CALCULO 2 INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

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A E RA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA CÁLCULO Il MY 1669.04 = Ñ Py, 2)dV í=1 Ss PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERÍA Ing. ADOLFO COLQUE ALCONCE Oruro - Bolivia CÁLCULO II Contenido temático Capítulo 1. Vectores en el espacio sá 2. Geometría analítica tridimensional... 2... 24 il 3. Límites y CONLIRUId2d...mmmrrmcnnmcnmnmncammmmmd7 l 4. Derivadas parciales y diferenciales, Derivada direccional..............59 la 5, Extremos de fUNCIONES momia re rr ccoo re 87 * 6. Integración múltiple mcr DT Bibliografía OBJETIVOS GENERALES Al concluir el estudio de la materia el estudiante será capaz de: - Describir conceptos y demostrar teoremas del cálculo infinitesimal de varias variables. - Emplear conocimientos de cálculo infinitesimal de varias variables, técnicas y procedimientos para resolver ejercicios y problemas de Ciencias e Ingeniería. PPODOPPODOOANARAAIAIACCCCCCCCICCACCACCCCTIACRARA Escaneado con CamScanner ersona se le ordena caminar 6 metros, el húmero y la unid al no Ejemplo, Sia una p bastan para obedece , A enla dirección del cambi . al se debe añadir a la orden ladi ambio de post AN ela orden; puede caminar: hacia el NOrte, sur, este, Noreste, etc ad fisio por lo cu ad física ps se denomina desplazamiento. que Ejemplos Cantidad vectorial Número — Unidad Dirección Desplazamiento 6 m (metro) hacia el sudeste Velocidad 80 km/h en dirección norte Peso 65 kg orientado al centro de la tierra VECTOR El segmento de recta orientado PQ se denomina vector 1, P se llama origen y Q extremo. La 5 V o longitud del segmento se denomina módulo del S vector. Dirección de un vector En un sistema unidimensional una recta orientada define la dirección; si el vector tiene el mismo sentido su dirección es Positiva y si el sentido es contrario la dirección es negativa, En el sistema cartesiano plano XY la dirección de un vector se define conociendo el ángulo que forma el vector con uno de los ejes ortogonales de referencia. En el sistema tridimensional la dirección de un vector está dado por dos ángulos ei entre el vector y dos de los ejes de referencia. Pueden ser: ay f, fyy, Y. Escaneado con CamScanner c) TRIDIMENSIONAL SISTEMA a) UNIDIMENSIONAL b) BIDIMENSIONAL Fig. 1.2 Vector en sistema a) unidimensional, b) bidimensional y c) tridimensional - Los vectores y W son iguales si tienen igual módulo y dirección - El vector que tiene igual módulo pero dirección opuesta que Y se escribe -V. AA ADICIÓN DE VECTORES La suma de los vectores Y y W es un vector 5, cuyo módulo y dirección se puede obtener por los métodos siguientes: - Método del triángulo. En un punto O cualquiera se ubica el origen A y se construye el vector Y, a continuación, haciendo coincidir C con el extremo B se dibuja el vector > ” » W, y uniendo el origen A con extremo D de W se encuentra el vector suma $. - Método del paralelogramo. En un punto O cualquiera se construyen los vectores Y y W. Por el extremo B se traza la paralela r al segmento AD y por D otra paralela ta AB. Las rectas r y t se cortan en E; uniendo O con E se encuentra el vector $. Escaneado con CamScanner 3 > Ejemplo. Multiplicar los escalares 4 y =y por el vector Y. solución. 