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Cálculo de Parámetros
Ejemplo 1: Determinar a,b y c para que la función f(x)= x^3 +ax^2 +bx+c tenga un máximo para x=-4, un mínimo para x=0 y tome el valor 1 para x=
valor 1 para x=1 (1,1) f(1)=11=1^3 +a·1^2 +b·1+c a+b+c=
f´(x)=3x^2 +2ax+b Nos dice que existe un mínimo en x=0. Como es un mínimo la pendiente ( o sea la derivada) en ese punto es cero.
f´(0)=0 3· +2a·0+b=0 b=
f´(x)=3x^2 +2ax+b Nos dice que existe un máximo en x=- 4. Como es un máximo la pendiente ( o sea la derivada) en ese punto es cero.
F´(-4)=3·(-4)^2 +2a·(-4)+b=0 48 - 8a+b=0 8a-b=
Resolvemos el sistema { {
Ejemplo 2 : Sea f(x)= x^3 +ax^2 +bx+5. Halla a y b para que la curva y=f(x) tenga en x=1 un punto de inflexión
con tangente horizontal.
Si tenemos una tangente horizontal en x=1, es que la pendiente en x=1 es 0 o que la f’(1)=
Si tenemos un punto de Inflexión en x=1 f´´(1)=
Por lo tanto lo primero que vamos a hacer es derivar nuestra función.
f´(x)= 3x^2 +2ax+b f´(1)=0 3·1^2 +2a·1+b=0 3+2a+b=0 2a+b=- 3
f´´(x)=6x+2a f´´(1)=0 6·1+2a=0 a=- 3
Sustituyendo en 2a+b=- 3 2·(-3)+b=- 3 b=
Ejemplo 3: hallar el valor de b y m para que la curva y= tenga un punto de inflexión en
el punto (0,1) y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1.
Si tiene un punto de inflexión en x=0 f´´(0)=
Si la pendiente en x=0 vale 1 f´(0)=
Y por último pasa por el punto (0,1) f(0)=1 1= 0^3 +b·0^2 +m·0+1 1=1 Se cumple
f´(x)= 3x^2 +2bx+m f´(0)=1 3·0^2 +2b·0+m=1 m= 1
f´´(x)=6x+2b f´´(0)=0 6·0+2b=0 b= 0
Ejemplo 4: La función f(x)= ax^3 +bx^2 +cx+d, tiene como tangente en el punto de inflexión (1,0), la recta y=-
3x+3 , y presenta un extremo en el punto de abcisa x=
Pasa por el punto (1,0) f(1)=0 a·1^3 +b·1^2 +c·1+d= 0 a+b+c+d=
Punto de Inflexión en x=1 f´´(1)=0 f´(x)= 3ax^2 +2bx+c f´´(x)=6ax+2b
f´´(1)=0 f´´(1)= 6a+2b=
Recta tangente a la recta y=-3x+3 en el punto x=
f´(1)=- 3 f´(1)=3a·1^2 +2b·1+c=- 3 3a+2b+c=- 3
Presenta un extremo en x=0, es decir la derivada en ese punto es 0 f´(0)=
f´(0)=3a·0^2 +2b·0+c=0 c=
n= =
= = - 3 b + 14 = - 6 b= - 20
La función resultante será: f(x) =
Ejemplo 7 (EBAU septiembre - 2017 : Dada la función f(x) = determinar los valores de a y b sabiendo
que su gráfica posee un extremo relativo en el punto (-3,
Condiciones : {
f(-3) =
Como f(-3) = = 108 = 81 - 27ª + 9b 3a – b = - 3
Derivamos la función : f´(x) = (^ )
Como f´(-3) = 0 f´(-3) = 27 a - 18b = 0 3a - 2b =
Realizamos el sistema de ecuaciones : { –^ {
La función resultante será: f(x) =
Ejemplo 8: (PAU septiembre- 2016 : Dada la función f(x) = , determinar el valor de a para que tenga
una discontinuidad evitable en x= - 3. Para el valor de a obtenido, definir de nuevo la función para que sea continua en x=- 3
Para que la función tenga una discontinuidad evitable en x= - 3 se debe cumplir que exista el límite en ese punto ( es decir que los límites laterales sean iguales) y que el valor de la función en ese punto sea distinto al de los límites o que la función no exista.
o
Calculamos el límite de la función en el punto x= - 3
= para que existe el límite debemos alcanzar una indeterminación del tipo [ ]
por ello el valor de a tiene que ser 6 (a=6)
= = [ ]
Factorizamos
Redefinimos la función para que la función sea continua:
f(x) = {
Ejemplo 9: (PAU Junio 2015): Dada la función f(x)= , determinar los valores de los parámetros a y
b sabiendo que su gráfica tiene un extremo relativo en el punto (-2,
Condiciones : {
Calculamos la derivada de la función:
2 2 2 2
2 2 8 2 2 2 ( ) 2 8
ax b x x ax bx x f x x x
Como en (–2, ) tiene un extremo relativo f´(-2) = 0
Por tanto:
(^)
4 2 2 1 8 2
a b y
(^) 2
(^4 8 4 2 2 2 ) 8
a b a b
^ ^ (^)
4 2 2 4 40 12 4 0
a b a^ b
(^)
2 1 10 3 1
a b a^ b a = 1 y b = 3
La función resultante será: f(x)=
Ejemplo 12: ( PAU Septiembre-2013). Dada la función f(x) = , determinar los valores de a y b
sabiendo que su grafica tiene como asíntota oblicua la recta y = x + 3
y= x +3 {
m= = m = a= 1 a=
n= =
= = 3 b + 2= 3 b= 1
La función resultante será: f(x) =
Ejemplo 13: (PAU Junio - 2013). La función f(x) = posee un extremo relativo en x 1 y tiene como
asíntota oblicua la recta y 2x 1. Determinar los valores de los parámetros a y b.
Condiciones : {
f´(x) =
f´(1) = 0 f´(1) = a+b+2ab+2 = 0
m= = m = a= - 2 a=- 2
n= =
= = 1 2b + 1= 1 b= 0
La función resultante será: f(x) =
Ejemplo 14: (PAU Junio 2012) La gráfica de la función f(x) = tiene como asíntota oblicua a la recta
y=x. Por tanto, ¿cuáles son los valores de a y b?
y= x {
m= = m = a= 1 a=
n= =
= = 3 b + 3= 0 b= - 3
La función resultante será: f(x) =
Ejemplo 15 (PAU septiembre 2012). Hallar el valor de a de modo que la siguiente igualdad sea cierta:
[ ]
Como
