¡Descarga Polinomios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
´INDICE
- POLINOMIOS
- 7.1. DEFINICIONES
- 7.2. SUMA Y MULTIPLICACI ON DE POLINOMIOS´
- 7.3. TEOREMA DEL RESTO
- 7.4. N UMERO DE RA´ ´ICES DE UNA ECUACI ON´
- 7.5. RA´ICES RACIONALES
- 7.6. NATURALEZA DE LAS RA´ICES
- 7.7. ALGUNAS AYUDAS PARA ENCONTRAR RA´ICES
- CI ON´ 7.8. RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RA´ICES DE UNA ECUA-
- 7.9. FRACCIONES RACIONALES
- 7.9.1. Fracciones racionales
- 7.9.2. Suma y Multiplicaci´on en K[x] × {K[x] − { 0 }}
- 7.10. FRACCIONES PARCIALES
- 7.10.1. Aplicaci´on en C[x]
- 7.10.2. Aplicaci´on en R[x]
- 7.11. EJERCICIOS PROPUESTOS
CAP´ITULO 7
POLINOMIOS
7.1. DEFINICIONES
Definici´on 7.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresi´on del tipo
p(x) =
∑^ ∞
i=
aixi^ = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn^ + · · · ; ai, x ∈ K; n ∈ N ∪ { 0 }
donde todos los coeficientes ai son nulos, excepto una cantidad finita de ellos.
Notaci´on 7.1.1. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coefi- cientes en K lo denotamos K[x].
Definici´on 7.1.2. Sea
p(x) =
∑^ ∞
i=
aixi^ ∈ K[x],
definimos el grado de p(x), denotado ∂(p(x)), como aquel m ∈ N ∪ { 0 } tal que am es el ultimo coeficiente no nulo.´
Ejemplo 7.1.1.
- Si p(x) = 2 + 3x − 5 x^2 entonces ∂(p(x)) = 2.
- Si p(x) = 2x entonces ∂(p(x)) = 1.
- Si p(x) = 5 entonces ∂(p(x)) = 0.
- El polinomio nulo no tiene grado.
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 137
Soluci´on.
d 2 =
∑^2
k=
akb 2 −k
= a 0 b 2 − 0 + a 1 b 2 − 1 + a 2 b 2 − 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 = 0 · 2 + 3 · 5 + (−2) · (−2) = 19.
Notemos que r(x) = 8x^5 + (20 − 4)x^4 + (− 8 − 10 − 6)x^3 + (4 + 15)x^2 + (−6)x.
Teorema 7.2.1. Algoritmo de Euclides. Sean p(x), q(x) ∈ R[x], q(x) ̸= 0, entonces existen s(x), r(x) ∈ R[x], ´unicos, tal que p(x) = q(x) · s(x) + r(x) donde r(x) = 0 ∨ ∂(r) < ∂(q).
Observaci´on 7.2.2. Al polinomio s(x) lo llamamos cuociente y al polinomio r(x) lo llama- mos resto.
Ejemplo 7.2.3. Sea p(x) = x^3 + 2x^2 − 3 x − 4 , q(x) = x − 2 ∈ R[x]. Determine el resto y el cuociente que se produce al dividir p(x) por q(x).
Soluci´on. x^3 + 2x^2 − 3 x − 4 : x − 2 = x^2 + 4x + 5 ∓x^2 ± 2 x^2 4 x^2 − 3 x − 4 ∓ 4 x^2 ± 8 x 5 x − 4 ∓ 5 x ± 10 6
Hemos obtenido s(x) = x^2 +4x+5, r(x) = 6 de donde podemos escribir x^3 +2x^2 − 3 x−4 = (x^2 + 4x + 5)(x − 2) + 6 o equivalentemente
x^3 + 2x^2 − 3 x − 4 x − 2
= x^2 + 4x + 5 +
x − 2
Observaci´on 7.2.3. Cuando el polinomio divisor es de la forma x − a podemos efectuar la divisi´on mediante “divisi´on sint´etica”, m´etodo que mostramos con el desarrollo del mismo problema anterior, tenemos 1 2 − 3 − 4 2 2 8 10 1 4 5 | 6
Note que el cuociente es s(x) = x^2 + 4x + 5 y el resto es r(x) = 6.
