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Paralelo y perpendicular
L E C C I Ó N
CONDENSADA
Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 147
En esta lección
● aprenderás el significado de paralelo y perpendicular ● descubrirás cómo se relacionan las pendientes de las rectas paralelas y de las rectas perpendiculares ● usarás pendientes para ayudarte a clasificar figuras en el plano de coordenadas
Las rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y que nunca se intersecan. Se presenta un ejemplo a la derecha.
Las rectas perpendiculares son rectas que están en el mismo plano y que se intersecan en un ángulo recto.
Investigación: Pendientes
Los lados opuestos de un rectángulo son paralelos, y los lados adyacentes son perpendiculares. Al examinar los rectángulos dibujados en una cuadrícula de coordenadas, puedes descubrir cómo se relacionan las pendientes de las rectas paralelas y de las rectas perpendiculares. En el Paso 1 se dan los vértices de cuatro rectángulos. Aquí se muestra el rectángulo con los vértices que se dan en la parte a. Encuentra la pendiente de cada lado del rectángulo. Debes obtener estos resultados. (Observación: La notación AB significa “segmento AB ”.)
Pendiente de AD : ^79 ^ Pendiente de AB : ^97
Pendiente de BC : ^79 ^ Pendiente de DC: ^97
Observa que las pendientes de los lados paralelos AD ^ y BC son iguales y que las pendientes de los lados paralelos AB y DC ^ son iguales. Recuerda que, para hallar el recíproco de una fracción, intercambias el numerador y el denominador. Por ejemplo, el recíproco de ^34 ^ es ^43 . El producto de un número y su recíproco es 1. Observa las pendientes de los lados perpendiculares AD ^ y DC . La pendiente de DC ^ es el recíproco negativo de la pendiente de AD . El producto de las pendientes, ^79 ^ y ^97 , es 1. Encontrarás esta misma relación para cualquier par de lados perpendiculares del rectángulo.
x
y
10 20 10
10
10
20 A
B
C
D
Insertamos una pequeña caja en uno de los ángulos, para mostrar que las rectas son perpendiculares.
(continúa)
Lección 11.1 • Paralelo y perpendicular (continuación)
Ahora, escoge otro conjunto de vértices del Paso 1, y encuentra las pendientes de los lados del rectángulo. Debes encontrar las mismas relaciones entre las pendientes de los lados. De hecho, cualesquiera dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, y cualesquiera dos rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocos negativos entre sí.
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Si se traza un triángulo en una cuadrícula de coordenadas, puedes usar lo que sabes sobre pendientes de rectas perpendiculares para determinar si se trata de un triángulo rectángulo. Esto se muestra en el Ejemplo A de tu libro. Aquí se presenta otro ejemplo.
EJEMPLO Decide si este triángulo es rectángulo.
Solución El triángulo tiene vértices A (3, 2), B (1, 2), y C (3, 4). Claramente, los
ángulos B y C no son rectos, pero el ángulo A podría serlo. Para verificarlo, encuentra las pendientes de AB y AC :
Pendiente AB :
2 ^ ^2 Pendiente^ AC
6 ^2 ^13
Las pendientes, 2 y ^13 , no son recíprocos negativos; entonces los lados no son perpendiculares. Debido a que ninguno de los ángulos son rectos, el triángulo no es rectángulo.
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos y un par de lados opuestos no paralelos. Un trapecio que posee un ángulo recto se conoce como trapecio recto. Cada trapecio recto debe tener dos ángulos rectos porque los lados opuestos son paralelos. Aquí se muestran algunos ejemplos de trapecios.
Para determinar si un cuadrilátero trazado en un sistema de coordenadas es un trapecio sin ser un paralelogramo, necesitas verificar que dos de los lados opuestos tengan la misma pendiente y que los otros dos lados opuestos tengan pendientes distintas. Para decidir si el trapecio es un trapecio recto, también necesitas verificar que las pendientes de dos lados adyacentes son recíprocos negativos. Esto se ilustra en el Ejemplo B de tu libro.
x
y
2 4
4
2
4
4
2
C
A
B
Cateto
Cateto Hipotenusa
148 CHAPTER 11 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
Lección 11.2 • Encontrar el punto medio (continuación)
El ejemplo de tu libro muestra cómo hallar las ecuaciones de una mediana de un triángulo y de la mediatriz de uno de sus lados. A continuación hay otro ejemplo.
