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ESTADÕSTICA II
Curso 2015 - 2016 Problemas del Tema 1
Nota: En todos los ejercicios, se supone que las muestras utilizadas consti- tuyen una muestra aleatoria simple.
1.- Una variable aleatoria (v.a.) discreta X tiene dos posibles valores 1 ; 2; su funciÛn de probabilidad es fX (1) = 14 , fX (2) = 34.
a) Calcula E(X) y Var(X): b) Una investigadora desconoce la funciÛn de probabilidad de X; pero dispone de una muestra de tamaÒo 3 de X para estimar caracterÌsticas de esta variable. b1) Determina todos los posibles valores de la muestra, y calcula la pro- babilidad de cada uno de ellos. b2) Determina todos los posibles valores de la media muestral X, asÌ como su funciÛn de probabilidad; a partir de Èsta calcula P (X < 1 :5), E(X) y Var(X). b3) Determina todos los posibles valores de la mediana muestral MX , asÌ como su funciÛn de probabilidad; a partir de Èsta calcula P (MX < 1 :5), E(MX ) y Var(MX ).
2.- Se sabe que el n˙mero de artÌculos defectuosos que hay en un lote producido por una empresa es una v.a. discreta X con funciÛn de probabilidad: fX (0) = 0: 7 , fX (1) = 0: 2 , fX (2) = 0: 1. Un investigador no conoce esta funciÛn y quiere estimar la media de la v.a. X, que llamaremos , y su desviaciÛn tÌpica, que llamaremos . Para su estudio el investigador dispone de una muestra de tamaÒo 2 , con la que calcula la media muestral X y la desviaciÛn tÌpica muestral S:
a) Calcula y : b) Calcula la funciÛn de probabilidad de X. øEs E(X) = ? c) Calcula la funciÛn de probabilidad de S. øEs E(S) = ? d) Supongamos que el investigador quiere estimar tambiÈn la probabilidad de que un lote no contenga ning˙n artÌculo defectuoso, es decir fX (0); para ello calcula la frecuencia relativa del valor 0 en su muestra, que llamaremos f 0 : Calcula la funciÛn de probabilidad de f 0 y analiza si E(f 0 ) coincide con fX (0).
3 .- La duraciÛn (en aÒos) de un componente electrÛnico fabricado por una empresa es una v.a. continua X con funciÛn de densidad:
f (x) =
3 8 x
(^2) si 0 x 2
0 en caso contrario
a) Calcula la media de la v.a X:
b) Una investigadora no conoce la funciÛn de densidad de X, y desea estimar su media; para ello, dispone de una muestra con la duraciÛn de 5 componentes fabricados por la empresa, y calcula la media muestral X: b1) øCu·l es la esperanza de la v.a. X?; øcu·l es su varianza? b2) Explica cÛmo cambiarÌan los resultados del subapartado b1 si la investigadora hubiera decidido obtener una muestra con la duraciÛn de 100 com- ponentes. b3) La muestra que ha obtenido la investigadora es la siguiente: 1 : 55 ; 1 : 30 ; 1 : 80 ; 0 : 95 ; 1 : 70 : Indica cu·l es la media muestral que obtendr· la investigadora, y explica quÈ relaciÛn hay entre este valor y el calculado en el apartado a.
4.- Los beneÖcios mensuales (en miles de euros) de un amplio sector de em- presas comerciales se distribuyen seg˙n una distribuciÛn normal de media 10 y varianza 4. Disponemos de una muestra de 16 empresas de este sector, y con ella calculamos la media muestral.
a) Calcula la probabilidad de que la media muestral sea superior a 10 : 2. b) Calcula la probabilidad de que el cuadrado de la media muestral sea superior a 110. c) Calcula la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea, en valor absoluto, superior a 0 : 1 : d) øQuÈ probabilidad se habrÌa obtenido en el apartado c si la muestra hu- biera estado formada por 100 empresas? øY si la muestra hubiera estado formada por 1000 empresas? øQuÈ ocurre conforme aumenta el tamaÒo de la muestra? øEra esperable este resultado?
5.- Un guardabosques desea estimar el ·rea promedio de la base de los pinos. Por estudios pasados, se sabe que las mediciones de estas ·reas (en pulgadas cuadradas) siguen una distribuciÛn normal con una desviaciÛn tÌpica de 4 pulgadas cuadradas.
a) Si el guardabosques selecciona una muestra de 64 pinos, øcu·l es la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea, en valor absoluto, inferior a 0 : 5 pulgadas cuadradas? b) Llamemos p a la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia en- tre la media muestral y la media poblacional sea inferior a 0 : 5 pulgadas cuadradas. Supongamos que el guardabosques puede determinar el tamaÒo de la muestra n: Si el guardabosques quiere asegurarse de que p es, como mÌnimo, el 95%; øcu·l es el mÌnimo n˙mero de pinos n que tendr· que medir?