81 4=4, W,=A4V=4V v - > El módulo del vector W, es cuatro veces la del vector Y y tiene la misma dirección. sia==E, W,=14V =-21 ye a El módulo del vector W, es tres cuatros veces la del vector Y y tiene dirección opuesta de v E 1.2 LEYES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL >» > Si U,V y W son vectores y 4 y y constantes, entonces: > 1D Ley conmutativa de la adición U+ Y =V+U id) Ley asociativa de la adición U+ ó +W )= (Us v) +7 iii) Ley asociativa del producto A(4 Ú de ()U =Hm(A4 173) iv) Ley distríbutiva de la adición AU + v) 40% A v Escaneado con CamScanner v) Ley distributiva del producto (2+ JU =4U+ pU 1.3 VECTORES UNITARIOS El cociente entre un vector y su módulo es igual a un vector unitario; que se caracteriza por tener módulo igual a la unidad y tiene la misma dirección del vector, - r Notación. u = ds y VECTORES UNITARIOS EN EL SISTEMA CARTESIANO ESPACIAL Para facilitar el cálculo operacional con vectores se usan los vectores unitarios í, f y k en dirección de los ejes de referencia X.Y y Z respectivamente. El sistema que se muestra en la figura a) se denomina dextrorsum que significa a la derecha. Figura a) Figura b) z Y —o | k ¡ Xx 1 1.4 EXPRESIÓN DE UN VECTORES EN EL SISTEMA TRIDIMENSIONAL El vector Y, que se observa en la figura (b) con punto inicial en el origen del sistema cartesiano de referencia y punto terminal en P(V,,V, V,) se expresa en la forma siguiente: V=V,+ V,+V, =V, 1+V, JV_K suma de vectores. Escaneado con CamScanner .. o. ..» A , , Dela suma de vectores ¡+r 7, dedonde 11 (xx) HH, y) J+(2, 2h Para hallar el vector se restan las coordenadas correspondientes del punto extremo y origen. kl módulo der es la distancia entre /] y £) D A h Va, 2% ya (Y, yy +(z, - SUMA DE VECTORES CONCURRENTES Suponiendo se conocen n vectores concurrentes en un punto del espacio , , » » A , Pis Vit VU + V pa, VMsYatV at V a, VR art + V La suma será: , , > o SV Va. Y 28, (+8, J+S, k La suma para hallar los componentes es algebraica. pS 748 748? Donde: $, = SY. S,= Y. S. - yr, bal lal lul Problema. Dados los datos de los vectores U=6, V=7, B=120', y=45' ya ángulo agudo; W=24/21, pasa por P y Q. Ver figura siguiente. Hallar la suma de los vectores. Escaneado con CamScanner Para resolver el problema utilicemos un sistema de referencia que ubique el paralelepípedo en el primer octante. Expresiones vertoríales: Se conoce [/=6, de la figura siguiente U.=2 U,=4, U.=7 0 =p? ra =/6-2-g* =Á6=4 2 U=-kjosi ' z Escaneado con CamScanner 1.5 PRODUCTO ESCALAR nos El producto escalar de los vectores Y y W por definición ex un escalar que se obtiene al multiplicar los módulos de Y y Y por el coseno del Angulo que forman los vectores. Notación- Vo W = |V]]W|cos 0, 0% 50 5 180% Fig. 1.9 Diferentes ubicaciones entre dos vectores Los valores que puede asumir el producto escalar de los vectores son los siguientes: a) Si0=0", cosO=1, => VW =VW>0 el producto escalar es positivo, b) Si0<0<90", cos0>0; => VO sí el ángulo es agudo, > c) Si 0=90, cosO=0; => VW =0 cuando los vectores son perpendiculares. d) Si 90"<0<180", cos0O<0;, => VW <0 sí el ángulo es obtuso, e) Si0=180", cosO=-l, => VW =-VW sí los vectores son opuestos, Leyes del producto escalar o > Si U,V y W son vectores y 4 una constante, entonces: 1) Ley conmutativa VoW =WoV 11) Ley distributiva respecto de adición de vectores DAFO yor o Hi) Ley distributiva de un escalar A(VoW)=(2V 30 =Vo(2W), 2 escalar. Escaneado con CamScanner iy) Producto escalar de vectores unitarios no a a pops pe Ñ UN) l jo ja ph hor=0 v) Sí y =l 7 Pod A K y 7 =V, 2 W, $ W h, entonces; AVANT Y) SI Pol 0, donde Y y 10 no son vectores nulos, entonces Y y W son perpendiculares, Problema, Determinar la proyección del vector Y en la dirección del vector YA Solución. En el triángulo rectángulo RST RS =Vcos0, del producto escalar cos9= Dr d UV luego La proyección de Y en la dirección de U es: PO=RS= part LAA DW y Si el resultado es negativo, se encuentra el valor absoluto del producto escalar, Problema. Hallar