Dossier problemes càlcul, Ejercicios de Cálculo

¡Descarga Dossier problemes càlcul y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Cap´ıtol 1

Funcions d’una variable real.

Conceptes b`asics

1. Escriviu les seg¨uents expressions sense utilitzar el s´ımbol del valor absolut:

(a) | 3 x − 2 | (b) |x + 1| (c) |x^2 + 1| (d) | 1 − 2 x^2 |

(e) | 1 − 2 x| (f) | 5 | − | − 23 | (g) |x^2 − 5 x − 24 | (h) | 25 − x^3 |

2. Expresseu en forma d’interval, o uni´o d’intervals, els conjunts donats per les condicions:

(a) | 3 x + 2| ≥ 4 (b) |x − 4 | < 1 (c) 1 ≤ |x| < 4

(d) |x| 1 + |x| < 5 (e) | 2 − 3 x| |1 + 2x| ≤ 4 (f) |x| |2 + x|

3. Trobeu el domini de les funcions:

(a) f (x) = 1 −

x^2 (b) f (x) =

x (c) f (x) =

1 si x > 10 0 si x < 5

(d) f (x) =

(x − 1)^2 (e) f (x) =

ln x (f) f (x) =

tg x si x < π 0 si x > 4

(g) f (x) = |x^3 − 5 x^2 + 3| x^2 − 3 (h) f (x) =

−x (i) f (x) =

√^12

x^2 + 2x − 3

4. Doneu, en els casos que sigui possible, les funcions f + g, f · g i g ◦ f i calculeu els seus valors en el punt x = 1:

(a) f (x) = x^3 , g(x) = x^2 (b) f (x) = x − 3 , g(x) = x^2 (c) f (x) = 3x, g(x) = x^2 (d) f (x) = x − 2 , g(x) = x + 2 (e) f (x) = cos x, g(x) = ln x (f) f (x) = −x^2 , g(x) =

x

C`alcul. Curs 2006-07 3

9. Determineu la continu¨ıtat de les seg¨uents funcions en el punt x = 2:

(a) f (x) = x^3 − 5 x + 1 (b) f (x) =

x^2 + 4

(c) f (x) = | 4 − x^2 | (d) f (x) =

x^2 + 4 si x < 2 5 si x = 2 x^3 si x > 2

(e) f (x) =

2 − x si x < 2 2 si x = 2 x^2 − 2 si x > 2

(f) f (x) =

2 − x

si x 6 = 2 0 si x = 2

(g) f (x) =

−x^2 si x < 2 4 −

x − 2 si x ≥ 2 (h)^ f^ (x) =^

x(x + 1)(x − 2) √ (x − 1)(x − 2)

, f (2) = 0

10. Definiu les seg¨uents funcions en x = 5 per tal que siguin cont´ınues:

(a) f (x) =

x + 4 − 3 x − 5 (b) f (x) =

x + 4 − 3 √ x − 5

(c) f (x) =

2 x − 1 − 3 x − 5

(d) f (x) =

x^2 − 7 x + 16 −

(x − 5)

x + 1

11. Deriveu les seg¨uents funcions efectuant el quocient incremental corresponent:

(a) f (x) = 4 (b) f (x) = 4x + 1 (c) f (x) = 2x^3 + 1 (d) f (x) = 5x − x^2 (e) f (x) =

