Polinomios interpoladores y métodos numéricos - Prof. Fabrega Casamitjana, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Polinomios interpoladores y métodos numéricos - Prof. Fabrega Casamitjana y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

CÀLCUL NUMÈRIC

2 de desembre de 2005

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

• 1 Errors
  • 1.1 Errors d’arrodoniment i de truncament
  • 1.2 Representació de nombres amb punt flotant
  • 1.3 Exercicis
• 2 Interpolació polinomial
  • 2.1 Càlcul del polinomi interpolador
    • 2.1.1 Pel mètode de Lagrange
    • 2.1.2 Pel mètode de les diferències dividides
  • 2.2 Fórmules per avaluar l’error
  • 2.3 Exercicis
• 3 Derivació numèrica
  • 3.1 Fórmules de derivació numèrica
    • 3.1.1 Fórmula de derivació a la dreta:
    • 3.1.2 Fórmula de derivació a la dreta:
    • 3.1.3 Fórmula de derivació centrada:
    • 3.1.4 Fórmula per a la segona derivada:
  • 3.2 Exercicis:
• 4 Integració numèrica
  • 4.1 Mètodes d’integració amb parts iguals i punt mig
  • 4.2 Mètode de Romberg
  • 4.3 Exercicis
• 5 Zeros de funcions
  • 5.1 Localització de zeros
  • 5.2 Iteració simple
    • 5.2.1 El mètode de Newton-Raphson
  • 5.3 Iteració múltiple
    • 5.3.1 El mètode de la secant
  • 5.4 Exercicis
• Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de
• 6 Àlgebra lineal 4 ÍNDEX
  • 6.1 Resolució de sistemes. El mètode de Gauss
  • 6.2 Descomposicions LU
  • 6.3 Sistemes sobredeterminats. Aproximació mínima quadràtica
  • 6.4 Regressió
    • 6.4.1 La recta de regressió
    • 6.4.2 La paràbola de regressió
    • 6.4.3 Altres models
  • 6.5 Exercicis
• 2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

Capítol 1

Errors

1.1 Errors d’arrodoniment i de truncament

Distingirem dos tipus d’errors que es produeixen al utilitzar mètodes matemàtics:

• Els errors d’arrodoniment deguts a la precisió de les dades amb que treba- llem, i
• els errors de truncament deguts a l’aproximació d’una fórmula matemàtica per una altra.

Per exemple, si triem com a valor de π el valor 3.1416 estem cometent un error d’arrodoniment, doncs em arrodonit el nombre π = 3. 14159 .... a la quarta xifra decimal.

En canvi si x està proper a 0 el valor de

1 − x

= 1 + x +

x^2 1 − x

és aproxi-

madament 1 + x. Si en lloc d’utilitzar

1 − x

utilitzem 1 + x cometem un error

de truncament (hem truncat la fórmula). Normalment els errors d’arrodoniment són deguts a la precisió de l’apareill. Per exemple, al pesar un objecte en una balança ens pot danar donar el pes amb una precisió de milígrams. Per tant en la pràctica l’únic valor de que disposarem és del valor arrodonit. Tot i que aquests errors acostumen a ser petits, cal anar molt en compte si efectuem operacions amb ells doncs poden distorsionar els resultats. Veiem un exemple senzill del que pot succeir:

Exemple 1.1.0.1 Considerem la funció f (x) =

x i a = 2_._

f ′(2) = lim h→ 0

2 + h −

h

= lim h→ 0

2 + h +

Com es pot observar per a h ց 0 tenim

2 + h −

h

ր

i per tant

teòricament com més petit triem h millor aproximació de la derivada tindrem.

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

1.2. Representació de nombres amb punt flotant 7

Per exemple la representació amb punt flotant de 1.23 és 0. 123 · 101 i la de 0.0012 és 0. 12 · 10 −^2.