EJEMPLO Este triángulo tiene los vértices A (2, 2), B (2, 4), y C (1, 3).
a. Escribe la ecuación de la mediana que parte del vértice A. b. Escribe la ecuación de la mediatriz de BC .
Solución a. La mediana que parte del vértice A va al punto medio de BC . Por tanto, debes
encontrar el punto medio de BC .
punto medio de BC : (^) ^2 2 ^1 ,
(1.5, 0.5)
Ahora, usa las coordenadas del vértice A y el punto medio para hallar la pendiente de la mediana.
pendiente de la mediana: 1.50. ^5 (^2 2) 31 .5 .5 ^37
Usa las coordenadas del punto medio y la pendiente para hallar la ecuación.
y 0.5 ^37 ( x 1.5)
b. La mediatriz de BC pasa por el punto medio de BC , que es (1.5, 0.5) y es perpendicular a BC . La pendiente de BC es 13 ^ 24 , ó 7, de modo que la pendiente de la mediatriz es el recíproco negativo de 7, ó ^17 . Escribe la ecuación usando esta pendiente y las coordenadas del punto medio.
y 0.5 ^17 ( x 1.5)
x
y
2 4
4
2
4 2
4
A 2
C
B
150 CHAPTER 11 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
Cuadrados, triángulos
rectángulos, y áreas
En esta lección
● encontrarás el área de polígonos trazados en una cuadrícula ● encontrarás el área y la longitud lateral de cuadrados trazados en una cuadrícula ● dibujarás un segmento de una longitud dada, trazando un cuadrado con el cuadrado de la longitud como área
El Ejemplo A de tu libro muestra cómo hallar los largos de un rectángulo y de un triángulo rectángulo. El Ejemplo B muestra cómo hallar el área de un cuadrado inclinado, al dibujar un cuadrado con lados horizontales y verticales alrededor del cuadrado inclinado. Lee ambos ejemplos con atención.
Investigación: ¿Cuál es mi área?
Paso 1 Encuentra el área de cada figura del Paso 1. Debes obtener estos resultados. a. 1 unidad cuadrada b. 5 unidades cuadradas c. 6 unidades cuadradas d. 2 unidades cuadradas e. 8 unidades cuadradas f. 3 unidades cuadradas g. 6 unidades cuadradas h. 6 unidades cuadradas i. 10.5 unidades cuadradas j. 8 unidades cuadradas Existen muchas maneras de encontrar el área de estas figuras. Una técnica útil implica el trazado de un rectángulo alrededor de una figura. La ilustración siguiente muestra un rectángulo alrededor de la figura i. Para hallar el área de la figura, resta la suma de las áreas de los triángulos del área del rectángulo. Área de la figura i (^3) 6 (2.5 1 2 2) 18 7.5 10.
Pasos 2–4 Si conoces el área de un cuadrado, puedes hallar la longitud de sus lados al sacar la raíz cuadrada. Por ejemplo, el cuadrado con rótulo d del Paso 1 tiene un área de 2 unidades cuadradas, de modo que la longitud de cada lado es ^2 unidades. El cuadrado con rótulo e del Paso 1 tiene un área de 8 unidades cuadradas, así que la longitud de cada lado es (^) (^8) unidades. Observa los cuadrados del Paso 3. El primer cuadrado tiene un área de 9 y una longitud lateral de 3. Para encontrar el área del segundo cuadrado, rodéalo con un cuadrado cuyos lados horizontales y verticales son tales como se muestra en la ilustración. El área es 10 unidades cuadradas, de modo que la longitud es (^) (^10) unidades. Área 16 4(1.5) 16 6 10 unidades cuadradas
1.5 (^) 1.
1.5 1.
(^2 )
2.5 1
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Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 151
(continúa)
El teorema de Pitágoras
En esta lección
● descubrirás el teorema de Pitágoras ● usarás el teorema de Pitágoras para hallar la longitud desconocida de un lado de un triángulo rectángulo
En tu libro, lee el texto que precede la investigación, en el cual se explica que la fórmula del área de un triángulo es
Área ^ base^ • 2 ^ altura ó A ^12 bh
Investigación: Los lados de un triángulo rectángulo
En el diagrama de la página 599 de tu libro se muestra un triángulo rectángulo que tiene cuadrados dibujados en los lados. Encuentra el área de cada cuadrado y registra los resultados en una tabla como la que se muestra en el Paso 4. Después copia cada triángulo rectángulo dibujado en el espacio siguiente, traza un cuadrado en cada lado y registra las áreas en tu tabla. Repite estos pasos para dos triángulos rectángulos que hayas inventado.