x^2 (f) f (x) =

x + 3

12. Trobeu l’equaci´o de la recta tangent al gr`afic de la funci´o f (x) en el punt (a, f (a)):

(a) f (x) = x^2 per a = 2 (b) f (x) = 5x − x^2 per a = 4 (c) f (x) =

x + 2 per a = − 3 (d) f (x) =

x^2 per a = − 2

13. Deriveu:

(a) f (x) = 11x^5 − 6 x^3 + 8 (b) f (x) =

x^2 + 2 x^3 (c) f (x) =

x^3 1 − x

(d) f (x) = x^4 4

x^3 3

x^2 2 − x (e) f (x) = ax − b cx − d (f) f (x) = x −

x

(g) f (x) = (x − 1)(x − 2) (h) f (x) = 7 x^4 + 11 x + 1

14. Trobeu els punts en que la recta tangent al gr`afic de f (x) ´es horitzontal:

(a) f (x) = (x − 2)(x^2 − x − 11) (b) f (x) = x^2 −

x (c) f (x) = 5 x x^2 + 1

Problemes. Cap´ıtol 1. Funcions d’una variable real. Conceptes b`asics

C`alcul. Curs 2006-07 4

15. Trobeu els punts en els quals la tangent al gr`afic de (a) f (x) = −x^2 − 6 ´es paral·lela a la recta y = 4x − 1. (b) f (x) = x^3 − 3 x ´es paral·lela a la recta 5y − 3 x − 8 = 0. (c) f (x) = 4x − x^2 ´es paral·lela a la recta 2y = 3x − 5.
16. Deriveu: (a) f (x) = ((x^2 + x−^2 )^3 − x)^5 (b) f (x) = ((x−^1 + 2x−^2 )^3 + 3x−^3 )^4 (c) f (x) =

1 + x

) 4 x (d) f (x) = 3 cos x − 4 sec x (e) f (x) = x^2 sec x (f) f (x) = x^3 cosec x (g) f (x) = sin^4 (

x) (h) f (x) = (x + cot πx)^4 (i) f (x) = (x^2 − sec 2x)^3 (j) f (x) = cos^3 (2x)

17. Calculeu les derivades segones de: (a) f (x) = sin x (b) f (x) = tan^3 (2πx) (c) f (x) = cot 4x

(d) f (x) = 2x^ (e) f (x) = xx^ (f) f (x) = x sin x

18. Trobeu les derivades de y(x), si es satisf`a l’equaci´o: (a) y^3 − x^2 = 4 (b) y^2 + 2xy = 16 (c) x^2 + y^2 = 4

(d)

x + √y = 4 (e) x^2 − 2 xy + 4y^2 = 3 (f) x^3 − 2 x^2 y + 4xy^2 + y = 3

19. Trobeu d

(^2) y dx^2 en el punt indicat: (a) x^2 − 4 y^2 = 9 per x = 5, y = 2. (b) cos(x + 2y) = 0 per x = π 6 , y = π 6. (c) x^2 + 4xy + y^3 + 5 = 0 per x = 2, y = −1.

20. Trobeu f ′(a) si existeix:

(a) f (x) =

4 x si x < 1 2 x^2 + 2 si x ≥ 1 en el punt^ a^ = 1.

(b) f (x) =

x + 1 si x ≤ − 1 (x + 1)^2 si x > − 1 en el punt^ a^ =^ −1.

(c) f (x) =

3 x^2 si x ≤ 1 2 x^3 + 1 si x > 1 en el punt a = 1.

21. Trobeu A i B per tal que la funci´o f (x) sigui derivable en tots els punts, on

f (x) =

Ax^3 + Bx + 2 si x ≤ 2 Bx^2 − A si x > 2

Problemes. Cap´ıtol 1. Funcions d’una variable real. Conceptes b`asics

Cap´ıtol 2

Aplicacions de la continu¨ıtat i la

derivabilitat

24. Si f (x) = x^3 − x^2 + x, proveu que existeix un nombre c tal que f (c) = −1.
25. Estudieu si existeix cap nombre real tal que sigui exactament una unitat m´es gran que el seu cub.
26. Proveu que per la funci´o f (x) = x−^1 no hi ha cap c ∈ [− 1 , 1] tal que

f ′(c) = f (1) − f (−1) 1 − (−1) Expliqueu perque aixo no contradiu el Teorema del valor mig.

27. (a) Demostreu que 6x^4 − 7 x + 1 no t´e m´es de dues arrels reals.

