¡Descarga Calcul tem 3 y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
TEMA 3
L’ESPAI EUCLIDIÀ
n
. FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES
Continguts Pàgina
3.1 L’espai euclidià n
3.1.1.- Definició i estructura algebraica................................. 3.1.2.- Estructura euclidiana......................................... 3.1.3.- Estructura mètrica............................................ 3.1.4.- Boles i intervals............................................. 3.1.5.- Classificació dels punts respecte d’un conjunt...................... 3.1.6.- Conjunts caracteritzables en un espai mètric.......................
3.2 Funcions de diverses variables 3.2.1.- Funcions reals de diverses variables............................. 3.2.2.- Operacions amb funcions reals de diverses variables................ 3.2.3.- Funcions vectorials de diverses variables.......................... 3.2.4.- Operacions amb funcions vectorials de diverses variables............
3.3 Límits de funcions de diverses variables. Propietats 3.3.1.- Límits de funcions reals de dues variables......................... 3.3.2.- Límits de funcions reals de diverses variables...................... 3.3.3.- Límits de funcions vectorials de diverses variables..................
3.4 Continuïtat de funcions de diverses variables. Propietats 3.4.1.- Continuïtat de funcions reals de dues variables..................... 3.4.2.- Continuïtat de funcions de diverses variables......................
3 3 3 4 4 5 6 7 7 8 9
13 13
14 14
Referències
[BU]
[GA]
[ES]
DE BURGOS, Juan. (1995). Cálculo infinitesimal de varias variables. (Ed. McGraw-Hill).
GARCÍA, Alfonsa i altres (2002). Cálculo II. Teoría y Problemas de funciones de varias variables. (Ed. CLAGSA).
ESTELA, M. Rosa i SAÀ, Joel (2008). Cálculo con soporte interactivo en Moodle. (Ed. Pearson – Prentice Hall).
Exemple 1.
M ; d x y ( , ) x y
Exemple 2. 2 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
M d x y x y x y
x x x y y y
Exemple 3.
2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
n
n n n n
M
d x y x y x y x y x y
x x x x y y y y
3.1.4.- Boles i intervals
- Bola oberta de centre a i radi r > 0
( ; ) (^) : ( , )
B a r x n d x a r
Cas n = 1: interval obert. Cas n = 2: cercle obert.
- Bola tancada de centre a i radi r > 0
( ; ) (^) : ( , )
B a r x n d x a r
Cas n = 1: interval tancat. Cas n = 2: cercle tancat.
- Bola punxada de centre a i radi r > 0 :
{ }
B *^ ( ; ) a r = B a r ( ; ) − a
3.1.5.- Classificació dels punts respecte d’un conjunt
Punt interior. Si X Ì n , el punt a X és un punt interior d’aquest conjunt si existeix r > 0 tal
que B ( a ; r ) Ì X.
Interior d’un conjunt : el conjunt de tots els punts que compleixen la propietat de ser interiors d’aquest conjunt.
Notació: l’interior de X es designa per Int( X ) o també
o X. Observeu que es compleix Int( X ) Ì X.
4 Tema 3
Punt adherent. Si X Ì n , el punt a n^ és un punt adherent d’aquest conjunt si per a tot r > 0
es compleix que B ( a ; r ) Ç X Ø.
Adherència d’un conjunt : el conjunt de tots els punts que compleixen la propietat de ser adherents d’aquest conjunt.
Notació: l’adherència de X es designa per Adh( X ) o també X. Observeu que es compleix
Adh( X )É X.
Punt d’acumulació. Si X Ì n , el punt a n^ és un punt d’acumulació d’aquest conjunt si per a
tot r > 0 es compleix que B*^ ( a ; r ) Ç X Ø.
Conjunt derivat : el conjunt de tots els punts que compleixen la propietat de ser d’acumulació d’aquest conjunt. Notació: el conjunt derivat de X es designa per Acum( X ) o també X ´.
Punt frontera. Si X Ì n , el punt a n^ és un punt frontera d’aquest conjunt si és adherent al
conjunt i al seu complementari. És a dir, per a tot r > 0 es compleix que
B a r ( ; ) ∩ X ≠ ∅ i B a r ( ; ) ∩ C ( X )≠ ∅.
Frontera d’un conjunt. S’anomena així el conjunt de tots els punts que compleixen la propietat de ser frontera d’aquest conjunt. Notació: el conjunt frontera de X es designa per Fr( X ) o també ∂ X.