138 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
7.3. TEOREMA DEL RESTO
Definici´on 7.3.1. a ∈ R es un cero de p(x) ∈ R[x] o ra´ız de la ecuaci´on p(x) = 0 si y s´olo si p(a) ≡ 0.
Ejemplo 7.3.1. a = − 3 es ra´ız de p(x) = x^2 + x − 6 = 0 ya que
p(−3) = (−3)^2 + (−3) − 6 ≡ 0.
Teorema 7.3.1. Teorema del resto. Si p(x) ∈ R[x] y a ∈ R entonces el resto que se produce al dividir p(x) por x − a es p(a).
Demostraci´on. Por el Algoritmo de Euclides tenemos p(x) = (x − a)s(x) + r(x) donde r(x) = 0 ´o ∂(r(x)) < ∂(x − a) = 1; esto nos indica que en cualquier caso el resto es una constante, es decir r(x) = r = cte, as´ı p(x) = (x − a)s(x) + r; es inmediato concluir que p(a) = (a − a)s(a) + r = r.
Ejemplo 7.3.2. Si p(x) = x^30 − 1 , q(x) = x − 1 entonces al dividir p(x) por q(x) = x − 1 el resto que se produce es r = p(1) = 1^30 − 1 = 0, de donde, la divisi´on es exacta.
Ejemplo 7.3.3. Determine k ∈ ℜ para que:
a) p(x) = 2x^3 + kx^2 − 3 x − 4 sea divisible (exactamente) por x + 1. b) p(x) = x^4 + 2x^3 − 3 x^2 + kx − 7 sea divisible por x − 2 y tenga resto 3.
Soluci´on.
a) Se debe cumplir que p(−1) = 0. Como p(−1) = −2 + k + 3 − 4 = 0 entonces k = 3. b) Se debe cumplir que p(2) = 3. Como p(2) = 16 + 16 − 12 + 2k − 7 = 3 entonces k = −5.
Ejemplo 7.3.4. Sean 1 y 5 el resto que se produce al dividir p(x) ∈ R[x] por x + 2 y x − 3 respectivamente. Determine el resto que se produce al dividir p(x) por el producto (x + 2)(x − 3).
Soluci´on. Usando el Algoritmo de Euclides tenemos que p(x) = (x + 2)(x − 3)q(x) + r(x) donde el resto r(x) debe ser a lo m´as de grado 1; sea r(x) = ax + b entonces p(x) = (x + 2)(x − 3)q(x) + (ax + b), debemos determinar a, b ∈ R. Como p(−2) = 1 y p(3) = 5 entonces el sistema que se produce es { − 2 a + b = 1 3 a + b = 5
de donde, resolviendo obtenemos a = 45 , b = 135 , as´ı, el resto que se produce al dividir p(x) por (x + 2)(x − 3) es r(x) = 45 x + 135.
140 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Teorema 7.4.2. La ecuaci´on polinomial
p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0, an ̸= 0
tiene, exactamente n ra´ıces.
Demostraci´on. Por el TFA, la ecuaci´on planteada tiene al menos una ra´ız, sea ella r 1 ; entonces x − r 1 es factor de p(x), de donde p(x) = (x − r 1 )q 1 (x) = 0, con q 1 (x) de grado tal que el coeficiente de xn−^1 es an. Aplicando el TFA a
q 1 (x) = an− 1 xn−^1 + bn− 2 xn−^2 + · · · + b 1 x + b 0 = 0,
afirmamos que existe al menos una ra´ız, sea ella x = r 2 , as´ı, q 1 (x) = (x − r 2 )q 2 (x) de donde p(x) = (x − r 1 )(x − r 2 )q 2 (x) = 0. Si repetimos el proceso obtenemos p(x) = an(x − r 1 )(x − r 2 ) · · · (x − rn) = 0, de donde r 1 , r 2 ,... , rn son ra´ıces de la ecuaci´on. Demostraremos ahora que esas ra´ıces son las ´unicas; supongamos que r es otra ra´ız de p(x) = 0, entonces deber´ıa cumplirse que p(r) = 0, sin embargo esto ´ultimo no es cierto ya que p(r) = an(r − r 1 )(r − r 2 ) · · · (r − rn) ̸= 0.
