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3.2 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS
A. MÁXIMO RELATIVO Y MÍNIMO RELATIVO DE UNA FUNCIÓN
Es importante determinar donde la función tiene máximos o mínimos relativos (es decir extremos relativos) Definición 3.2.1 Definición de máximo relativo La función f tiene un máximo relativo en el número real c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el que f está definida, tal que f(c) ≥ 𝑓 𝑐 + ℎ donde ℎ puede ser un valor real positivo o negativo en el entorno de cero. Las figuras 1 y 2 muestran una porción de la gráfica de una función que tiene un valor máximo relativo en c.
Definición 3.2.2 Definición de mínimo relativo La función f tiene un mínimo relativo en el número c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el que f está definida, tal que f ( c +ℎ) ≥ 𝑓 𝑐 donde ℎ puede ser un valor real positivo o negativo en el entorno de cero. Las figuras 3 y 4 se muestran una porción de la gráfica de una función que tiene un valor mínimo relativo en c.
EJEMPLO 1: Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 determine si en el número cero se tiene un mínimo relativo. SOLUCIÓN: De acuerdo a la definición 𝑐 = 0 ⟹ 𝑓 𝑐 = 𝑓(0) = 0 y supongamos que seleccionamos el intervalo abierto (−4, 4) el cual contiene al cero. Supóngase que para hacer esta prueba seleccionas que ℎ = ±0.1 entonces: 𝑓 0. 1 + 0 = 𝑓 0. 1 = 0. 01 𝑓 − 0. 1 + 0 = 𝑓 − 0. 1 = 0. 01 ⟹^
𝑓( 0 )<𝑓 0. 1 + 0 𝑓( 0 )<𝑓 − 0. 1 + 0 ⟹^ 𝑒𝑛^ 𝑓^0 hay un mínimo relativo.
TEOREMA 1:
Si f(x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f(x) tiene un extremo relativo en c donde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 y además f’(c) existe entonces 𝑓’(𝑐) = 0 Lo contrario no es necesariamente cierto, es decir si 𝑓’(𝑐) = 0 entonces no necesariamente en c hay extremo relativo.
EJEMPLO ILUSTRATIVO. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 − 4 𝑥 + 5 entonces la derivada 𝑓′^ 𝑥 = 2 𝑥 − 4 existe, digamos para valores el intervalo abierto 0, 4. La función f tiene un mínimo relativo en 2, pues 𝑓 2 = 1 y 𝑓 𝑥 > 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2 𝑦 𝑥 < 2 Por lo tanto de acuerdo al teorema anterior se puede inferir que 𝑓′^2 = 0 (observa la figura 5)
EJEMPLO ILUSTRATIVO.
Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 3 − 2 entonces 𝑓′^ 𝑥 = 3 𝑥 − 1 2 puedes comprobar que 𝑓′^1 = 0 sin embargo en 𝑥 = 1 no hay ni máximo ni mínimo relativo (vea la figura 6)
FIGURA N° 5
C. MAXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Definición de máximo absoluto La función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo abierto o cerrado I, si existe un número 𝒄 en dicho intervalo tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para toda x del intervalo. El número 𝑓 𝑐 es el valor máximo absoluto de f en I. Análogamente para el mínimo absoluto 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥).
EJEMPLO 4:
Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥^2 + 1 (^) − 6 𝑥 + 7𝑠𝑖^ 𝑥𝑥 ≥^ < 1 1 en el intervalo −5,4 estudie los extremos absolutos y
relativos. SOLUCIÓN: La gráfica de f en −5,4 se presenta en la figura 7. El valor máximo absoluto de f 𝑒𝑛 −5,4 ocurre cuando 𝑥 = 1 y 𝑓(1) = 2, El valor mínimo absoluto de 𝑓 en −5,4 ocurre en 𝑥 = − 5 𝑦 𝑓(−5) = − 4. Observe que 𝑓 tiene un valor mínimo relativo en 𝑥 = 3. También observe que 3 es un número crítico de 𝑓 porque 𝑓’(3) = 0 y que 1 es un número crítico de 𝑓 pues 𝑓′^1 no existe (ya que las derivadas por la derecha y por la izquierda de 𝑥 =1 son diferentes) Los extremos absolutos son sencillamente los valores mayores o menores dentro del intervalo, mientras que en los extremos relativos la derivada es cero o no existe, pero los extremos relativos también pueden ser extremos absolutos si son los más grandes o pequeños del intervalo.
