Integración: Definición, Integrales Indefinidas y Integrales Imprópias, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Integración: Definición, Integrales Indefinidas y Integrales Imprópias y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Tema 3: C`alcul Integral

Prof. Gisela Pujol

ESEIAAT - Universitat Polit`ecnica de Catalunya

Index

3.1 C`alcul de primitives

3.2 Integral definida

3.3 Integral impr`opia

Definici´o (Funci´o primitiva)

La funci´o primitiva de f (x) ´es una funci´o F (x) tal que:

F ′(x) = f (x).

No ´es ´unica, ja que dep`en d’una constant: (F (x) + C )′^ = F ′(x).

Definici´o (Funci´o integral)

Si f (x) ´es una funci´o cont´ınua i dx ´es el diferencial de la variable independent, s’anomena integral indefinida de f (x) dx a una funci´o que t´e per diferencial f (x) dx. Es nota per (^) ∫

f (x) dx = F (x) + C

sent C una constant qualsevol.

Exemple

cos(x) dx = sin(x) + C , ja que (^) dxd (sin(x) + C ) = (^) dxd sin(x) + (^) dxd (C ) = cos(x).

Propietats de la integral indefinida

El c`alcul de primitives ´es lineal, degut a que la diferenciaci´o ho ´es:

1. La integral indefinida de la suma algebraica de dues o m´es funcions ´es igual a la suma de les seves integrals: ∫ (f (x) + g (x)) dx =

f (x) dx +

g (x) dx.

2. La integral indefinida d’una funci´o per constant ´es igual al producte de la constant per la integral indefinida de la duni´o: ∫ a · f (x) dx = a

f (x) dx.

Exemple

3 cos(x) + 4x^3

dx = 3

cos(x) dx +

4 x^3 dx = 3 sin(x) + x^4 + C.

Exemple (

1+x^2 dx^ =^ arctan(x) +^ C^ )

1 + 2x^2 dx = 3

2 x)^2

dx

= √^3

2 x)^2

, dx

√^3

arctan(

2 x) + C.

M`etode d’integraci´o per parts

Si u(x) i v (x) s´on dues funcions derivables de x, aleshores:

d(u · v ) = u · dv + v · du ⇒ u · dv = d(u · v ) − v · du Integrant s’obt´e la f´ormula d’integraci´o per parts: ∫ u · dv = u · v −

v · du

L’obtenci´o de la funci´o v surt d’integrar el seu diferencial dv. S’usa aquest metode quan el calcul de

v · du ´es m´es senzill que calcular

u · dv.

Exemple

x sin(x) dx =

[

u = x → du = dx dv = sin(x) dx → v = − cos(x)

]

= −x cos(x) −

(− cos(x)) dx

= −x cos(x) + sin(x) + C.

Canvi de variables

Donada la integral

f (x) dx, fent un canvi x = φ(t), se simplifiquen els c`alculs. Tamb´e cal expressar dx respecte la nova variable: dx = φ′(t) dt. ∫ f (x) dx =

f (φ(t)) φ′(t) dt.

Un cop calculada la primitiva, cal desfer el canvi i expressar el resultat en funci´o de la variable original x.

Exemple

ex 1 + e^2 x^ dx =

[

t = ex^ ⇔ x = ln(t) diferenciant dx = (^1) t dt

]

t 1 + t^2

t dt

=

1 + t^2 dt

= arctan(t) + C = arctan(ex^ ) + C.

Exemple (usarem que: sin^2 (t) + cos^2 (t) = 1)

1 − x^2 dx =

[

x = sin(t) ⇔ t = arcsin(x) dx = cos(t) dt

]

1 − sin^2 (t) cos(t)dt

=

cos^2 (t) dt

usant

[

cos^2 (t) = 1+cos(2 2 t)

]

1 + cos(2t) 2 dt

(1 + cos(2t)) dt =

1 dt +

cos(2t)dt

t +

sin(2t) + C

=

arcsin(x) +

sin (2 arcsin(x)) + C.

M`etode de les integrals racionals

Considerem la integral

∫ (^) f (x) g (x) dx, sent^ f^ (x) i^ g^ (x) dos polinomis de grau^ m^ i^ n respectivament. Pas 0: Si m ≥ n, s’efect´ua la divisi´o de polinomis: f (x) g (x) = q(x) + r (x) g (x) sent q(x) un polinomi, i grau(r )≤grau(g ). Aleshores: ∫ f (x) g (x) dx =

q(x) dx +

r (x) g (x) dx

Per tant, s’ha redu¨ıt al cas on el grau del numerador ´es menor que el grau del denominador. Per a fer-ne la seva integral indefinida, s’ha de descompondre la fracci´o (^) gr^ ( (xx)) en suma de fraccions simples. Pas 1: Calcular les arrels del denominador: g (x) = 0. Segons com siguin aquestes arrels, es proposen un tipus de fraccions simples o un altre.

Resoluci´o amb Maple

Aquesta descomposici´o es pot fer usant la instrucci´o convert de Maple.

Exemple

Calculeu la descomposici´o en fraccions simples de −x (^2) +7x+ x^3 +2x^2 −x− 2.

[> convert((-x^2 +7·x+9)/(x^3 +2·x^2 -x-2), parfrac);

−

x + 2

2(x − 1)

2(x + 1)

O b´e es pot fer a ma, seguint les explicacions seg¨uents (pag. 15). Pas 2: Integrar cada fracci´o simple, que ara ´es de tipus pot`encia, logaritme o arctangent.

Exemple

Evalueu

∫ (^2) x− 1 x^2 − 6 x+13 dx.

Les arrels del denominador s´on x = 3 ± 2 i. Per altra banda, com ja es t´e el numerador de la forma Mx + N, s’obt´e M = 2 i N = −1.

Com la difer`encia de graus entre el numerador i el denominador ´es 1, primer s’intenta tenir en el numerador la derivada del denominador: ∫ 2 x − 1 x^2 − 6 x + 13 dx =

2 x − 6 + 6 − 1 x^2 − 6 x + 13 dx

=

2 x − 6 x^2 − 6 x + 13 dx +

x^2 − 6 x + 13 dx

= ln(x^2 − 6 x + 13) + 5

dx x^2 − 6 x + 13

Ara es calcula

∫ (^) dx x^2 − 6 x+. S’expressa el denominador respecte les seves arrels. En general, es t´e que un polinomi p(x) = x^2 + bx + c amb arrels complexes α ± βi es pot reescriure com: p(x) = (x − α)^2 + β^2. En el nostre exemple:

x^2 − 6 x + 13 = (x − 3)^2 + 2^2 = (x − 3)^2 + 4.

∫ dx x^2 − 6 x + 13

4 + (x − 3)^2 dx

1 + (x−3) 2 4

dx

( (^) x− 3 2

) 2 dx

2 1 +

( (^) x− 3 2

) 2 dx

arctan

x − 3 2

+ C.

Integral definida: Integraci´o a R

Motivaci´o

Es vol resoldre el seg¨uent problema: Calcular l’area que queda compresa entre les rectes x = a i x = b, per sobre l’eix OX i per sota la grafica de la funci´o y = f (x), cont´ınua en (a, b).

Figura: Area sota f (x)

Es pot aproximar aquesta integral per l’area d’un rectangle, que ´es m´es facil de calcular. Pero no deixa de ser una aproximaci´o. Com es millora? Posant m´es rectangles, ´es a dir, dividint l’interval [a, b] en sub-intervals, i en cada un d’ells montar-hi un rectangle. Una aproximaci´o de l’area buscada sera la suma de lesarees d’aquests rectangles. En aix`o es basa la integral de Riemann.