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

8 Errors

1.3 Exercicis

1. Representeu els següents nombres amb punt flotant. 3.1234567, 0.0006562341, 2345.67787, -0.03456, 1.
2. Arrodoniu els nombres del problema anterior a la tercera xifra decimal.
3. Al arrodonir el nombre π = 3. 141592653 ... per 3.1416, quins són els errors absolut i relatiu que cometem?
4. Si sabem que 3.125 és l’arrodoniment a la tercera xifra decimal d’un cert nombre, quin és l’error absolut màxim que podem cometre? I l’error relatiu màxim?
5. Si x,¯ y,¯ z¯ representen els arrodoniments a la segona xifra decimal de x, y, z, quin és l’error màxim que podem cometre si els utilitzem per calcular els següents nombres?

x + y + z, x − y, x + 2y − z, xy.

Test

1. Si 1. 23 , 2. 34 , − 1. 05 són arrodoniment a la segona xifra decimal de certs nombres, l’error que cometem al sumar el triple d’aquests valors és com a molt: (a) 0.0045 (b) 0.005 (c) 0.045 (d) Cap dels valors anteriors.
2. La representació de 34.78 amb punt flotant és: (a) 0.3478E2 (b) 0.3478E-2 (c) 3.478E2 (d) Cap dels valors anteriors.

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

10 Interpolació polinomial

on els polinomis lj(x) són els polinomis de Lagrange corresponent a la taula, definits per

lj(x) =

(x − x 0 ) · · · (x − xj− 1 )(x − xj) · · · (x − xn) (xj − x 0 ) · · · (xj − xj− 1 )(xj − xj) · · · (xj − xn)

Observem que els polinomis lj(x) compleixen lj(xj) = 1 i lj(xi) = 0 si i 6 = j.

Exemple 2.1.1.1 El polinomi interpolador corresponent a la taula

x − 1 0 1 y 6 3 2

és:

p(x) = 6

(x − 0)(x − 1) (− 1 − 0)(− 1 − 1)

(x − (−1))(x − 1) (0 − (−1))(0 − (−1))

(x − (−1))(x − 0) (1 − (−1))(1 − 0) = x^2 − 2 x + 3.

2.1.2 Pel mètode de les diferències dividides

En aquest cas el polinomi interpolador ve donat per la fórmula

p(x) = f [x 0 ]+f [x 0 , x 1 ](x−x 0 )+· · ·+f [x 0 , x 1 , · · · , xn](x−x 0 ) · · · (x−xn− 1 )

on els nombres f [xi, · · · , xj] es defineixen de la següent forma inductiva:

f [xj] = yj · · ·

f [xi, · · · , xj] =

f [xi+1, · · · , xj] − f [xi, · · · , xj− 1 ] xj − xi

Encara que la definició sembli molt complicada hi ha un algoritme senzill per fer el càlcul de les diferències dividides anteriors.

Exemple 2.1.2.1 Considerem la mateixa taula de l’exemple anterior. A partir d’a- questa taula podem obtenir una taula on hi apareixen les diferències dividides.

x 0 = − 1 y 0 = f [x 0 ] = 6 f [x 0 , x 1 ] = (^) (0(3−−(−6)1)) = − 3 x 1 = 0 y 1 = f [x 1 ] = 3 f [x 0 , x 1 , x 2 ] = (− 11 −−((−−1)3)) = 1 f [x 1 , x 2 ] = (2 (1−−3)0) = − 1 x 2 = 1 y 2 = f [x 2 ] = 2

Per tant el polinomi interpolador és

p(x) = 6 − 3(x − (−1)) + 1(x − (−1))(x − 0) = x^2 − 2 x + 3.

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

2.2. Fórmules per avaluar l’error 11

2.2 Fórmules per avaluar l’error

En aquesta secció considerarem funcions f definides en tota la recta real i derivables tantes vegades com calgui. Suposem que tenim una taula de valors de la funció f en els punts x 0 < x 1 < · · · < xn, i que p(x) és el polinomi interpolador corresponent a aquesta taula. Llavors per a x real es compleix

f (x) − p(x) =

f (n+1)(ζ) (n + 1)!