6.- El n˙mero de indemnizaciones que debe pagar una compaÒÌa de seguros a un asegurado en un aÒo es una v.a. discreta X con funciÛn de probabilidad fX (0) = 0: 9 , fX (1) = 0: 08 , fX (2) = 0: 02 : Si se extrae una muestra de X formada por 100 asegurados, calcula aproximadamente la probabilidad de que la media de la muestra sea menor que 0 : 1 :
10.- El lÌder del partido progresista de un paÌs quiere estimar quÈ proporciÛn de la poblaciÛn p votar· a su partido en las prÛximas elecciones. Para ello ha decidido seleccionar una muestra de n votantes y calcular la proporciÛn de votantes de la muestra bp que votar· a su partido. Con el Ön de que sea poco probable el obtener resultados engaÒosos con esta muestra, el lÌder ha indicado que la probabilidad del suceso jbp pj > 0 : 02 debe ser inferior 0 : 05. Indica cÛmo debe ser n (aproximadamente) para que se cumpla la condiciÛn que ha indicado el lÌder del partido.
11.- Sean X 1 ; X 2 ; X 3 y X 4 variables aleatorias independientes, todas ellas con distribuciÛn normal est·ndar. Calcula cu·l es la probabilidad de que W sea menor que 3 y cu·l es el n˙mero real c para el que se satisface la condiciÛn P (W > c) = 0: 10 ; en los casos siguientes:
a) W = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 b) W = 2 + X 1 3 X 2 c) W = X 12 + X 22 + X 32 + X 42
12.- Se sabe que el tiempo (en horas) que dedica semanalmente al estudio un alumno seleccionado al azar entre los alumnos de una Facultad de Letras es una v.a. con distribuciÛn normal con varianza 2. Disponemos de una muestra de tamaÒo 20 de esta v.a., y con ella calculamos la varianza muestral S^2 y la desviaciÛn tÌpica muestral S: Calcula:
a) La probabilidad de que S^2 sea superior a 2.2. b) La probabilidad de que S sea igual o inferior a 1.3. c) La probabilidad de que S^2 estÈ entre 1.9 y 2.1. d) El valor de k para el cual P (S^2 > k) = 0: 90 :
13.- Los salarios mensuales (en miles de euros) de los directivos de un sector siguen una distribuciÛn normal con media y desviaciÛn tÌpica : Disponemos de una muestra con los salarios de 36 directivos.
a) Suponiendo que = 2: 3 y = 0: 6 , calcula: a1) La probabilidad de que la media muestral de los salarios estÈ entre 2 : 2 y 2 : 5 : a2) La probabilidad de que la desviaciÛn tÌpica muestral sea igual o infe- rior a 0 : 4 : a3) El valor de k para el cual P (S < k) = 0: 05 ; siendo S la desviaciÛn tÌpica muestral. b) Suponiendo ˙nicamente que = 0: 6 , calcula cu·l es la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media pobla- cional sea superior a 0 : 5.
14.- Analiza si las siguientes aÖrmaciones son verdaderas o falsas (si son ver- daderas, demuÈstralas; si son falsas, justiÖca por quÈ).
a) Si X es una v.a. con media y varianza ^2 y X es la media muestral
obtenida con una muestra X 1 ; :::; Xn de X; entonces E(X 2 ) = 2 n +^
b) Si X es una v.a. con distribuciÛn uniforme en [ c; c] y S^2 es la varianza muestral obtenida con una muestra X 1 ; :::; Xn de X; entonces E(S^2 ) = c
2 3 : c) Si X es una v.a. con distribuciÛn binomial Bi(1; p) y X es la media muestral obtenida con una muestra X 1 ; :::; Xn de X; entonces E[X(1 X)] = p(1 p):
d) Si X es una v.a. con distribuciÛn chi-cuadrado, entonces P (X < 1) = 0; sean cuales sean los grados de libertad de la distribuciÛn.
e) Si X 1 , X 2 son dos v.a. independientes con X 1 N (1; 2); X 2 N (2; 2); y consideramos Y = (X 1 1)^2 =2 + (X 2 2)^2 = 2 ; entonces la probabilidad de que Y sea inferior a 4 : 6 es 0 : 10.