Punt aïllat. Si X Ì n , el punt a X és un punt aïllat d’aquest conjunt si existeix r > 0 tal que
B ( a ; r ) Ç X = { a }.
Notació: el conjunt de punts aïllats de X es designa Aill( X ).
3.1.6.- Conjunts caracteritzables en un espai mètric.
Conjunt obert. Un subconjunt X Ì n^ es diu que és obert si tots els seus punts són interiors del
conjunt, és a dir, si es compleix Int( X ) = X.
Conjunt tancat. Un subconjunt X Ì n^ es diu que és tancat si el seu complementari és obert. En
aquest cas es compleix Adh( X ) = X.
Conjunt acotat (o fitat). Un subconjunt X Ì n^ es diu que és acotat (o fitat ) si existeix r > 0 tal
que X Ì B (0; r ).
Conjunt compacte. Un subconjunt X Ì n^ es diu que és compacte és tancat i acotat.
L’espai euclidià n^. Funcions de diverses variables 5
( )
A x y ( , , λ) e^ λ x^ e λ y , y x 0, λ 0
= −^ − − > > ≠
Exemple (Corbes de nivell). En el cas de funcions reals de dues variables, s’anomena corba de nivell C la corba plana d’equació f ( x , y ) = C. Així, per exemple, les corbes de nivell de la funció
f ( x , y ) = x^2 + y^2 són circumferències de centre l’origen i radi C.
3.2.2.- Operacions amb funcions reals de diverses variables
Es consideren les funcions f : A 1 Ì n^ ® , g : A 2 Ì n^ ® . Es poden definir les operacions
següents:
Suma ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
Dom( f + g ) = A 1 Ç A 2
Producte ( λf )( x ) = λf ( x ) per escalar Dom( λf ) = A 1
Producte ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x )
Dom( f + g ) = A 1 Ç A 2
Quocient
f f x x g x g g x
=^ ≠
Dom( f / g ) ={ x A 1 Ç A 2 , g ( x ) 0 }
3.2.3.- Funcions vectorials de diverses variables.
S’anomena funció vectorial de diverses variables o camp vectorial , qualsevol terna ( A , B , f ) en la
qual A Ì n , B Ì m^ i f és una correspondència entre els dos conjunts, tal que per a tot element
x A existeix un únic element assignat y B.
Notació: f : A Ì n^ ® B o bé
f A → B.
Per expressar una funció vectorial de diverses variables és habitual escriure una equació de la forma
( y 1 , y 2 , ..., y (^) m ) = f ( x 1 , x 2 , ..., x (^) n ), x A Ì n^ o be un sistema d’equacions de la forma
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
n n
m m n
y f x x x y f x x x
y f x x x
^ =
L’espai euclidià n^. Funcions de diverses variables 7
En aquest sistema, les funcions f 1 , f 2 , ..., f (^) m són funcions reals de n variables, anomenades components de la funció f. En aquest sentit, és habitual expressar una funció vectorial de diverses variables explicitant les seves components: f = ( f 1 , f (^) 2 , ..., f (^) m ). Les propietats de la funció es poden relacionar amb les de les seves components.
La terminologia emprada en aquest cas per a domini o camp d’existència, recorregut, conjunt imatge i conjunt antiimatge és anàloga al cas de funcions reals de diverses variables.
Exemple.
- La funció f ( x , y ) =( e x+y , log( xy )) és una funció vectorial de dues variables, tal que f = ( f 1 , f (^) 2 ) amb f 1 ( x , y ) = e x+y , f 2 ( x , y ) = log( xy ).
- La funció F ( x , y , z ) = ( xyz , x^2 z ) és una funció vectorial de tres variables, tal que F = ( F 1 , F (^) 2 ) amb F 1 ( x , y , z ) = xyz , F 2 ( x , y , z ) = x^2 z.
Domini d’una funció vectorial. El domini o camp d’existència d’una funció vectorial f = ( f (^) 1 , f (^) 2 , ..., f (^) m ) es calcula mitjançant la intersecció dels dominis de les funcions components:
Dom( f ) = Dom( f 1 ) ∩ Dom( f 2 ) ∩ ∩Dom( fm )
Així, el domini de la funció f ( x , y ) =( e x+y , log( xy )) és el subconjunt
{ } ( ]^ [^ ]^ [) ( ]^ [^ ]^ [)
A = ( , x y ) ∈ ^2 : xy > 0 = 0, +∞ × 0, +∞ −∞, 0 × −∞, 0
3.2.4.- Operacions amb funcions vectorials de diverses variables
- Funcions f : A 1 Ì n^ ® m , g : A 2 Ì n^ ® m^.