(x − x 0 ) · · · (x − xn)

on f n+1(ζ) indica la derivada n + 1 de la funció f en un punt ζ situat en l’interval

〈x, x 0 , · · · , xn〉 = (min{x, x 0 , · · · , xn}, max{x, x 0 , · · · , xn}).

Per tant si coneixem una cota Mn+1 de la derivada n + 1−èssima de la funció f en l’interval 〈x, x 0 , · · · , xn〉 tindrem una cota de l’error

|f (x) − p(x)| ≤

Mn+ (n + 1)!

|(x − x 0 ) · · · (x − xn)|.

Exemple 2.2.0.2 Si p(x) és el polinomi interpolador corresponent a la taula de valors de la funció f (x) = e^2 x^ en els punts − 1 , 0 , 1 , llavors

f (2) − p(2) =

f (3)(ζ) 3!

(2 − (−1))(2 − 0)(2 − 1) = f (3)(ζ)

on ζ està entre -1 i 2. Com f (3)(x) = 2^3 e^2 x , tenim que per a x ∈ (− 1 , 2) , |f (3)(x)| ≤ 8 e^4 = M 3_. Per tant en aquest cas la cota de l’error és_ 8 e^4_._

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

2.3. Exercicis 13

11. Si dividim l’interval [-3,3] en deu parts iguals i calculem el polinomi inter- polador p(x) corresponent a la funció f (x) = e^2 x^ en els 11 punts que el divideixen (comptant els extrems), quina és la cota de |f (0.5) − p(0.5)| que podem donar en termes de les acotacions de les derivades de la funció en l’interval que conté els punts?

Test

1. El valor extrapolat en el punt 2 del polinomi interpolador corresponent a la

taula de valors

x 1 1.1 1. y 0.7 0.81 0. és:

(a) 1.11 (b) 1.39 (c) 1.44 (d) Cap dels valors anteriors.

2. Si f (x) = 4x − 5 x^4 quin és el valor de la diferència dividida f [− 2 , − 1 − 0 , 1 , 2]? (a) 1 (b) 0 (c) -1 (d) Cap dels valors anteriors.
3. Per a j = 0, 1 , 2 , 3 , 4 considerem els punts xj = j i els corresponents

polinomis de Lagrange lj(x). Quin és el valor de la suma

∑^4

j=

j lj(5)?

(a) 0 (b) 5 (c) 10 (d) Cap dels valors anteriors.

4. Si dividim l’interval [0,2] en 5 parts iguals i calculem el polinomi interpolador p(x) corresponent a la funció f (x) = sin(3x) en els 6 punts que el divi- deixen (comptant els extrems), quina és la cota de |f (1) − p(1)| que podem donar en termes de les acotacions de les derivades de la funció en l’interval que conté els punts? (a) 0.01123 (b) 0.01253 (c) 0.01458 (d) Cap dels valors anteriors.

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

14 Interpolació polinomial

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

16 Derivació numèrica

Utilitzant la fórmula de Taylor amb x = a + h i x 0 = a tenim

f (a + h) = f (a) + f ′(a)h +

f ′′(z) 2!

h^2

, i per tant

f ′(a) =

f (a + h) − f (a) h

f ′′(z) 2!

h

amb z ∈ [a, a + h]. L’error teòric que cometem a l’utilitzar la fórmula és

error de truncament = Etrun = f ′(a) −

f (a + h) − f (a) h

f ′′(z) 2!

h.

