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EXAMEN FINAL
I. DATOS INFORMATIVOS
Título : Derivada e integral Indefinida de una función
Tipo de participación : Grupal – 4 integrantes
Plazo de entrega : Décimoquinta semana de clase (semana 15)
Medio de presentación : Aula virtual / menú principal / EF
Calificación : 0 a 20 – 40 % del promedio final
II. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE
Se desarrolla un trabajo práctico donde se resuelven ejercicios y problemas aplicando
derivadas e integrales indefinidas.
III. INDICACIONES
Para esta actividad se debe considerar lo siguiente:
- El contenido de todos los módulos revisados en el ciclo.
- El desarrollo de los problemas se deben mostrar de forma ordenada, teniendo en
cuenta el procedimiento que requiere el problema de acuerdo a la rúbrica estipulada e
indicando el resultado solicitado.
- Condiciones para el envío:
- El documento debe ser presentado en formato WORD, PDF, JPG (.doc).
- Graba el archivo con el siguiente formato:
FINAL_(nombre del curso)_Apellidos y nombres completos
Ejemplo: FINAL_Cálculo 1 _MMM
- Extensión del trabajo:
La extensión mínima será de 2 páginas (caras) y la máxima de 10 páginas (caras).
- Asegúrese de enviar el archivo correcto y cumplir con las condiciones de envío, de lo
contrario, no habrá opción a reclamos posteriores.
NOTA: Si el/la estudiante comete cualquier tipo de plagio su puntuación automática
será cero (0).
IV. RÚBRICA DE EVALUACIÓN
La asignación del puntaje máximo a cada criterio es aplicable si este se cumple a nivel
satisfactorio. El docente del curso determina el puntaje de cada ítem de acuerdo a su
juicio de experto.
PREGUNTA 0 1 ( 6 puntos)
INDICADOR
ES
NIVEL DEL LOGRO
SATISFACTORIO EN PROCESO EN INICIO
Plantea los
datos del
problema.
( 1 puntos)
Identifica las variables del problema, plantea las
ecuaciones con los datos del problema de forma
precisa en un 100%.
. ( 1 puntos)
Identifica las variables del
problema, plantea las
ecuaciones con los datos
del problema con un
acierto de menos del 75%
(0.5 punto)
Identifica las
variables
del
problema,
plantea las
ecuaciones
con los
datos del
problema,
correctamen
te por
debajo del
10%. (
puntos)
Obtiene la
función a
optimizar.
(2 punto)
Reduce las ecuaciones encontradas, obteniendo la
función a optimizar correctamente en un 100%.
(2 puntos)
Reduce las ecuaciones
encontradas, obteniendo la
función a optimizar en
menos del 75%. (
punto)
Reduce las
ecuaciones
encontradas
, obteniendo
la función a
optimizar
correctamen
te por
debajo del
10%. (
puntos)
Calcula el
valor óptimo,
aplicando los
criterios de
las derivadas.
(3 punto)
Calcula el valor óptimo y aplica los criterios de las
derivadas de forma correcta en un 100 %. (
puntos)
Calcula el valor óptimo y
aplica los criterios de las
derivadas correctamente
en menos del 75%. (1 a 2
puntos)
Calcula el
valor óptimo
y aplica los
criterios de
las
derivadas
correctamen
te por
debajo del
10% (
puntos)
V. TRABAJO PRÁCTICO
EXAMEN FINAL - CÁLCULO 1
- Se desea fabricar un envase de plástico en forma de un paralelepípedo con base
cuadrada, este envase va a contener 200 ml de jugo de durazno, se necesita saber
cuales son las dimensiones que minimicen el uso del material.
Solución:
Sea 𝑥: el lado del cuadrado y z la altura
Se sabe que el área de un paralelepípedo es
Ahora colocamos el volumen del paralelepípedo:
Luego, 𝟐𝟎𝟎 = 𝒙
𝟐
[
]
Despéjando 𝒛 =
𝟐𝟎𝟎
𝒙
𝟐
, reemplazando en el área, se tiene:
2
2
Entonces, tenemos
2
Derivando 𝐴 para hallar los puntos críticos :
′
2
Luego, 4 𝑥 −
800
𝑥
2
= 0. Esto implica, 𝑥 = √ 200
3
= 5. 85 y 𝑧 =
200
√ 200
2
3
Aproximadamente.
Derivando por segunda vez, se tiene que:
3
Reemplazando 𝑥 = √ 200
3
en la segunda derivada, se tiene que 𝐴′′ > 0 , se tiene un
mínimo en 𝑥 = √ 200
3
- Determine los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función 𝑓
3
2
empleando el criterio de la primera
derivada y en base a estos datos haga un bosquejo de la gráfica.
Solución:
Derivando se tiene que:
′
2
Hallando los puntos críticos 𝑓
′
2
Aproximando por el método de Newton se tiene:
Para el intervalo ⟨ 0 , 2 𝜋⟩
0
0
Fórmula de Newton Raphson:
- Calcule las siguientes integrales:
a) ∫
2
3
2
𝑑𝑥
Solución:
Factorizando el polinomio del denominador:
2
3
2
2
2
Escribimos la expresión teniendo en cuenta que se tiene un factor lineal y repetido.
2
2
2
Multiplicamos por : ( 3 𝑥 + 4 )(𝑥 − 1 )
2
2
2
Asignando valores a 𝑥 para determinar los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Si 𝑥 = 1 ⟹ 𝐶 = 1
Si 𝑥 =
− 4
3
53
7
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝐵 =
1
7
2
3
2
2
53
21
ln| 3 𝑥 + 4 | +
1
7
1
𝑥− 1
b) ∫
2
2 𝑥− 3
𝑑𝑥
Solución:
2
2 𝑥− 3
3
2
− 2 𝑥
Aplicamos integración por partes:
2
− 2 𝑥
𝑒
− 2 𝑥
− 2
𝑒
− 2 𝑥
4
𝑒
− 2 𝑥
− 8
3 𝑥
2
− 3 𝑥+ 7
5 𝑒
2 𝑥− 3
1
5
3
[−
( 3 𝑥
2
− 3 𝑥+ 7 )
2
− 2 𝑥
( 6 𝑥− 3 )
4
− 2 𝑥
6
8
− 2 𝑥
]
1
5
3
[
− 12 𝑥
2
− 28
8
] 𝑒
− 2 𝑥
2
− 2 𝑥+ 3
2
− 2 𝑥+ 3