Nos debe motivar el determinar las ra´ıces de una ecuaci´on polinomial, el siguiente teorema nos ayuda en tal intento.
7.5. RA´ICES RACIONALES
Teorema 7.5.1. Si una fracci´on irreducible (^) dc ∈ Q es ra´ız de la ecuaci´on
p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0; an ̸= 0,
entonces c es divisor de a 0 (c|a 0 ) y d es divisor de an(d|an ).
Demostraci´on. Como (^) dc ∈ Q es ra´ız de la ecuaci´on
p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0
entonces p
( (^) c d
p
( (^) c d
= 0 ⇒ an
( (^) c d
)n
( (^) c d
)n− 1
( (^) c d
⇒ an cn dn^
- an− 1 cn−^1 dn−^1
- · · · + a 1 c d
- a 0 = 0 / dn^ ̸= 0 ⇒ ancn^ + an− 1 cn−^1 d + · · · + a 1 cdn−^1 + a 0 dn^ = 0 (7.1) ⇒ an− 1 cn−^1 d + · · · + a 1 cdn−^1 + a 0 dn^ = −ancn.
Como d divide la primer lado de la igualdad anterior entonces d divide a −ancn, y dado que d no divide a c entonces d debe dividir a an.
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 141
An´alogamente, de (7.1) tenemos
ancn^ + an− 1 cn−^1 d + · · · + a 1 cdn−^1 = −a 0 dn,
de lo cual concluimos que c debe dividir a a 0.
Observaci´on 7.5.1.
- El Teorema nos entrega las posibles ra´ıces racionales de la ecuaci´on.
- Usando la contrapositiva concluimos que si d no divide a an ´o c no divide a a 0 entonces cd no es ra´ız de la ecuaci´on.
Ejemplo 7.5.1. Resuelva la ecuaci´on p(x) = 2x^4 − x^3 − 11 x^2 + 4x + 12 = 0.
Soluci´on. Las posibles ra´ıces racionales de la ecuaci´on son cd donde c| 12 y d| 2. Como c ∈ {± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 } y d ∈ {± 1 , ± 2 } entonces las posibles ra´ıces racio- nales son c d
Ahora debemos determinar, por reemplazo, alguna ra´ız.
Como p(1) = 6 ̸= 0 entonces x = 1 no es ra´ız de la ecuaci´on.
Como p(−1) = 2 + 1 − 11 − 4 + 12 = 0 entonces x = −1 es ra´ız de la ecuaci´on, as´ı entonces
p(x) = 2x^4 − x^3 − 11 x^2 + 4x + 12 = (x + 1)s(x);
este polinomio s(x) lo podemos determinar por divisi´on sint´etica; tenemos
2 − 1 − 11 4 12 − 1 − 2 3 8 − 12 2 − 3 − 8 12 | 0
de donde s(x) = 2x^3 − 3 x^2 − 8 x + 12, as´ı
p(x) = 2x^4 − x^3 − 11 x^2 + 4x + 12 = (x + 1)(2x^3 − 3 x^2 − 8 x + 12) = 0.
Repetimos el proceso para la ecuaci´on s(x) = 2x^3 − 3 x^2 − 8 x + 12 = 0, las posibles ra´ıces racionales son
c d
y obtenemos s(2) = 16− 12 −16+12 = 0, de donde s(x) = 2x^3 − 3 x^2 − 8 x+12 = (x−2)m(x), este m(x) lo obtenemos por divisi´on sint´etica, tenemos,
2 − 3 − 8 12 2 4 2 − 12 2 1 − 6 | 0
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 143
Si denotamos por A a la suma algebraica de los n´umeros reales y por Bi a la suma algebraica de los n´umeros imaginarios entonces p(z) = 0 se puede escribir como A+Bi = 0, de donde A = B = 0. Si ahora analizamos p(¯z) las potencias pares de −bi tienen el mismo valor que las potencias pares de bi y las potencias impares de −bi s´olo diferir´an de las potencias impares de bi en el signo, as´ı p(¯z) = A − Bi; como A = B = 0 entonces p(¯z) = 0, por lo cual z¯ = a − bi tambi´en es ra´ız de la ecuaci´on p(x) = 0.