la proyección de Y =37- 9 +15K en la dirección de U =3i+ 6j-6k. Solución. Vector unitario de 7, i= > ne] pE MEE -6k sli925-2 7 +6 +6) 9 3033 14 Escaneado con CamScanner io BC = (1-42) o4+J-1)=28-4-18=6 BA BO| ol 6 Joss. P=cos (a =C05 8.31(9.9) El ángulo que falta, se encuentra empleando el teorema de la suma de ángulos interiores a+ pr+y=180, y =180" -a-p=41.6Y b) Altura del vértice A A,= ABsenf =8.31sen85.82 =8.29 (u) Área del triángulo 4= 0.5BCh, =0.5(9.9X8.29) = 41.04 (é) Problema. Establecer las condiciones para que dos vectores sean a) paralelos y b) perpendiculares. Solución. Si l = a) SeanY=Y 141, J+V,k y MW, ia, J+Wk las expresiones vectoriales. Si los vectores son paralelos, entonces tienen un mismo vector unitario y son proporcionales. VW VaW,s V=AW,V,1+WJI+V,k=2(W, + W,] + WE) Escaneado con CamScanner CA AE III Para que cumpla la igualdad v V,=BV,, V =4W,. V,=AW,: de donde nn Para que dos vectores sean paralelos sus componentes deben ser proporcionales respectivamente. b) Sean S= S, + Ss eS y f= 7, 1+T, 7 7, £ los vectores perpendiculares, Por la vi) ley del producto escalar, si dos vectores no nulos son perpendiculares, entonces el producto escalar de los vectores es cero. ssiT=SoT, 2 S,-T,¿+S,* Ty +5,-T,=0 Condición de perpendicularidad de dos vectores. La suma del producto de sus componentes correspondientes debe ser cero. 14.2 PRODUCTO VECTORIAL Por definición, el producto vectorial de los vectores VyWes un vector perpendicular al plano formado por los vectores, cuyo módulo se obtiene al multiplicar los módulos de Fy 74 por el seno del ángulo que forman Py W , ysu dirección está establecida por el sistema dextrorsum; que en forma práctica nos indica la regla de la mano derecha. Notación. [Y xW| =VW sen 8, 0? <8< 180 Regla de la mano derecha. La mano derecha extendida se ubica en el primer factor, se carvan los dedos hacia el segundo, entonces el pulgar señala la dirección del vector producto vectorial Escaneado con CamScanner Problema. En el cubo de lado a, encontrar un vector cuyo módulo sea igual a 5/3 perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B y C. Ver figura a). Además, hallar el área del triángulo ABC. Solución. 4 z C TA C(0.a.a) dá ' A A(a,0, a) | d | — NI Y 8 Xx Sd B(a,a,0) Figura a) Figura b) En el sistema cartesiano espacial, ver figura b), las expresiones vectoriales son: Y =BC=(0-aJi+(a-a)j+(a-0k=-ai+0j+ak, BO= lay + a =4a(u) W =BA=(a-aji+(0-a)j+(a-0)=0i-aj+ak, AB= JF+tay sa =/Za(u) Producto vectorial de vectores E] mi E E 2 - > 7 27 2. $ N=VYxW=|l-a 0 dl =(a-0+a (a? —a-0)j+(a 0 =a i+a j+ark 0 -a a Módulo del vector |M] = Px m| =lY Hay ray = a = Ba - Y O Vector unitario. ¿=% - E RO, PEA N 3 Ba? Escaneado con CamScanner , loa a Vector normal al plano solución M- 5/15 ! qe E 6), 504 park) Área del triángulo ABC A, > "y > : Ye) 1,43 PRODUCTO TRIPLES DE VECTORES El producto de los vectores NY y 7 escalar y vectorial o viceversa se denomina producto triple de vectores, El producto Us (1 1) es un escalar, por ello, se denomina producto escalar triple y el producto UV W) es un vector, se lama un producto vectorial triple, Leyes del producto triple 1) (io tio W) no se cumple DM ars) Dori) ió (UV) volumen de un paralelepípedo que tiene UV y % como aristas, MD SUERO, UE Ay AA JW po, 0, 0, Entones UV W) (AAA pr, ww, 9) DA WHr UV) AMÓ mo cumple Y DAVE li o TACA) ADM Y Ejemplo.- Si U=414+2], V=-3145yW=1+ 34 6k demostrar Do (VxW)=Vo(Wx0) volumen de un paralelepípedo que tiene UV y Y como arístas. Demostración: Uo (Vx W) = (414 27) 0 [314 57) (14 3)+6%)] = (414 25) > (301+ 18]- 14%) =4-30+2-1840-(-14) = 156 POARAADLACLACICILIALIIIE SECO los Escaneado con CamScanner