Per exemple, si f (x) =

x, a = 5 i h = 0. 03 tindrem f ′(x) =

x

f ′′(x) =

x^3

, i

z^3

1. 03 , Etrun =

z^3

Falta ara considerar l’error d’arrodoniment degut a la precisió de la màquina o bé a que només disposem dels valors de la funció arrodonits a unes quantes xifres decimals. Posem f (a + h) = [f (a + h)]arr + ǫarr(a + h) on ǫarr(a + h) és l’error d’arrodiment que cometem al obtenir el valor numèric de f (a + h). De forma anàloga és té f (a) = [f (a)]arr + ǫarr(a). Per tant ∣ ∣ ∣ ∣f^

′(a) − [f^ (a^ +^ h)]arr^ −^ [f^ (a)]arr h

ǫarr(a + h) − ǫarr(a) h

f ′′(z) 2!

h

Si treballem ara amb arrodoniments a la k−èssima xifra decimal els valors ab- soluts de ǫarr(a + h) i ǫarr(a) estan acotats per ǫk = 0. 5 ·!0−k. Així doncs, ∣ ∣ ∣ ∣f^

′(a) − [f^ (a^ +^ h)]arr^ −^ [f^ (a)]arr h

∣ ≤^

2 ǫk h

M 2

h,

on M 2 és una cota de la segona derivada. El terme 2 ǫ hk és una cota de l’error

d’arrodoniment i

M 2

h és una cota de l’error de truncament.

Observem que la cota de l’error

2 ǫk h

M 2

h és molt gran si h és propera a 0

o a +∞.

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-

3.1. Fórmules de derivació numèrica 17

Per tant quan es vol utilitzar la fórmula és convenient triar h de forma que

aquesta cota sigui mínima, és a dir busanct el mínim de la funció g(h) =

2 ǫk h

M 2

h.

Resolent l’equació g′(h) = 0 tenim h =

4 ǫk M 2 que seria el valor de^ h^ òptim en funció de la cota de l’error obtinguda.

Es a dir, si una calculadora treballa amb una precisió de 10 xifres decimals probablement triant h = 10 −^5 s’obtindrà més precisió que triant h = 10 −^8 (veure l’exemple 1.1.0.1 del capítol d’errors).

Mètode programable per estudiar fórmules de derivació.

Anem ara a veure una forma estructurada d’estudiar aquestes fórmules de derivació.

Utilitzant les fórmules de Taylor, construïm la següent taula de coeficients dels corresponents desenvolupament de Taylor de f en el punt a.

f (a) f ′(a)h

f ′′(a) 2!

h^2

f (3)(a) 3!

h^3

f (4)(a) 4!

h^4

f (5)(a) 5!

h^5 · · · f (a + 2h) 1 2 4 8 16 32 · · · f (a + h) 1 1 1 1 1 1 · · · f (a) 1 0 0 0 0 0 · · · f (a − h) 1 -1 1 -1 1 -1 · · · f (a − 2 h) 1 -2 4 -8 16 -32 · · ·

Multiplicant les files pels coeficients que apareixen en la fórmula a estudiar i sumant obtindrem el desenvolupament del numerador.

coef f (a) f ′(a)h

f ′′(a) 2!

h^2

f (3)(a) 3!

h^3

f (4)(a) 4!

h^4

f (5)(a) 5!

h^5 · · · 0 f (a + 2h) 0 0 0 0 0 0 · · · 1 f (a + h) 1 1 1 1 1 1 · · · -1 f (a) -1 0 0 0 0 0 · · · 0 f (a − h) 0 0 0 0 0 0 · · · 0 f (a − 2 h) 0 0 0 0 0 0 · · · 0 Suma 0 1 1 - - - · · · 2 Sum.val.abs - - 1 - - -

En la fila Suma cal fer els càlculs fins que és trobin 2 valors diferents de 0. En la fila Sum. val. abs. també només cal calcular el primer valor i el corresponent al segon número diferent de 0 en la fila Suma.

De la fila de la Suma obtenim

f (a + h) − f (a) = f ′(a)h +

f ′′(z) 2!

h^2

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

3.1. Fórmules de derivació numèrica 19

Restant les dues expressions i dividint per 2 h obtenim

f ′(a) =

f (a + h) − f (a − h) 2 h

f ′′′(z 1 ) + f ′′′(z 2 ) 12

h^2.