Ejemplo 7.6.1. Si x = 1 + i es ra´ız de la ecuaci´on p(x) = x^3 − 4 x^2 + 6x − 4 = 0 determine las otras ra´ıces de la ecuaci´on.
Soluci´on. Como x = 1 + i es ra´ız de la ecuaci´on entonces x = 1 − i tambi´en es ra´ız de la ecuaci´on, as´ı x − (1 + i) y x − (1 − i) son factores de p(x), en consecuencia podemos escribir p(x) = x^3 − 4 x^2 + 6x − 4 = (x − (1 + i))(x − (1 − i))q(x) = 0. Como (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = x^2 − 2 x + 2 entonces el polinomio se puede escribir como x^3 − 4 x^2 + 6x − 4 = (x^2 − 2 x + 2)q(x), de donde q(x) = x (^3) − 4 x (^2) +6x− 4 x^2 − 2 x+2 =^ x^ −^ 2. Tenemos p(x) = (x − (1 + i))(x − (1 − i))(x − 2) = 0, por lo tanto las ra´ıces pedidas son x = 1 + i, x = 1 − i, x = 2.
Ejemplo 7.6.2. Determine a, b ∈ R para que p(x) = x^4 + 2x^3 + ax + b = 0 tenga ra´ız z = 1 + i.
Soluci´on. Si z = 1+i es ra´ız de p(x) = 0 entonces ¯z = 1−i tambi´en es ra´ız, as´ı, x−(1+i) y x − (1 − i) son factores de p(x), es decir, p(x) = (x − (1 + i))(x − (1 − i))s(x); como (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = x^2 − 2 x + 2 entonces p(x) = (x^2 − 2 x + 2)s(x). Al dividir x^4 + 2x^3 + ax + b por x^2 − 2 x + 2 el resto que se produzca debe ser igual a cero y, all´ı obtenemos la ecuaci´on para determinar a, b ∈ R pedidos; tal resto es (12 + a − 8)x + (b − 12), as´ı, (a + 4)x + (b − 12) = 0, de donde a = −4, b = 12.
Este problema tambi´en podemos resolverlo usando la teor´ıa de n´umeros complejos; tenemos que, como z = 1 + i es ra´ız de p(x) = x^4 + 2x^3 + ax + b = 0 entonces se cumple
(1 + i)^4 + 2(1 + i)^3 + a(1 + i) + b = 0 + 0i,
calculemos las potencias all´ı se˜naladas, usando De Moivre, tenemos:
(1 + i)^4 =
[√
2(cos(45◦) + i sen(45◦))
] 4
= 4(cos(180◦) + i sen(180◦)) = 4(−1 + 0i) = − 4 ,
(1 + i)^3 =
[√
2(cos(45◦) + i sen(45◦))
] 3
2(cos(135◦) + i sen(135◦))
= 2
= −2 + 2i,
144 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
as´ı, la ecuaci´on queda −4 + 2(−2 + 2i) + a(1 + i) + b = 0 + 0i, de aqu´ı concluimos { − 4 − 4 + a + b = 0 4 + a = 0
es decir, a = −4, b = 12.
Ejemplo 7.6.3. Sea p(x) = x^4 − 3 x^3 + 5x^2 − 27 x − 36 ∈ C[x] tal que bi, b ̸= 0 es ra´ız de p(x) = 0; determine las otras ra´ıces de la ecuaci´on.
Soluci´on. En primer lugar debemos determinar el valor de b. Como bi es ra´ız de p(x) = 0 entonces (bi)^4 − 3(bi)^3 + 5(bi)^2 − 27(bi) − 36 = 0, de esto concluimos que b^4 i^4 − 3 b^3 i^3 + 5b^2 i^2 − 27 bi − 36 = 0 + 0i, as´ı, podemos deducir el siguiente sistema (^) { b^4 − 5 b^2 − 36 = 0 3 b^3 − 27 b = 0
de la segunda ecuaci´on obtenemos 3b(b^2 − 9) = 0; como b ̸= 0 entonces b^2 − 9 = 0 de donde b = ±3.