(b) Demostreu que 6x^5 + 13x + 1 t´e exactament una arrel real. (c) Demostreu que | cos x − cos y| ≤ |x − y| i que | sin x − sin y| ≤ |x − y| per a tot x, y ∈ R.

28. Apliqueu les regles de L’Hˆopital per determinar els seg¨uents l´ımits:

(a) lim x→ 0 +

ln(x + 1) sin x

(b) lim x→ 0 +

ln cos x x

(c) lim x→ 0 +^ x^3 ln x

(d) (^) xlim→∞ x^3 ex^ (e) (^) xlim→∞ ln x x^2 (f) (^) xlim→∞ ln √ x x

(g) lim x→ 0 +^ x^2 x^ (h) (^) xlim→∞ x^1 /x^ (i) lim x→ 0 +^ xsin^ x

29. Trobeu els intervals de creixement i de decreixement i els extrems relatius de les funcions: (a) f (x) = x^3 − 3 x + 2 (b) f (x) = x^3 − 3 x^2 + 6 (c) f (x) = x + (^1) x

(d) f (x) = (x − 3)^3 (e) f (x) = x^3 (1 + x) (f) f (x) = x(x + 1)(x + 2) (g) f (x) =

x 1 +

x

(h) f (x) =

2 + x 1 + x (i) f (x) = x^2 + (^16) x 2

C`alcul. Curs 2006-07 7

30. Igual que l’exercici anterior per les funcions:

(a) f (x) =

x + 7 si x < − 3 |x + 1| si − 3 ≤ x < 1 5 − 2 x si x ≥ 1

(b) f (x) =

4 − x^2 si x < 1 7 − 2 x si 1 ≤ x < 3 3 x − 10 si x ≥ 3

31. Trobeu els punts cr´ıtics i els extrems locals de les funcions:

(a) f (x) = x^3 + 3x − 2 (b) f (x) = (1 − x)^2 (1 + x) (c) f (x) = 1 + x 1 − x (d) f (x) = 2 − 3 x 2 + x (e) f (x) = x^3 (1 − x)^2 (f) f (x) =

x − 2 x + 2

(g) f (x) = x^2 1 + x (h) f (x) = x 3

1 − x (i) f (x) = |x| 1 + |x| (j) f (x) = |x − 1 | · |x + 2| (k) f (x) = sin x + cos x (l) f (x) = x + cos 2x

32. Si una funci´o derivable f (x) compleix que f (a) = f (b) i la seva derivada ´es creixent per a tot x ∈ (a, b), demostreu que f (x) ≤ f (a) ∀x ∈ (a, b).
33. Trobeu el valor m´es gran que pot tenir x · y sabent que x + y = 40 i que x, y s´on positius.
34. Doneu les dimensions d’una caixa rectangular sense tapa que tingui volum m`axim si la llargada de la base ha de ser el doble de l’amplada i ´es tenen 1000 cm^2 de material per construir-la.
35. Trobeu les dimensions del triangle isosceles d’area m`axima i per´ımetre 12.
36. L’area d’impressi´o sobre un paper ha de ser de 81 cm^2 , els marges superiors i inferiors han de ser de 3 cm i els marges laterals han de ser de 2 cm. Si el preu d’una pagina ´es proporcional al per´ımetre, trobeu quines dimensions del paper s´on m´es econ`omiques.
37. Una corda de 28 cm. de llarga es talla en dos trossos. Amb un des trossos es fa un quadrat i amb l’altra un cercle. Trobeu com han de ser els trossos per que: (a) la suma d’arees sigui maxima. (b) la suma d’arees sigui m´ınima.
38. Descriviu els intervals de concavitat i convexitat i trobeu els punts d’inflexi´o de:

