DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 05: FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES –
EXTREMOS LOCALES Y ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN.
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Aprendizaje de Cálculo: Funciones Crecientes, Decrecientes, Extremos Relativos y Absolutos, Apuntes de Cálculo
Documento que presenta el concepto de funciones crecientes y decrecientes, extremos relativos y absolutos a través de ejemplos y ejercicios resueltos. El texto explica la importancia de los puntos críticos y cómo aplicar el criterio de la primera derivada para clasificar los extremos.
Tipo: Apuntes
2018/2019
1 / 9
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CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 05: FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES –
EXTREMOS LOCALES Y ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN.
VALORES EXTREMOS
Se ha visto que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y f ( x ) tiene una recta tangente en el punto ( c , f ( c ))y además mT f ' ( c ). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f ' ( x ) 0.
Una mirada atenta a la siguiente figura permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte, como los siguientes:
Geométricamente
f ( c 1 )es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c 1. Se dice entonces que f ( c 1 ) es un máximo relativo (local) de (^) f ( x ). Nótese, además, que en el punto P 1 ( c 1 , f ( c 1 )) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es f ' ( c 1 ) 0.
Igualmente, f ( c 3 )es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contienen a c 3. Así que f ( c 3 )es otro máximo relativo (local) de f ( x ). Sin embargo en el punto c 3 la derivada de (^) f ( x )no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto donde ocurre un máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada.
f ( c 2 ) es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c 2. Se dice entonces que f (^ c 2 ) es un mínimo relativo (local) de f ( x ). Nótese, además, que en el punto P 2 ( c 2 , f ( c 2 )) la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es f ' ( c 2 ) (^0).
Si comparamos ahora todos los valores que toma la función f ( x )en el intervalo [ a , b ], se puede notar de la figura que f ( a )es el menor valor y que f ( c 3 )es el mayor valor. A f ( a )y f ( c 3 )se les llama, respectivamente, mínimo absoluto y el máximo absoluto de f ( x )en [ a , b ].
APLICANDO DERIVADAS
TEOREMA. (Puntos Críticos)
Sea la función f definida en c.
Si 𝑓′(𝑐) = 0 o si 𝑓′(𝑐) no está definida , se dice que c es un punto crítico de f.
TEOREMA. (Intervalos de Monotonía)
Si es una función diferenciable en un intervalo ( , ) a b , entonces:
(i) Si para todas las x en , entonces es creciente en (^) ( , ) a b.
(ii) Si para todas las x en , entonces es decreciente en (^) ( , ) a b.
TEOREMA. (Criterio de la primera derivada)
Sea c un valor crítico de una función continua en un intervalo abierto I que contienen a c. Si es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces puede clasificarse así:
(i) Si cambia en c de negativo a positivo, es un mínimo relativo de.
(ii) Si cambia en c de positivo a negativo, es un máximo relativo de.
INTERPRETACION GEOMETRICA
f
f ' ( x ) 0 ( a , b ) f
f ' ( x ) 0 ( a , b ) f
f f f ( c )
f ' ( x ) f ( c ) f
f ' ( x ) f ( c ) f
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS PUNTOS CRÍTICOS.
Ejemplo 01: Hallar los extremos relativos de.
Solución
Observemos que es continua en toda la recta real. Su derivada
Es cero en y no está definida en. Así los valores críticos son -2, 0, 2. La tabla recoge valores prueba en cada intervalo determinado por ellos.
Intervalo Valor prueba Signo de Conclusión decreciente creciente decreciente creciente
INTERPRETACION GEOMETRICA
f ( x ) x 2 4 ^2 /^3
f
2 ^1 /^3
2 1 /^3 3 4
4 ( 2 )^4
' ( )^2
x
f x x x x
x 0 x 2
x 2 2 x 0 0 x 2 2 x x 3 x 1 x 1 x 3 f ' ( x ) f '( 3 ) 0 f ' ( 1 ) 0 f ' ( 1 ) 0 f ' ( 3 ) 0
CÁLCULO 1
UNIDAD I: APLICACIONES DE LA DERIVADA
SESIÓN 05: FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES – EXTREMOS LOCALES Y
ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
NIVEL I:
1. Observa el gráfico y completa:
Los puntos críticos son: 𝑥 1 =_ _ _ _ _ ; 𝑥 2 = _ _ _ _ _
Los extremos relativos son: 𝑀á𝑥 =_ _ _ _ _ ; 𝑚𝑖𝑛 = _ _ _ _ _
Intervalos de crecimiento: 〈_ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _〉 (^) ; 〈 _ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _〉
Intervalo de decrecimiento: 〈_ _ _ _ _ ; _ _ _ _ _〉
2. Analice cada proposición y responda verdadero o falso según corresponda:
La función 𝑦 = 𝑥^3 − 3 𝑥 tiene 3 puntos críticos. ( ) La función 𝑦 = 𝑥^3 − 3 𝑥 es creciente en todo su dominio. ( ) La función 𝑦 = 𝑥^3 − 3 𝑥 tiene un punto crítico en 𝑥 = 1. ( ) 2 es un mínimo relativo de la función 𝑦 = 𝑥^3 − 3 𝑥. ( )
NIVEL 2
3. Encuentre los puntos críticos de las funciones: a) 𝑓(𝑥) = 𝑥^3 − 12 𝑥 + 10 b) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥^5 − 20 𝑥^3 + 16
c) 𝑓(𝑥)^ = 𝑥^4 − 4 𝑥^3 + 16 𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥^1 /^3
4. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥)^ = 𝑥^3 − 12 𝑥 − 5 b) 𝑓(𝑥)^ = (𝑥 − 1 )^3 + 1
c) 𝑓(𝑥) = (^) 𝑥 (^21) + 1 d) 𝑓(𝑥) (^) = 𝑥^23 ( 6 − 𝑥)^13
5. Calcule los extremos relativos de las funciones:
a) 𝑓(𝑥)^ = 𝑥
3 3 −^
𝑥^2 2 −^6 𝑥^ +^3 b)^ 𝑓(𝑥)^ =^ −^3 𝑥
(^5) + 5 𝑥 3