Para cualquiera que sea el valor de b concluimos que 3i y − 3 i son ceros de p(x), as´ı, p(x) = (x − 3 i)(x + 3i)s(x).
Como (x − 3 i)(x + 3i) = x^2 + 9 entonces el cuociente s(x) se obtiene dividiendo p(x) por x^2 + 9; tal s(x) es s(x) = x^2 − 3 x − 4, de donde p(x) = (x − 3 i)(x + 3i)(x^2 − 3 x − 4), resolviendo la ecuaci´on x^2 − 3 x − 4 = 0 conseguimos x = 4, x = −1. Las ra´ıces de p(x) = 0 son: 3i, − 3 i, 4, −1.
7.7. ALGUNAS AYUDAS PARA ENCONTRAR RA´ICES
Cota superior de las ra´ıces
Si en la ecuaci´on polinomial
p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0,
con coeficientes reales se cumple que an > 0, el primer coeficiente negativo esta precedido por r coeficientes positivos o nulos y si ak es el coeficiente negativo de mayor valor absoluto entonces cada ra´ız α de la ecuaci´on es menor que
1 + r
|ak| an
Ejemplo 7.7.1. En la ecuaci´on real
p(x) = x^5 + 2x^4 − 18 x^3 − 8 x^2 + 41x + 30 = 0
tenemos que r = 3, ak = − 18 , an = 1, as´ı, toda ra´ız α es tal que
α < 1 + 2
146 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Para decidir cuales de las posibles ra´ıces racionales son, en definitiva, ra´ıces racionales de la ecuaci´on debemos verificar si m(x) = 0 donde m(x) = 3x^3 + 11x^2 + 8x − 4.
Al verificar, detectamos que m(−2) = 0, as´ı, −2 es ra´ız de la ecuaci´on, es decir, x + 2 es factor de p(x) entonces, 3x^3 + 11x^2 + 8x − 4 = (x + 2)s(x); debemos determinar el cuociente s(x), lo cual lo realizamos por divisi´on sint´etica, tenemos,
3 11 8 − 4 − 2 − 6 − 10 4 3 5 − 2 | 0
El polinomio buscado es s(x) = 3x^2 + 5x − 2 de donde, el polinomio m(x) es m(x) = (x + 2)(3x^2 + 5x − 2) y la ecuaci´on es m(x) = (x + 2)(3x^2 + 5x − 2) = 0.
Si resolvemos la ecuaci´on 3x^2 + 5x − 2 = 0 obtenemos x = 13 , x = −2 as´ı,
3 x^3 + 11x^2 + 8x − 4 = (x + 2)
x −
(x + 2),
de donde las ra´ıces de la ecuaci´on son x = −2 de multiplicidad 2 y x = 13.
Observaci´on 7.7.1.
- Si s´olo intent´aramos ubicar las posibles ra´ıces por simple verificaci´on entonces la ra´ız de multiplicidad 2 no la habr´ıamos detectado.
- Notemos que la Regla de los signos de Descartes nos indica que “el n´umero de ra´ıces positivas de la ecuaci´on m(x) = 3x^3 + 11x^2 + 8x − 4 = 0 es el n´umero de variaciones de signo de m(x) o ese n´umero disminuido en un n´umero par”, como el n´umero de variaciones de signos de m(x) es 1 entonces el n´umero de ra´ıces positivas es 1; por otro lado “el n´umero de ra´ıces negativas de la ecuaci´on m(x) = 3x^3 + 11x^2 + 8x − 4 = 0 es el n´umero de variaciones de signo de m(−x) o ese n´umero disminuido en un n´umero par”, como m(−x) = − 3 x^3 + 11x^2 − 8 x − 4 entonces el n´umero de variaciones de signo es 2 y la cantidad de ra´ıces negativas de la ecuaci´on es 2 o ninguna. Dado que el numero de ra´ıces de la ecuaci´on es 3 entonces la posible multiplicidad de las ra´ıces es: 1 ra´ız positiva y 2 negativas o 1 ra´ız positiva, 0 ra´ız negativa y 2 ra´ıces complejas; en definitiva se obtuvo la primera opci´on.