El darrer terme serà l’error de truncament, pel qual triant M 3 > max{|f ′′′(x)|; a− h 0 ≤ x ≤ a + h 0 } per a 0 < h ≤ h 0 , es té l’acotació

|Etrun| ≤

M 3

h^2.

Procedint com en el primer cas, per a l’error d’arrodoniment tidrem la cota

|Earr| =

εk(a + h) − εk(a − h) 2 h

∣ ≤^

ǫk h

Finalment, agrupant els errors es té

E(h, ǫk, M 3 ) =

ǫk h

M 3

h^2 ,

que, per a ǫk i M 3 fixats, pren el seu valor mínim quan hopt =

3 ǫk M 3. Utilitzant el mètode abreujat, tenim:

coef f (a) f ′(a)h

f ′′(a) 2!

h^2

f (3)(a) 3!

h^3

f (4)(a) 4!

h^4

f (5)(a) 5!

h^5 · · · 0 f (a + 2h) 0 0 0 0 0 0 · · · 1 f (a + h) 1 1 1 1 1 1 · · · 0 f (a) 0 0 0 0 0 0 · · · -1 f (a − h) -1 1 -1 1 -1 1 · · · 0 f (a − 2 h) 0 0 0 0 0 0 · · · 0 Suma 0 2 0 2 - - · · · 2 Sum.val.abs - - - 2 - - Per tant per a h petit,

f (a + h) − f (a − h) ≈ 2 f ′(a)h,

amb

|Earr| ≤

2 ǫk 2 h

ǫk h

, |Etrun| ≤

2 M 3 h^3 3! 2 h

M 3

h^2.

Per tant l’ordre de l’error és 2, és a dir la cota de l’error de truncament és de l’ordre de h^2.

3.1.4 Fórmula per a la segona derivada:

f ′′(a) =

f (a + h) + f (a − h) − 2 f (a) h^2

, h > 0.

Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-2005 2 de desembre de 2005

20 Derivació numèrica

Utilitzant les formules de Taylor

f (a + h) = f (a) + f ′(a)h +

f ′′(a) 2!

h^2 +

f ′′′(a) 3!

h^3 +

f (4)(z 1 ) 4!

h^4

f (a − h) = f (a) − f ′(a)h +

f ′′(a) 2!

h^2 −

f ′′′(a) 3!

h^3 +

f (4)(z 2 ) 4!

h^4

Obtenim

f ′′(a) =

f (a + h) + f (a − h) − 2 f (a) h^2

f (4)(z 1 ) + f (4)(z 2 ) 24

h^2.

Anàlogament als casos anteriors, triant M 4 > max{|f [(4)(x)|; a − h 0 ≤ x ≤ a + h 0 } per a 0 < h ≤ h 0 , es tenen les acotacions

|Earr| ≤

4 ǫk h^2

, |Etrun| ≤

M 4

h^2 ,

i per tant

E(h, ǫk, M 4 ) =

4 ǫk h^2

M 4

h^2

que per a ǫk i M 4 fixats és mínim quan h = hopt = 4

48 ǫk M 4

Utilitzant el mètode abreujat, tenim:

coef f (a) f ′(a)h

f ′′(a) 2!

h^2

f (3)(a) 3!

h^3

f (4)(a) 4!

h^4

f (5)(a) 5!

h^5 · · · 0 f (a + 2h) 0 0 0 0 0 0 · · · 1 f (a + h) 1 1 1 1 1 1 · · · -2 f (a) -2 0 0 0 0 0 · · · 1 f (a − h) 1 -1 1 -1 1 -1 · · · 0 f (a − 2 h) 0 0 0 0 0 0 · · · 0 Suma 0 0 2 0 2 - · · · 4 Sum.val.abs - - - - 2 - Procedint com en els casos anteriors és té

f (a + h) + f (a − h) − 2 f (a) ≈ 2

f ′′(a) 2!

h^2 ,

i les cotes dels errors correponents.

2 de desembre de 2005 Matemàtiques II (Química) - Curs 2004-