Aquí se muestran los resultados para el triángulo de tu libro y los tres triángulos dibujados anteriormente.
Para cada triángulo rectángulo, debes encontrar que el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Ahora calcula las longitudes de los catetos y de la hipotenusa de cada triángulo.
Longitud del Longitud del Longitud de la cateto 1 cateto 2 hipotenusa Triángulo 1 (^2 4) (^20) Triángulo 2 (^3 3) (^18) Triángulo 3 (^1 4) (^17) Triángulo 4 (^3 5) (^34)
Área del cuadrado Área del cuadrado Área del cuadrado del cateto 1 del cateto 2 de la hipotenusa Triángulo 1 4 16 20 Triángulo 2 9 9 18 Triángulo 3 1 16 17 Triángulo 4 9 25 34
Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4
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Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 153
(continúa)
Lección 11.4 • El teorema de Pitágoras (continuación)
Por cada triángulo rectángulo, encontrarás que esta regla relaciona las longitudes de los catetos con la longitud de la hipotenusa. ( longitud del cateto 1)^2 ( longitud del cateto 2)^2 ( longitud de la hipotenusa )^2
La relación que descubriste en la investigación se conoce como el teorema de Pitágoras. Un teorema es una fórmula matemática o proposición que ha sido probada como cierta. Lee la proposición del teorema en la página 600 de tu libro.
El teorema de Pitágoras es útil para hallar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando conoces las longitudes de los otros dos lados. El ejemplo de tu libro muestra cómo usar el teorema para encontrar la distancia de la base de home a la segunda base en un diamante de béisbol. Lee ese ejemplo y luego lee el ejemplo que se presenta a continuación.
EJEMPLO El tamaño de un aparato de televisión o de un monitor de computadora
se describe dando la longitud de la diagonal de su pantalla. La pantalla de la televisión de Jackson, que es de 27 pulgadas, tiene una altura de aproximadamente 16.25 pulgadas. ¿Qué ancho tiene la pantalla?
Solución Aquí se ve un dibujo de la televisión de Jackson. En la ilustración se muestra
un triángulo rectángulo, en el cual la altura y el ancho de la pantalla son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.
Puedes usar el teorema de Pitágoras para encontrar el ancho de la televisión.
a^2 b^2 c^2 Teorema de Pitágoras.
a^2 16.25^2 272 Un cateto tiene una longitud de 16.25 y la hipotenusa tiene una longitud de 27.
a^2 264.0625 729 Calcula los cuadrados.
a^2 464.9375 Resta 264.0625 de ambos lados.
a (^) 464.93 75 Saca la raíz cuadrada en ambos lados.
a 21.56 Evalúa.
La pantalla de la televisión tiene un ancho de aproximadamente 21.56 pulgadas.
27 pulg (^) 16.25 pulg
a
154 CHAPTER 11 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
Lección 11.5 • Operaciones con raíces (continuación)
Usa lo que has aprendido para hallar el área de cada rectángulo en el Paso 6. Aquí se presentan los resultados de las partes b y d. b. (^2) (^7) (^2) (^7) (^2) (^2) (^7) (^7) d. (^7) (^8) 5 (^6) (^12) (^35) (^8) (^42) (^96)
(^4) (^7) •^7 (^35) (^4) •^2 (^42) (^16) •^6
(^4) (^49) (^35) (^4) (^2) (^42) (^16) (^6)
(^4) 7 28 35(2) (^2) 42(4) (^6)
(^70) (^2) (^168) (^6)
El área es 28 pulgadas cuadradas. El área es aproximadamente 510.51 centímetros cuadrados.
Ahora sigue con el Ejemplo B en tu libro. Luego lee las reglas para reescribir las expresiones radicales que están en la página 605. En el Ejemplo C se muestra cómo puedes usar las reglas para verificar una solución de una ecuación cuadrática. Aquí se presenta otro ejemplo.
EJEMPLO Muestra que 3 2 es una solución de x^2 6 x 7 0.
Solución x^2 6 x 7 Expresión original.