M´etodo de Aproximaciones Sucesivas
Es posible que, a veces, una ecuaci´on polinomial no tenga ra´ıces racionales, por ejemplo, la ecuaci´on p(x) = x^3 + x − 4 = 0 tiene como posibles ra´ıces racionales en el conjunto {± 1 , ± 2 , ± 4 } y ninguna de ellas, en definitiva, es ra´ız. Por otro lado, la regla de las variaciones de signo nos indica que la ecuaci´on tiene una ra´ız real positiva y dos ra´ıces complejas. ¿C´omo obtenemos la ra´ız real, siendo esta una ra´ız irracional?.
Para obtener, por aproximaci´on, la ra´ız real positiva, debemos acotarla por dos enteros consecutivos; como p(1) = −2 y p(2) = 6 entonces la ra´ız pedida esta entre 1 y 2.
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 147
Un m´etodo puede ser el de determinar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) que es de la forma ax + by + c = 0 y determinar el valor de la variable x cuando y = 0. El proceso se repite las veces necesarias.
7.8. RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RA´ICES DE UNA
ECUACI ´ON
En la ecuaci´on polinomial
anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0, an ̸= 0,
se cumple la siguiente relaci´on entre los coeficientes ai, i = 0, 1 , 2 ,... , n y las n ra´ıces ri,
− an− 1 an
= suma de las ra´ıces de la ecuaci´on an− 2 an = suma de los dobles productos de las ra´ıces
−
an− 3 an = suma de los triples productos de las ra´ıces .. . (−1)n^
a 0 an = producto de las ra´ıces
Ejemplo 7.8.1. Determine k ∈ R en la ecuaci´on x^3 − 7 x + k = 0 para que una de sus ra´ıces sea el doble de otra de ellas.
Soluci´on. Sean a, b, 2 b las ra´ıces con la condici´on impuesta, entonces se cumple,
a + b + 2b = −
= 0 ; ab + 2ab + 2b^2 =
= − 7 ; 2 ab^2 = − k 1
= −k.
El sistema que debemos resolver es
(1) a + 3b = 0 (2) 3 ab + 2b^2 = − 7 (3) 2 ab^2 = −k
De (1) obtenemos a = − 3 b, reemplazando en (2) conseguimos − 9 b^2 + 2b^2 = −7, as´ı, b = ±1. Si reemplazamos estos valores en (1) entonces,
b = 1 ⇒ a = −3 de donde, en (3) obtenemos −k = 2(−3)1^2 = −6, as´ı, k = 6.
b = − 1 ⇒ a = 3 de donde, en (3) obtenemos −k = 2(3)(−1)^2 = −6, as´ı, k = −6.
Para k = 6 y k = −6 se produce lo pedido. Usted puede verificar que
Si k = 6, entonces la ecuaci´on es x^3 − 7 x + 6 = 0, con ra´ıces 1, −3, 2.
Si k = −6, entonces la ecuaci´on es x^3 − 7 x − 6 = 0, con ra´ıces −1, 3, −2.
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 149
Al elemento (f (x), g(x)), representante de una clase de equivalencia lo denotamos por f (x) g(x) , entonces f (x) g(x)
a(x) b(x) ⇔ f (x)b(x) = g(x)a(x).
7.9.2. Suma y Multiplicaci´on en K[x] × {K[x] − { 0 }}
Definici´on 7.9.1. En K[x] × {K[x] − { 0 }} definimos las operaciones suma y multiplica- ci´on por
f (x) g(x)
a(x) b(x)
f (x)b(x) + g(x)a(x) g(x)b(x) f (x) g(x)
a(x) b(x)
f (x)a(x) g(x)b(x)
Observaci´on 7.9.1. Es f´acil verificar que (K(x), +, ·) es un cuerpo; el elemento neutro para la adici´on es la fracci´on racional nula, denotada por 0, que es la clase de equivalencia del par (^) g(^0 x) donde g(x) ̸= 0; el elemento neutro para la multiplicaci´on, llamada fracci´on
racional unitaria y denotada por 1 es la clase de equivalencia de los pares g g((xx)) donde g(x) ̸= 0.