FIGURA N°
D. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
𝑖) Función creciente: f es creciente en el intervalo I ⟺ 𝑓 𝑥 1 < 𝑓 𝑥 2 siempre que 𝑥 1 < 𝑥 2 𝑖𝑖) Función decreciente: f es decreciente en el intervalo I ⟺ 𝑓 𝑥 1 > 𝑓 𝑥 2 siempre que 𝑥 1 < 𝑥 2
Es decir la función es creciente si 𝑥 1 < 𝑥 2 entonces 𝑓 𝑥 1 < 𝑓 𝑥 2 La función es decreciente si 𝑥 1 < 𝑥 2 entonces 𝑓 𝑥 1 > 𝑓 𝑥 2 En la práctica puedes reconocer la función creciente cuando su gráfica va de abajo hacia arriba de izquierda a derecha y la gráfica de la función decreciente va de arriba hacia abajo de izquierda a derecha (vea las figuras 8 y 9)
TEOREMA 2: Sea f una función contínua en [a,b] y derivable en (a,b), para toda 𝑥 ∈ [a,b] a) Si 𝑓′^ 𝑥 > 0 ⟹ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑛 [𝑎. 𝑏] b) Si 𝑓′^ 𝑥 < 0 ⟹ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑛 [𝑎. 𝑏]
E. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA (para determinar si en un número crítico hay o no extremos relativos) Sea f una función contínua en [a,b] y derivable en (a,b), excepto quizás en el número c entonces:
a) Si 𝑓′^ 𝑥 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑐 𝑦 𝑓′^ 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑐 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 ℎ𝑎𝑦 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
b) Si 𝑓′^ 𝑥 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 𝑐 𝑦 𝑓′^ 𝑥 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 𝑐 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 ℎ𝑎𝑦 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Lo expuesto anteriormente lo puedes observar en la grafica y recuerda que los máximos y mínimos relativos algunos autores le llaman máximos o mínimos locales.
FIGURA N°8 FIGURA N°
G. PUNTO DE INFLEXIÓN
Cuando la segunda derivada se hace cero en el número c posiblemente este sea un número de inflexión. Si hay cambio en el signo de la segunda derivada al pasar a través del número c entonces tenemos con seguridad un número de inflexión. El punto de inflexión estaría en coordenadas 𝑃(𝑐, 𝑓 𝑐 ) Gráficamente nos damos cuenta del número de inflexión cuando hay cambio de concavidad, de arriba hacia abajo o viceversa (vea la figura 13)
CONCAVIDAD HACIA ABAJO 𝑓′^ <^0
FIGURA 12
FIGURA N° 13
H. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (para determinar si en un número crítico hay o no extremos relativos) Sea c un número crítico de una función f en el que 𝑓′^ 𝑐 = 0, suponga que 𝑓′′ existe en el intervalo que contiene a c, entonces: a) Si 𝑓′′^ 𝑐 > 0 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 b) Si 𝑓′′^ 𝑐 < 0 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
EJEMPLO 6: Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 33 − 𝑥
a) Calcule los números críticos b) Determine si en los números críticos hay máximo o mínimo relativo.
SOLUCIÓN: 𝑆𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑥 33 − 𝑥 ⟹ 𝑓′^ 𝑥 = 𝑥^2 − 1 ⟹ 𝑓′′^ (𝑥) = 2𝑥
Igualando la primera derivada a cero para calcular los números críticos: 𝑓′^ 𝑥 = 𝑥^2 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = ±1 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 Luego 𝑓′′^1 = 2 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 = 1 ℎ𝑎𝑦 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑓′′^ − 1 = − 2 ⟹ 𝑒𝑛 𝑐 = − 1 ℎ𝑎𝑦 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