^3 ^ ^2 ^2 ^6 ^3 ^ ^2 ^7 Sustituye^ x^ por^ ^3 ^ ^2 .
^3 ^ ^2 ^2 ^18 ^6 ^2 ^7 Distribuye 6 en^ ^3 ^ ^2 .
Usa un diagrama rectangular para cuadrar 3 (^) (^2) .
9 2 18 7 Combina los términos (^3) (^2) , (^3) (^2) , y 6 (^2) .
0 Suma y resta.
Al sustituir x por 3 2 la expresión x^2 6 x 7 se hace igual a 0, de
modo que 3 (^) (^2) es una solución de la ecuación x^2 6 x 7 0.
3
3 9
2 2
2
3 2
3 2
156 CHAPTER 11 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
Fórmula de la distancia
En esta lección
● descubrirás la fórmula de la distancia, que se utiliza para encontrar la distancia entre dos puntos ● resolverás ecuaciones que contienen expresiones radicales
En el Ejemplo A de tu libro se muestra cómo puedes hallar la distancia entre dos puntos graficándolos, trazando un triángulo rectángulo, y aplicando el teorema de Pitágoras. Lee ese ejemplo atentamente. En la investigación, aprenderás una fórmula que puede usarse para hallar la distancia entre dos puntos sin graficarlos.
Investigación: Parque de diversiones
Pasos 1–4 Observa el mapa del parque de diversiones en la página 612. Puedes hallar las coordenadas para cada una de las atracciones. a. Acróbatas: (1, 4) b. Lanzamiento de pelotas: (2, 2) c. Carros chocones: (4, 3) d. Rueda de la fortuna: (0, 0) e. Casa de los espejos: (3, 1) f. Tienda de pantomima: (3, 3) g. Puesto de refrescos: (5, 2) h. Montaña rusa: (4, 5) i. Martillo: (2, 3) Halla la distancia exacta entre cada par de atracciones enumeradas en el Paso 2. Para las atracciones que no se ubican en la misma recta horizontal o vertical, necesitarás dibujar un triángulo rectángulo y usar el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, puedes usar este triángulo para hallar la distancia entre el puesto de refrescos y el lanzamiento de pelotas. 32 4 2 d^2 9 16 d^2 25 d^2
Debes obtener las siguientes respuestas. a. 6 unidades b. (^) (^10) unidades c. 2 unidades d. 5 unidades e. (^) (^85) unidades La montaña rusa y el martillo son los más alejados. Usando el teorema de Pitágoras, puedes calcular que la distancia entre ellos es 10 unidades. Si cada unidad representa 0.1 milla, entonces están separados 1 milla.
w
2
2 1
3
3
d
Lanzamiento de pelotas
Puesto de refrescos
4
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Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 157
(continúa)
Triángulos semejantes y
funciones trigonométricas
En esta lección
● resolverás una proporción para hallar las longitudes desconocidas de un lado en un par de triángulos semejantes ● identificarás los catetos opuesto y adyacente a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo ● calcularás las razones seno, coseno, y tangente de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
Sabes que los polígonos semejantes tienen lados correspondientes que son proporcionales. En el Ejemplo A de tu libro se revisa cómo encontrar la longitud desconocida de un lado en triángulos semejantes, resolviendo una proporción. Lee y sigue ese ejemplo. Después lee el texto que sucede el ejemplo.
Investigación: Razón, razón, razón
A continuación se presentan cuatro triángulos rectángulos. En cada triángulo, el lado rotulado o es el cateto opuesto al ángulo A y el lado rotulado a es el cateto adyacente al ángulo A. El lado con rótulo h es la hipotenusa.
Para cada triángulo, encuentra la medida del ángulo A, y regístralo junto con las longitudes de los lados en una tabla. Dibuja dos o tres triángulos rectángulos más y agrega sus datos en la tabla. Aquí se presentan las mediciones para los triángulos anteriores.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4 Medida del ángulo A 63° 45° 18° 81° Longitud del cateto adyacente ( a ) 3 5 6 1 Longitud del cateto opuesto ( o ) 6 5 2 6 Longitud de la hipotenusa ( h ) (^) 45 6.71 (^) 50 7.07 (^) 40 6.32 (^) 37 6.