Teorema y Definici´on
Para cada fracci´on racional de K(x) existe un representante f g^ ((xx)) tal que los polinomios f (x), g(x) son primos entre si. Todo otro representante con esta propiedad es de la forma cf (x) cg(x) donde^ c^ ∈^ K(x)^ − {^0 }^ es polinomio constante. Este representante ´unico, f g^ ((xx)) se llama la forma irreducible de la fracci´on racional.
7.10. FRACCIONES PARCIALES
Definici´on 7.10.1. Sea f g^ ((xx)) ∈ K(x) − { 0 }, definimos el grado de f g^ ((xx)) , denotado por
∂
f (x) g(x)
por ∂
f (x) g(x)
= ∂(f (x)) − ∂(g(x)). La fracci´on racional f g^ ((xx)) es propia si ∂
f (x) g(x)
< 0, en caso contrario se dice que es impropia.
Observaci´on 7.10.1. Se puede demostrar que el grado de una fracci´on racional es indepen- diente de la elecci´on del representante de ella.
Teorema 7.10.1. Sean f g^ ((xx)) , a b((xx)) fracciones racionales propias entonces f g^ ((xx)) + a b((xx)) es propia.
150 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Demostraci´on. Usted debe demostrar que ∂
f (x) g(x) +^
a(x) b(x)
Teorema 7.10.2. Toda fracci´on racional se puede expresar, de manera ´unica, como la suma de un polinomio y una fracci´on propia o la fracci´on nula.
Demostraci´on. Sea f g^ ((xx)) ∈ K(x), como g(x) ̸= 0 aplicamos el algoritmo de la divisi´on a f (x) y g(x) obteniendo f (x) = e(x) · g(x) + r(x) donde
r(x) =
∂(r(x)) < ∂(g(x))
es inmediato concluir que f g^ ((xx)) = e(x) + r g((xx)) tal que e(x) ∈ K[x] y ∂
r(x) g(x)
< 0; el
polinomio e(x) se llama la parte entera de la fracci´on racional f g^ ((xx)).
Veamos ahora la unicidad. Supongamos que f g^ ((xx)) = e 1 (x) + r g^1 ((xx)) donde
r 1 (x) =
∂(r 1 (x)) < ∂(g(x))
Si e(x) ̸= e 1 (x) entonces
∂(e(x) − e 1 (x)) = ∂
r(x) g(x)
r 1 (x) g(x)
lo que es una contradicci´on, as´ı, e(x) = e 1 (x) y consecuentemente r g((xx)) = r g^1 ((xx)).
Teorema 7.10.3. Considere la fracci´on racional propia f g^ ((xx)) ∈ K(x) tal que g(x) = g 1 (x) · g 2 (x) en que los polinomios g 1 (x), g 2 (x) son no nulos y primos entre si, entonces existen polinomios ´unicos f 1 (x), f 2 (x) tal que
f (x) g(x)
f 1 (x) g 1 (x)
f 2 (x) g 2 (x)
donde ∂(f 1 (x)) < ∂(g 1 (x)) y ∂(f 2 (x)) < ∂(g 2 (x)).
Demostraci´on. Como siempre existen polinomios u 1 (x), u 2 (x) tal que 1 = u 1 (x)g 2 (x) + u 2 (x)g 1 (x), entonces f (x) g(x)
f (x)u 1 (x) g 1 (x)
f (x)u 2 (x) g 2 (x)
Denotando por e 1 (x) y e 2 (x) las partes enteras del primer y segundo sumando respec- tivamente tenemos f (x)u 1 (x) g 1 (x) = e 1 (x) +
f 1 (x) g 1 (x)
152 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Observaci´on 7.10.2.
- Estos teoremas indican que la fracci´on racional propia f g^ ((xx)) se ha expresado como suma de fracciones parciales.
- El caso de la fracci´on parcial de la forma (^) [gf(^ (xx)])m , m ∈ N, puede ser susceptible de la descomposici´on f (x) [g(x)]m^
a 1 (x) g(x)
a 2 (x) [g(x)]^2
am(x) [g(x)]m en que ∂(ai(x)) < ∂(gi(x)), i = 1, 2 ,... , n ´o ai(x) = 0.
Demostraci´on. Por inducci´on.
Si m = 1 entonces f g^ ((xx)) = f g^ ((xx)).
