

(x − a)^2

Ak

(x − a)k

on Ai s´on constants que es troben sumant les

fraccions simples i igualant els numeradors.

(c) Arrels complexes simples Per cada arrel

simple a + bj de q(x) apareix

M x + N

(x − a)^2 + b^2

on M, N s´on constants que es troben sumant

les fraccions simples i igualant els numeradors.

(d) Arrels complexes m´ultiples Per cada

arrel a + bj de multiplicitat k de q(x) apareix

M 1 x + N 1

((x − a)^2 + b^2 )

Mkx + Nk

((x − a)^2 + b^2 )k

on Mi, Ni s´on constants que es troben sumant

les fraccions simples i igualant els numeradors.

(d) Arrels complexes m´ultiples (m > 1 ) De

forma similar al cas anterior,

M x + N ((x − a)^2 + b^2 )m^

= M

2(x − a) ((x − a)^2 + b^2 )m^

• M a^ +^ N ((x − a)^2 + b^2 )m

A partir d’aquesta:

∫ M x + N

((x − a)^2 + b^2 )m^

dx =

= M

2(x − a) ((x − a)^2 + b^2 )m^

dx+(M a+N )

((x − a)^2 + b^2 )m^

dx

= M

2(−m + 1)

((x−a)^2 +b^2 )−m+1+M a^ +^ N b^2 m−^1

(cos^2 t)m−^1 dt

La darrera integral s’obt´e de l’anterior amb

el canvi: x−b a = tan t, dx = cosb 2 tdt.

6. Integraci´o per canvi de variable

S’aplica en integrals del tipus:

f (g(x))g′(x)dx.

Proc´es

1. Considerem el canvi t = g(x) derivant respecte x dt = g′(x)dx
2. Substitu¨ım en la integral, i trobem (si ´es factible) una primitiva de f (t): ∫ f (g(x))g′(x)dx =

f (t)dt = F (t) + C

3. Finalment, desfem el canvi: F (t) + C = F (g(x)) + C

Exemple I =

sin(3x + 1)dx

Plantegem el canvi: t = 3x+1 ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = 13 dt, i substitu¨ım:

I =

sin(3x + 1)dx =^1 3

sin tdt = −^1 3 cos t + C.

Finalment, desfem el canvi: I = − 31 cos(3x + 1) + C.

Tipus B Si apareixen sinus/cosinus d’angles

diferents. S’apliquen les identitats:

sin(a) cos(b) =

[sin(a^ −^ b) + sin(a^ +^ b)]

cos(a) cos(b) =

[cos(a − b) + cos(a + b)]

sin(a) sin(b) =

[cos(a − b) − cos(a + b)]

6.2. Canvi amb funcions irracionals

Cas 1.

f ( m

ax + b, x)dx, amb a, b constant,

s’aplica el canvi t = ax + b.

Cas 2.

f (

a^2 − x^2 , x)dx, amb a constant,

s’aplica el canvi x = a sin(t).

Cas 3.

f (

a^2 + x^2 , x)dx, amb a constant,

s’aplica el canvi x = a tan(t).

Cas 4.

f (

x^2 − a^2 , x)dx, amb a constant,

s’aplica el canvi x = a sec(t).

7. Integral definida

Definici´o Donada f : [a, b] ⊂ R → R, cont´ınua.

• Si f (x) ≥ 0, s’anomena integral definida de y = f (x) en [a, b]: ∫ (^) b

a

f (x)dx = A

a l’`area limitada per: y = f (x), l’eix y = 0 i les rectes x = a, x = b.

∫ (^3)

0

(x + 1)dx =

• Si f (x) ≤ 0,

∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^ −A^ (”l’`area canviada de signe”).

• Si f (x) ≥ 0 en [a, c] ∪ [d, b],

f (x) ≤ 0 en [c, d] per a ≤ c ≤ d ≤ b, ∫ (^) b

a

f (x)dx = A 1 − A 2 + A 3.

Teorema fonamental del c`alcul

f : [a, b] ⊂ R → R, cont´ınua, considerem

F (x) :=

∫ (^) x

a

f (t)dt,

aleshores,

F ′(x) = f (x).

Es a dir,^ ´ F ´es una primitiva de f (x).

Justificaci´o f (x) cont´ınua, f (x) ≥ 0, creixent en [a, b]. Definim S(x) =

∫ (^) x a f^ (x)dx. Fixat^ x^0 ∈^ [a, b], ∆S^ repre- senta l’increment de superf´ıcie quan passem de x 0 a x 0 + ∆x.

dedu¨ım:

f (x 0 ) · ∆x < ∆S < f (x 0 + ∆x) · ∆x

d’on, dividint per ∆x i prenent l´ımits:

∆limx→ 0 f^ (x^0 )^ ≤^ ∆limx→ 0

S(x 0 + ∆x) − S(x 0 ) ∆x ≤ (^) ∆limx→ 0 f (x 0 +∆x)

dedu¨ım, f (x 0 ) ≤ S′(x 0 ) ≤ f (x 0 ) ⇒ S′(x 0 ) = f (x 0 ).

Regla de Barrow Sigui f : [a, b] ⊂ R → R,

cont´ınua,i F (x) una de les primitives de f (x),

aleshores

∫ (^) b

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

8. Aplicacions de la integral definida

8.1. Calcul d’arees planes Donada f cont´ınua,

l’`area A entre la corba y = f (x) i les rectes

y = 0, x = a i x = b ´es

A =

∫ (^) b

a

f (x)dx

(si f (x) no canvia de signe en [a,b]).

Exemple L’`area A 1 limitada per y = x^2 − 4 x + 3 i l’eix d’abscisses, entre x = 1 i x = 3, (tall amb l’eix horit- zontal) es calcula a partir de la integral: ∫ (^3)

1

(x^2 − 4 x + 3)dx =

[

x^3 − 2 x^2 + 3x

] 3

1

= −^4

D’aqu´ı l’`area ´es igual A 1 = 43.