Aplicaciones de las integrales dobles - Momentos de inercia
★ Obtenga los momentos de inercia de la región bajo 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) de 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝜋, si
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘
𝐼𝑥=∫𝑅∫𝑦2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴 𝐼𝑦=∫𝑅∫𝑥2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴 𝐼0=
∫𝑅∫(𝑥2+ 𝑦2)𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝐼𝑥= ∫
𝑅∫ 𝑦2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝐼𝑥= 𝑘∫
𝑅∫ 𝑦2 𝑑𝐴 = 𝑘 ∫𝜋
0∫𝑠𝑖𝑛 𝑥
0𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝐼𝑥= 𝑘∫𝜋
01
3𝑦3|0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝜋
01
3(𝑠𝑖𝑛 𝑥)3𝑑𝑥 = 4𝑘
9
𝐼𝑦= ∫
𝑅∫ 𝑥2𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝐼𝑦= 𝑘∫𝑅∫𝑥2 𝑑𝐴 = 𝑘 ∫𝜋
0∫𝑠𝑖𝑛 𝑥
0𝑥2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝐼𝑦= 𝑘∫𝜋
0𝑥2𝑦|0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝜋
0𝑥2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘(𝜋2− 4) ≃ 5,87𝑘
𝐼0= ∫
𝑅∫ (𝑥2+ 𝑦2)𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝐼0= 𝑘∫
𝑅∫ (𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝐴
= 𝑘 ∫𝜋
0∫𝑠𝑖𝑛 𝑥
0𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