Para m = 2 aplicamos el algoritmo de la divisi´on a los polinomios f (x) y g(x) obte- niendo f g^ ((xx)) = a 1 (x) + a g^2 ((xx)) donde ∂(a 2 (x)) < ∂(g(x)), de aqu´ı concluimos que
f (x) [g(x)]^2
a 1 (x) g(x)
a 2 (x) [g(x)]^2
Ya tenemos visto el m´etodo, usted puede completar la inducci´on.
7.10.1. Aplicaci´on en C[x]
Como los ´unicos polinomios irreducibles en C[x] son los polinomios de grado 1 entonces toda fracci´on racional propia f g^ ((xx)) ∈ C[x] se puede decomponer en suma de fracciones parciales de la forma
f (x) g(x)
∑^ m^1
i=
A 1 i (x − a 1 )i^
∑^ mn
i=
Ani (x − an)i
en que A 1 i, A 2 i,... , Ani ∈ C y donde
g(x) = (x − a 1 )m^1 (x − a 2 )m^2 · · · (x − am)mn^ ; m 1 , m 2 ,... , mn ∈ N.
7.10.2. Aplicaci´on en R[x]
En R[x] los ´unicos polinomios irreducibles son los polinomios de grado 1 y los polino- mios cuadr´aticos ax^2 + bx + c donde b^2 − 4 ac < 0. As´ı, toda fracci´on racional f g^ ((xx)) ∈ R[x] se puede descomponer en suma de fracciones parciales de la forma
f (x) g(x)
∑^ m^1
i=
A 1 i (x − a 1 )i^
∑^ mn
i=
Ani (x − an)i
∑^ r^1
j=
B 1 j x + C 1 j (a 1 x^2 + b 1 x + c 1 )j^
∑^ rp
j=
Bpj x + Cpj (apx^2 + bpx + cp)j^
HERALDO GONZ ALEZ SERRANO´ 153
donde
g(x) = (x − a 1 )m^1 · (x − a 2 )m^2 · · · (x − an)mn^ (a 1 x^2 + b 1 x + c 1 )r^1 · · · (apx^2 + bpx + cp)rp
y los coeficientes A 1 i,... , Ani, B 1 j ,... , Bpj , Cij ,... , Cpj son n´umeros reales.
Ejemplo 7.10.1. Exprese como suma de fracciones parciales la fracci´on racional (^) xx 3 +1+x ∈ R[x].
Soluci´on. Como x^3 + x = x
x^2 + 1
y x^2 + 1 es irreducible en R[x] entonces la descom- posici´on es x + 1 x^3 + x
A
x
Bx + C x^2 + 1
Debemos determinar los n´umeros reales A, B, C; multiplicando la ´ultima igualdad por x(x^2 + 1) obtenemos, x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x.
Si x = 0 concluimos 1 = A. Si, por ejemplo, x = 1 entonces 2 = 2A + (B + C), es decir, B + C = 0 con A = 1. Si x = −1 entonces 0 = 2A + (−1)(−B + C) de donde B − C = −2. Resolviendo el sistema formado por las dos ´ultimas ecuaciones obtenemos B = −1, C = 1, de donde x + 1 x^3 + x
x
−x + 1 x^2 + 1
Ejemplo 7.10.2. Exprese como suma de fracciones parciales la fracci´on racional (^) xx 3 +1+x ∈ C(x).
Soluci´on. Como x^3 + x = x(x^2 + 1) = x(x + i)(x − i) entonces
x + 1 x^3 + x
A
x
B
x + i
C
x − i
debemos determinar los n´umeros complejos A, B, C. Al multiplicar la ´ultima expresi´on por x(x + i)(x − i) obtenemos
x + 1 = A(x + i)(x − i) + Bx(x − i) + Cx(x + i).
Si x = 0 entonces 1 = A(−i^2 ) de donde A = 1.
Si x = i entonces 1 + i = Ci(2i), es decir, 1 + i = − 2 C de donde C = 1+ − 2 i.
Si x = −i entonces 1 − i = B(−i)(− 2 i), es decir, 1 − i = − 2 B de donde B = (^1) −− 2 i.
As´ı, x + 1 x^3 + x
x
− 12 + 12 i x + i
− 12 − 12 i x − i