(a) f (x) =

x

• x (b) f (x) = x^3 − 3 x + 2 (c) f (x) = 2x^2 − 5 x + 2

(d) f (x) = x + 2 x − 2 (e) f (x) = x^3 (1 − x) (f) f (x) =

x 1 +

x

(g) f (x) = 6 x x^2 + 1

(h) f (x) = x

4 − x^2 (i) f (x) = sin^2 x

(j) f (x) = x^2 + sin 2x (k) f (x) = 2 cos^2 x − x^2 (l) f (x) = sin^4 x

Problemes. Cap´ıtol 2. Aplicacions de la continu¨ıtat i la derivabilitat

Cap´ıtol 3

Integraci´o

48. Una funci´o f (x) es diu parella si f (x) = f (−x) per a qualsevol x. Demostreu que si f (x)

´es parella i integrable, llavors per a tot a > 0 es t´e

−a

f (x) dx =

∫ (^) a

0

f (x) dx.

49. Una funci´o f (x) es diu senar si f (x) = −f (−x) per a qualsevol x. Demostreu que si f (x)

´es senar i integrable, llavors per a tot a > 0 es t´e

−a

f (x) dx = −

∫ (^) a

0

f (x) dx.

50. Trobeu quan val

∫ (^) π

−π

ex 4 sin x cos x dx.

51. Calculeu les integrals definides:

(a)

0

x(x^2 + 1)^3 dx (b)

− 1

3 x^2 (4 + 2x^3 )^2 dx (c)

0

5 x(1 + x^2 )^4 dx

(d)

1

(6 − x)−^3 dx (e)

− 1

r (1 + r^2 )^4 dr (f)

∫ (^) a

0

y

a^2 + y^2 dy

(g)

∫ (^) y

0

a

y^2 − a^2 da (h)

0

x + 3 √ x + 1

dx (i)

0

x^2 √ x + 1

dx

(j)

0

x^3 (x^2 − 1)^7 dx (k)

0

x^2 (1 − x^3 ) (^23) dx (l)

0

3 x + 1 dx

52. Trobeu l’`area que hi ha entre les corbes y = 4x i y = x^3.
53. Dibuixeu la regi´o limitada pels parells de corbes que s’indiquen i calculeu la seva `area:

(a) y =

x, y = x^2 (b) y = 6x − x^2 , y = 2x (c) y = 5 − x^2 , y = 3 − x (d) y = x + 1, y = cos x, x = π

54. Demostreu que

< ln 2 <

calculant l’area sota un tros del grafic de la funci´o f (x) =

x

C`alcul. Curs 2006-07 10

55. Calculeu la derivada de les funcions:

(a) f (x) =

∫ (^) x

1

(t^2 − 1)^29 dt (b) g(x) =

∫ (^) x

− 1

t^3 + 1 dt

56. Escriviu les seg¨uents integrals definides efectuant el canvi de variable que s’indica

(a)

0

f (3x + 4) dx, canvi u = 3x + 4.

(b)

3

2 xf (x^2 ) dx, canvi u = x^2.

(c)

∫ (^) b

a

f (x + c) dx, canvi u = x + c.

(d)

0

xa(1 − x)b^ dx, canvi u = 1 − x quan a, b s´on positius.

57. Estudieu la convergencia de les seg¨uents integrals impropies i calculeu el seu valor en el cas que siguin convergents:

(a)

0

dx ex^ + e−x^ (b)

0

dx x^2 (c)

∫ (^) e

0

ln x dx

(d)

0

sin

x 2 dx (e)

0

ex 1 + ex^ dx (f)

1

dx √ x

(g)

0

dx 4 − x^2

(h)

1

dx √ x(x + 1)

(i)

1

dx x^2 + 1

(j)

0

e−x^ cos x dx (k)

0

x^4 e−x^ dx (l)

0

dx √ (^5) x

58. Estudieu per a quins valors de p la integral impr`opia

1

xp^ dx ´es convergent.

59. Calculeu (en el cas que sigui convergent) la integral impr`opia

−∞

1 + x^2 dx.

60. Demostreu per comparaci´o que la integral impr`opia

1

e−x^2 dx ´es convergent.