Triángulo 1
a^ A
o h
Triángulo 2
A (^) a
h o
A
Triángulo 3
a
o
h
A
Triángulo 4
a
h o
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Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 159
(continúa)
Lección 11.7 • Triángulos semejantes y funciones trigonométricas (continuación)
Calcula las razones ho^ , ha^ , y ao^ ^ para cada triángulo. Aquí se muestran los resultados para los mismos triángulos.
Ahora, con tu calculadora en el modo de grados, encuentra el seno, el coseno, y la tangente del ángulo A, y registra los resultados en la tabla. (Consulta Calculator Note 11A para aprender cómo manejar estas funciones en tu calculadora.) Aquí se presentan los resultados para estos triángulos.
Estos resultados son aproximadamente iguales a las razones de la tabla anterior. Si hubieras medido los ángulos hasta la décima o la centésima de grado más cercana, los resultados estarían más ajustados. Las razones seno, coseno, y tangente (abreviadas sin, cos, y tan) se definen de la manera siguiente.
sin A
ca h
te ip
to ot
o en
pu u
e sa
sto cos A
cat h
et i
o po
a t
d en
ya u
c s
e a
nte tan A ca
ca te
t t
e o
to a
o d
p y
u ac
e e
s n
to te
Elige uno de los cuatro triángulos anteriores y dibuja un triángulo rectángulo más grande, con un ángulo agudo congruente al ángulo A. Rotula al ángulo congruente con D. Mide las longitudes laterales y calcula las razones seno, coseno, y tangente para el ángulo D. Debes encontrar que las razones son las mismas que las del triángulo original.
El seno, el coseno, y la tangente son conocidos como funciones trigonométricas y son fundamentales en la rama de las matemáticas conocida como trigonometría. Aprender a identificar las partes de un triángulo rectángulo y evaluar estas funciones para mediciones particulares de ángulos es una importante herramienta para resolver problemas. En el recuadro de la página 620 se repasa lo que has aprendido sobre estas funciones.
En el Ejemplo B de tu libro se muestra cómo hallar las razones seno, coseno, y tangente para ángulos particulares de un triángulo. Lee el Ejemplo B y después lee el ejemplo que se presenta a continuación.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4 Medida del ángulo A 63° 45° 18° 81° seno A 0.89 0.71 0.31 0. coseno A 0.45 0.71 0.95 0. tangente A 1.97 1 0.32 6.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4 Medida del ángulo A 63° 45° 18° 81°
ho
6 (^45) ^ ^ ^ 0.89^
5 (^50) ^ ^ ^ 0.71^
2 (^40) ^ ^ ^ 0.32^
6 (^37) ^ ^ ^ 0.
ha
3 (^45)
(^) 0.45
5 (^50)
(^) 0.71
6 (^40)
(^) 0.95
1 (^37)
(^) 0.
ao ^63 2 ^55 1 ^13 0.3^ ^61 6
160 CHAPTER 11 Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
(continúa)
Trigonometría
En esta lección
● usarás las funciones trigonométricas para hallar las longitudes laterales de un triángulo rectángulo ● usarás las funciones trigonométricas inversas para encontrar las medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo ● usarás la trigonometría para ayudarte a interpretar un mapa topográfico
Si conoces la medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y la longitud de un lado, puedes usar funciones trigonométricas para encontrar las longitudes de los otros lados. Si conoces las longitudes de los lados, puedes usar funciones trigonométricas inversas para hallar las medidas de los ángulos. Estas ideas se presentan en los Ejemplos A y B de tu libro. Aquí hay dos ejemplos más.
EJEMPLO A Encuentra el valor x en este triángulo.
Solución La variable x representa la longitud del cateto opuesto al ángulo de 21°.
La longitud del cateto adyacente es 50 cm.
tan A ao Definición de tangente.
tan 21° 5^ x 0 Sustituye A por 21° y a por 50_._
50 tan 21° x Multiplica ambos lados por 50.
19.2 x Evalúa la función tangente y multiplica.
La longitud de x es aproximadamente 19.2 cm. Ahora, intenta hallar la longitud de y.
EJEMPLO B Encuentra la medida del ángulo A.
Solución Como conoces la longitud del cateto adyacente al ángulo A y la longitud de la
hipotenusa, puedes encontrar la razón coseno.
cos A ^27 .. ^36 0.
Puedes hallar la medida del ángulo con el coseno inverso de 0.303.
A cos^1 (0.303) 72°
A
50 cm
21 °
x
y
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Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 11 163
(continúa)
