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CÁLCULO 1
UNIDAD 02: LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
SESIÓN 12: INTEGRACIÓN POR PARTES
INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u y v dos funciones continuas en la variable x, por la derivada de un producto, tenemos:
u^ ^ dv^ ^ u^ ^ v^ ^ vdu
OBSERVACIONES:
Cuando desarrollamos una integral mediante integración por partes, debemos de elegir el u y el dv de tal manera que:
- dv sea una función fácil de integrar
- La integral que aparece en el 2do miembro debe ser más sencilla que la integral del 1er miembro.
- Hay integrales que se desarrollan utilizando más de una integración por partes.
u^ dv ^ u^ ^ v^ ^ vdu
CARACTERÍSTICAS MÁS COMUNES PARA USAR INTEGRACIÓN POR PARTES:
- Es un producto de funciones ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥; …
- Son funciones logarítmicas (^) ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥; …
- Son funciones trigonométricas inversas (^) ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥; …
- Son funciones de secante o cosecante con exponente impar (^) ∫ 𝑆𝑒𝑐^3 (𝑥)𝑑𝑥; …
CASOS MÁS COMUNES:
1).
2).
3
( )
(
:
( ) :
). ( ) :
)
) ( ) :
n ax
n
ax
n
n
n
n
x e dx n
x Sen ax dx
x
Selección recomendada
Selección recomendada
Selección r
dv e dx
dv Sen ax dx
Cos ax dx dv Cos ax
x Ar
u x
u
csen ax dx
x
ecomendada u
Selección recomendada
x
Arc
dx
u s
5).
6).
7).
( )
( ) : ( )
( ) :
( ) :
. ( )
( )
( )
n
n
ax
n
ax
x
n
ax a
Selección recomendada
Selección r
x Arctan ax dx
e Sen bx dx
e C
ecomendada
Selección re
en ax
u Arctan ax
u S
comendad
dv x dx
d
en b
os bx dx
x
v x dx
x dv
a u Cos bx
e dx
dv e d
Ln a x
x
x d
^ Selección recomendad^ a^ :^ u^ ^ Ln ax(^ )^ dv^ xndx
ELECCIÓN DEL “u”
Para elegir “ u ”, podemos utilizar de manera práctica un orden de prioridad, la misma que se puede recordar con la palabra ILATE:
I: Funciones trigonométricas Inversas.
L: Funciones Logarítmicas.
A: Funciones Algebraicas.
T: Funciones Trigonométricas.
E: Funciones Exponenciales.
3.3 x 2 .e 2 xdx
3.4 x^2 .cosx dx
3.5 e x.senx dx
3.6 x.sen x dx
3.7 e x.cosx dx
3.8 ln x dx
3.9 x .ln x dx
3.10 sec^3 x dx
3.15 e^2 xSen(3 ) x dx
3.16 x Arcsen x dx^2
3.17 Cosx Ln Senx dx. ( )
3.18 x 2( Ln x 2 )dx
3.19 2
(^)
x arcsenxdx
x
3.20 Ln(Ln(x))^ dx x
NIVEL 3
4. Está proyectado que dentro de t años, la población de cierta ciudad crecerá a razón det^ ln^ t^ ^1
miles de personas por año. Si la población actual es de 2 millones, ¿cuál será la población dentro de 5 años?
- Una montaña rusa, en esencia es un sistema de rieles, que forman una pista que sube y baja en circuitos diseñados específicamente, donde los carros alcanzan velocidades de (^) 120(1 t e) 0.5tkm por hora. ¿Cuál es la posición de un carro en función del tiempo?
- La intensidad de amortiguación de los resortes de un automóvil es estimado por
V t ( ) 15 e 0.015tSent. Determine la ecuación que describe la amortiguación de los resortes.
- Una mujer salta sujeta a una cuerda elástica, desde lo alto de un puente. Después de saltar, el ritmo de cambio de su altura está dado por H^ ^ ( )^ t^ ^2 e^ 0.03tC^ ost. Calcular el desplazamiento de su altura.
BIBLIOGRAFÍA Código Autor Título Editorial 1 515.33 PURC PURCELL, EDWIN J. Cálculo Diferencial E Integral Pearson Educación 2 515.STEW/P.2007 STEWART, JAMES Cálculo De Una Variable: Transcendentes Tempranas Thomson Learning (^3) 515.15/LARS LARSON, RON Cálculo McGraw-Hill