61. Demostreu per comparaci´o que la integral impr`opia

1

1 + e−x x dx ´es divergent.

Problemes. Cap´ıtol 3. Integraci´o

C`alcul. Curs 2006-07 12

65. Es vol aproximar la funci´o f (x) = sin x per un polinomi en [− 1 , 1] de manera que l’error sigui menor que 0.001. Demostreu que es compleix ∣∣ ∣∣sin x −

x − x^3 6

x^5 120

, per |x| ≤ 1.

66. Afiteu l’error que es comet quan es pren:

(a) 1 − x 2 com valor aproximat de

1 + x

, on |x| ≤ 10 −^1 ,

(b) 1 + x^2 2

x^4 24 com valor aproximat de ex^ + e−x 2 , on |x| ≤ 10 −^1.

67. Per a quin valor de n pot assegurar-se que el polinomi de Taylor pn(x) donar`a f (x) = ex amb 8 xifres decimals correctes, per a tot x ∈ [− 1 , 1]?
68. Calculeu el n´umero e amb set xifres decimals exactes.
69. Es vol aproximar sin x amb un polinomi de manera que sobre [− 1 , 1] l’error sigui menor que 0.001. Quin grau ha de tenir el polinomi?
70. Amb el polinomi de Taylor de grau 2 aproximeu el valor de

3 i de

1 .2. Trobeu l’error maxim comes en aquestes aproximacions.

71. Doneu el polinomi de Taylor de grau n per la funci´o f (x) = ln(1 + x), desenvolupat en el punt a = 0.
72. (a) Calculeu amb 3 decimals cos 31◦ (b) Calculeu amb 3 decimals sin 61◦.
73. Per les seg¨uents funcions periodiques (del per´ıode que s’especifica) trobeu els coeficients de Fourier i escriviu la seva serie de Fourier.

(a) f (x) =

0 si − 5 < x < 0 3 si 0 < x < 5 per´ıode 10

(b) f (x) =

8 si 0 < x < 2 − 8 si 2 < x < 4 per´ıode 4

(c) f (x) =

−x si − 4 ≤ x ≤ 0 x si 0 ≤ x ≤ 4 per´ıode 8

(d) f (x) =

0 si − 3 < x < 0 2 x si 0 ≤ x < 3 per´ıode 6

Problemes. Cap´ıtol 4. S`eries

Cap´ıtol 5

Funcions de diverses variables

74. Trobeu el domini de definici´o de les funcions:

(a) f (x, y) =

1 − x^2 − y^2 (b) f (x, y) = 1 +

−(x − y)^2

(c) f (x, y) = ln(x + y) (d) f (x, y) = x + arccos y

(e) f (x, y) =

1 − x^2 +

1 − y^2 (f) f (x, y) =

y sin x

(g) f (x, y) =

x^2 + y^2 (h)f (x, y) =

x − 1

y

75. Trobeu el domini de definici´o de les funcions de tres variables:

(a) f (x, y, z) =

x + √y +

z (b) f (x, y, z) = arcsin x + arcsin y + arcsin z

(c) f (x, y, z) =

1 − x^2 − y^2 − z^2 (d) f (x, y, z) = ln (xyz)

76. (a) Sigui f : R^2 −→ R la funci´o definida per

f (x, y) =

x^2 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 en (0, 0)

Comproveu que els l´ımits: lim x→ 0 (lim y→ 0 f (x, y)) i lim y→ 0 (lim x→ 0 f (x, y)) existeixen per`o no s´on iguals. (b) Sigui g : R^2 −→ R definida per:

g(x, y) =

{ (^) xy x^2 + y^2 si (x, y) 6 = (0, 0) 0 en (0, 0)

Comproveu, com a l’apartat a), que els l´ımits existeixen i que en aquest cas s´on iguals per`o, en canvi, g no ´es cont´ınua en (0, 0).