Suma ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ); Dom( f + g ) = A 1 Ç A 2
Producte per escalar ( λf )( x ) = λf ( x ); Dom( λf ) = A 1
- Funcions f : A 1 Ì n^ ® m , g : A 2 Ì m^ ® p.
Composició ( g ◦ f ) ( x ) = g ( f ( x )); Dom( g ◦ f ) = { x A 1, f ( x ) A 2 }
Inversa d’una funció bijectiva. Si una funció f : A Ì n^ ® és bijectiva, es pot definir
l’anomenada funció inversa de ¦, designada ¦ ^1 mitjançant:
1 1
f f A A
y f y x y f x
− −
Es compleixen les igualtats: ¦ -1^ ◦ ¦ = IdA , ¦ ◦ ¦ -1^ = Idf(A).
8 Tema 3
Exemple. Es considera la funció:
2 ( , ) 2 2 , si ( , ) (0, 0) x f x y x y x y
El domini d’aquesta funció és A = ^2 – {(0, 0)} i el punt (0, 0) és un punt d’acumulació de A. Si es
considera el subconjunt W 1 ={( x , y ): y = 2 x } que és una recta, aleshores el límit (direccional) de la funció segons aquest subconjunt en el punt és:
1
2 (^1) (0,0) (0,0) 2 2
lim lim W (2 )^5
x L f x x
D’altra banda, si es considera el subconjunt W 2 ={( x , y ): y = x } que és una recta, aleshores el límit (direccional) de la funció segons aquest subconjunt en el punt és:
2
2 (^2) (0,0) (0,0) 2 2
lim lim W^2
x L f x x
En conclusió, el límit de la funció en el punt (0, 0) no existeix.
Límits reiterats.
Si f : A Ì ^2 ® i ( x 0 , y 0 ) A ´, s’anomenen límits reiterats de la funció en aquest punt, els
límits següents:
Lxy = y lim → y 0 ( lim x → x 0 f ( , x y )); Lyx =lim x → x 0 ( lim y → y 0 f ( , x y ))
Propietats:
- Si existeix el límit de la funció ( 0 , 0 ) L = lim x y f , aleshores qualsevol dels límits reiterats^ que existeixi ha de tenir aquest valor. Tanmateix, podria ser que algun dels límits reiterats no existís malgrat que existeixi el límit de la funció ( 0 , 0 ) lim x y L = f.
- Si els límits reiterats existeixen però són diferents, aleshores el límit de la funció en el punt no existeix.
- Si els límits reiterats existeixen i són iguals, això no implica que el límit de la funció en el punt existeixi.
Exemple. Es considera la funció
2 ( , ) (^2 ) x f x y x y
, si ( x , y ) (0, 0). Aleshores es compleix:
2 0 0 2 2 0 2
xy lim^ lim^ lim^0 y x y
x L → → (^) x y → y
2 2 yx lim x 0 lim y 0 2 2 lim x 0 2 1
x x L → → (^) x y → x
Per tant, el límit
2 (0,0)lim^2
x x + y
no existeix.
Caracterització del límit per successions
10 Tema 3
Si f : A Ì ^2 ® i ( x 0 , y 0 ) A ´, una condició necessària i suficient per a que es compleixi
( 0 , 0 ) lim x y L = f és que per a tota successió ( an )®( x 0 , y 0 ) tal que an A , an ( x 0 , y 0 ), n , es verifiqui
que lim ( f ( a (^) n )) = L. Utilitat d’aquesta propietat: per obtenir un possible valor del límit, que haurà de ser confirmat aplicant la definició.
Exemple. Es considera la funció
2 ( , ) (^2 )
x f x y x y
si ( x , y ) (0, 0).
Si es pren la successió
( an ) , 0 (0, 0) n
^
aleshores
2 2
lim , 0 lim 1 1/ 0
n f n n
^ ^
=^ ^ =
^ +
D’altra banda, si es pren la successió
( bn ) 0, (0, 0) n
^
aleshores
2
lim 0, lim 0 0 1/
f n n
=^ =
^ ^ ^ +
Per tant, el límit
2 (0,0)lim^2
x x + y
no existeix.