13

C`alcul. Curs 2006-07 15

82. Estudieu l’exist`encia de derivades parcials de les funcions :

(a) f (x, y) =

x^2 y^2 x^2 + y^4

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =

(x^2 + y^2 ) sin

x^2 + y^2

si (x, y) 6 = 0 0 si (x, y) = (0, 0)

83. Estudieu la diferenciabilitat de les funcions:

(a) f (x, y) =

x sin

x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

(b) f (x, y) =

√^ x^ · |y| x^2 + y^2

si (x, y) 6 = 0 0 si (x, y) = (0, 0)

84. Trobeu la derivada direccional de f (x, y) = x^3 y^2 en el punt p = (− 1 , 2) en la direcci´o del vector u = (4, −3).
85. Sigui f (x, y, z) = x^3 + ze^2 y^ amb x(u, v) = uv^2 , y(u, v) = v^3 i z(u, v) = v sin u. Comproveu la regla de la cadena per a les derivades parcials ∂f ∂u i ∂f ∂v

86. Sigui f (x, y, z) = x^2 y + z^3 , on x = x(t) = t^3 , y = y(t) = tet, z = z(t) = cos t. Comproveu la regla de la cadena per a la derivada df dt

87. Estudieu els extrems relatius i els punts de sella de les funcions (a) f (x, y) = x^3 + 3xy^2 − 15 x − 12 y. (b) f (x, y) = sin x + sin y + cos(x + y), 0 < x < 2 π 0 < y < 2 π.
88. Sigui f : R^3 −→ R definida per f (x, y, z) = x^2 + y^2 + bxy + az, on a, b s´on reals. Trobeu una relaci´o entre a i b que sigui condici´o necessaria per que el punt (1, 1 , 1) sigui extrem de f sobre l’esfera x^2 + y^2 + z^2 = 3.
89. Trobeu la distancia m´ınima del punt (1, 0) a la parabola y^2 = 4x.
90. Determineu el m`axim i el m´ınim absolut de les funcions: (a) f (x, y) = x^2 y dins la regi´o x^2 + y^2 ≤ 1. (b) f (x, y) = x^2 − y^2 dins la regi´o x^2 + y^2 ≤ 1. (c) f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) dins la regi´o 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2.
91. Quin ´es el paral·lelep´ıpede rectangular de `area donada S que t´e el volum m´es gran?

Problemes. Cap´ıtol 5. Funcions de diverses variables

Cap´ıtol 6

Integrals m´ultiples

92. Calculeu les integrals dobles

R f^ (x, y) per les funcions^ f^ i les regions^ R^ que s’indiquen (a) f (x, y) = x^2 y, R el rectangle [1, 2] × [2, 3]. (b) f (x, y) = xy^3 , R el rectangle [2, 3] × [3, 5]. (c) f (x, y) = ex+y, R el rectangle [0, 2] × [0, 1].

93. Calculeu les integrals dobles seg¨uents:

(a)

1

∫ √x

1 −x

x^2 y dy dx.

(b)

− 1

∫ (^) x+

x^3

(3x + 2y) dy dx.

(c)

0

∫ (^2) y

y^2

(4x − y) dx dy.

94. Canvieu l’ordre d’integraci´o de

0

√y^ y^ cos^ x

(^5) dx dy i calculeu la integral resultant.

95. Invertiu l’ordre d’integraci´o en les integrals :

(a)

0

∫ (^1) −y

−

1 −y^2

f (x, y) dx dy.

(b)

∫ R√ 22

0

∫ (^) x

0

f (x, y) dy dx +

∫ R

R√ 22

∫ √R (^2) −x 2

0

f (x, y) dy dx.

(c)

∫ (^) π

0

∫ (^) sin x

0

f (x, y) dy dx.

96. Poseu els nous l´ımits d’integraci´o si es fa un canvi a coordenades polars:

(a)

0

0

f (x, y) dy dx (b)

0

∫ (^) x

0

f (

x^2 + y^2 ) dy dx