Propietats del límit
1) Àlgebra de límits. Si (^1) ( 0 , 0 ) L = lim x y f i^ (^2) ( 0 , 0 ) L = lim x y g aleshores es compleix que:
( ) ( 0 , 0 )^1 lim x y f + g = L + L
( 0 , 0 )^1 lim , per a tot x y l f l L l
( ) ( 0 , 0 )^1 lim x y fg = L L
0 0
1 ( , ) 2 2
lim , si 0 x y
f L L g L
=^ ≠
2) Límit d’un producte important. Si ( 0 , 0 ) lim 0 x y f = i la funció g és fitada en un entorn del punt ( x 0 , y 0 ), aleshores es compleix
( ) ( 0 , 0 ) lim 0 x y fg =.
L’espai euclidià n^. Funcions de diverses variables 11
verificant-se que:
1
(0,0) 2 2 (0,0)^2
lim lim 0
xy
W
e x y y
2
(0,0) 2 2 (0,0)^2
lim lim 0
xy
W
e x y x
3
(0,0)^2
lim 1 0 0
xy
W
e xy xy (^) x y
Per tant, es pot afirmar que (0,0) 2 2
lim 0
e^ xy x y
3.3.2.- Límits de funcions reals de diverses variables
Si f : A Ì n^ ® i x 0 A ´, es diu que la funció té límit L en el punt x 0 si qualsevol que
sigui e > 0 existeix d > 0 tal que per a tot x ( B* ( x 0 ; d )) Ç A es compleix │¦ ( x ) L │< e.
Per a aquestes funcions s’apliquen de manera idèntica els conceptes i propietats estudiades per a funcions reals de dues variables.
3.3.3.- Límits de funcions vectorials de diverses variables
Si f : A Ì n^ ® m^ i x 0 A ´, es diu que la funció té límit L m^ en el punt x 0 si qualsevol que
sigui e > 0 existeix d > 0 tal que per a tot x ( B* ( x 0 ; d )) Ç A es compleix ║¦ ( x ) L ║< e.
Propietat. Si f : A Ì n^ ® m^ i, per tant, es té f = ( f 1 , f 2 , ..., f (^) m ), una condició necessària i
suficient per a que f tingui límit L = ( L 1 , ..., Lm ) m^ en un punt x 0 A ´, és que es compleixi
0
lim (^) i i , 1, 2,..., x f = L i = m.
Per tant, el límit d’una funció vectorial es calcula estudiant els límits de les seves funcions components, les quals són funcions reals de diverses variables, a les que es poden aplicar els conceptes i propietats estudiades.
L’espai euclidià n^. Funcions de diverses variables 13
3.4 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES. PROPIETATS
3.4.1.- Continuïtat de funcions reals de dues variables
Si f : A Ì ^2 ® i ( x 0 , y 0 ) A Ç A ´ i , es diu que la funció és contínua en aquest punt si es
compleix ( 0 , 0 )^0 lim ( , ) x y f = f x y. Si en un punt una funció no és contínua, es diu que és discontínua. Es
diu que f és contínua en X Ì A si la funció és contínua en tots els punts d’aquest subconjunt. El
major subconjunt del domini en que una funció és contínua s’anomena camp de continuïtat de la funció.
Propietats de la continuïtat en un punt
- Si una funció és contínua en un punt, existeix un entorn d’aquest punt en el qual la funció és fitada.
- Si una funció és contínua en un punt i no és nul·la en aquest punt, existeix un entorn d’aquest punt en el qual la funció conserva el signe.
- La suma, producte, producte per un escalar i quocient de funcions contínues en un punt conserven aquesta propietat (en el cas del quocient, no s’ha d’anular la funció denominador).
- La composició de funcions contínues en un punt conserva aquesta propietat.
Propietats de la continuïtat en un conjunt
- Si una funció és contínua en un subconjunt compacte (tancat i acotat) del seu domini, el conjunt imatge és també un subconjunt compacte.
- Si una funció és contínua en un subconjunt compacte del seu domini, aleshores la funció assoleix en aquest conjunt valors màxim i mínim absoluts.
3.4.2.- Continuïtat de funcions de diverses variables
Les definicions i propietats anteriors es generalitzen sense dificultat a funcions reals de diverses variables.
La continuïtat d’una funció vectorial s’estableix per a les seves funcions components, essent necessari i suficient la continuïtat de totes elles per establir la continuïtat de la funció.
14 Tema 3
