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A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 75
A. Anexo: C´alculo de primitivas
Definici´on A.1 Se dice que una funci´on F (x) es una primitiva de otra funci´on f (x) sobre un
intervalo (a, b) si para todo x de (a, b) se tiene que F
′ (x) = f (x).
Por ejemplo, la funci´on F (x) = x
2 es una primitiva de f (x) = 2x en todo R pues (x
2 )
′ = 2x.
El siguiente teorema es una consecuencia trivial del teorema del valor medio de Lagrange.
Teorema A.2 Sean F 1 (x) y F 2 (x) dos primitivas de la funci´on f (x) en (a, b). Entonces, para todo
x de (a, b), F 1 (x) − F 2 (x) = const. Es decir dada una funci´on f (x) sus primitivas difieren en una
constante (en adelante denotaremos por C a una constante cualquiera).
Definici´on A.3 El conjunto de todas las primitivas de una funci´on f (x) definida en (a, b) se
denomina integral indefinida de f (x) y se denota por
f (x) dx. De manera que, si F (x) es una
primitiva de f (x), ∫
f (x) dx = F (x) + C (A.1)
Mediante una simple derivaci´on es sencillo comprobar el siguiente
Teorema A.4 (Propiedades de la integral indefinida.)
d
d x
[∫
f (x) dx
]
= f (x)
dF (x) = F (x) + C
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x) dx ±
g(x) dx
[A · f (x)] dx = A
f (x) dx
Teorema A.5 Tabla de Integrales
0 dx = C
1 dx = x + C
x
α dx =
x
α+
α + 1
x
dx = log |x| + C
a
x dx =
a
x
log a
sen x dx = − cos x + C
cos x dx = sen x + C
cos 2 x
dx = tan x + C
A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 76
sen
2 x
dx = − cotan x + C
1 − x
2
dx =
arc sen x + C
− arc cos x + C
1 + x 2
dx =
arctan x + C
− arcctg x + C
x 2 ± 1
dx = log
∣x^ +^
x 2 ± 1
∣ +^ C
1 − x 2
dx =
log
x + 1
x − 1
+ C
sinh x dx = cosh x + C
cosh x dx = sinh x + C
cosh
2 x
dx = tanh x + C
sinh
2 x
dx = coth x + C
A.1. M´etodos de integraci´on.
A.1.1. Integraci´on por cambio de variable.
Teorema A.6 Sea t = φ(x) una funci´on derivable en x y sean X = (a, b) el dominio y T = φ[(a, b)]
la imagen de φ(x). Supongamos que sobre el conjunto T existe la primitiva de la funci´on g(t), o
sea, ∫
g(t)dt = G(t) + C.
Entonces sobre todo el conjunto (a, b) la funci´on g[φ(x)]φ
′ (x) tiene una primitiva y adem´as
g[φ(x)]φ
′ (x) dx = G[φ(x)] + C.
Demostraci´on: Basta notar que (G[φ(x)])
′ = G
′ [φ(x)]φ
′ (x) = g[φ(x)]φ
′ (x).
Ejemplo A.
a) Calcular
cos(2x) dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la
tabla. Para ello hacemos:
cos(2x) dx =
y = 2x
dy = 2 dx
cos(y)
dy
sen y + C =
sen(2x) + C
b) Calcular
e
cos x sen x dx. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de
la tabla:
e
cos x sen x dx =
t = cos x
dt = − sen dx
e
y dy = −e
y
cos x
A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 78
A.2. Integraci´on de funciones racionales.
Definici´on A.9 Diremos que una funci´on racional f (x) =
Pn(x)
Qm(x)
es simple si el grado del poli-
nomio Pn(x) es menor que el del polinomio Qm(x), o sea, si n < m.
Si n > m entonces podemos dividir los polinomios Pn(x) y Qm(x) de tal forma que
Pn(x)
Qm(x)
= pn−m(x) +
Rk(x)
Qm(x)
, donde k < m.
Teorema A.10 Supongamos que
Pn(x)
Qm(x)
es una fracci´on simple, y que el polinomio denominador
se puede factorizar de la siguiente forma
Qn(x) = (x − x 1 )
n 1 · · · (x − xp)
np (x
2
m 1 · · · (x
2
mk , (A.4)
donde x 1 , ..., xp son las ra´ıces reales de Qm(x), y los factores x
2
- pix + qi, i = 1, .., k no tienen
ra´ıces reales. Entonces, la fracci´on simple
Pn(x)
Qm(x)
se puede descomponer en las siguientes fracciones
elementales simples:
Pn(x)
Qm(x)
An 1
(x − x 1 ) n 1
An 1 − 1
(x − x 1 ) n 1 − 1
A 1
(x − x 1 )
Bn p
(x − xp)
np
Bn p−^1
(x − xp)
np− 1
B 1
(x − xp)
Mm 1 x + Nm 1
(x 2
M 1 x + N 1
(x 2
Lm k x + Km k
(x 2
L 1 x + K 1
(x 2
(A.5)
donde Ai, Bi, Mi, Ni, Li y Ki son ciertas constantes reales.
Para determinar dichas constantes sumamos los t´erminos de la derecha. N´otese que el denominador
com´un coincide con (A.4) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo n. Luego comparamos
el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones m´as simples en (A.5) con Pn(x).
Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas
que podemos resolver para encontrar los coeficientes indeterminados Ai, Bi, Mi, Ni, Li y Ki. No
obstante es posible encontrar el coeficiente Ani de los sumandos correspondientes a uno de los ceros
reales xi, o sea, el An i de
An i
(x − xi)
ni
An i−^1
(x − xi)
ni− 1
A 1
(x − xi)
utilizando la propiedad que
l´ım x→xi
Pn(x)(x − xi)
ni
Qm(x)
= An i
. (A.6)
Como consecuencia de lo anterior, si Qm(x) tiene m ceros reales y simples, o sea, si su factorizaci´on
es de la forma
Qn(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − xm− 1 )(x − xm), (A.7)
entonces,
Pn(x)
Qm(x)
se puede descomponer en las fracciones elementales simples:
Pn(x)
Qm(x)
A 1
(x − x 1 )
A 2
(x − x 2 )
Am− 1
(x − xm− 1 )
Am
(x − xm)
, (A.8)
A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 79
donde A 1 ,..., Am se calculan por la f´ormula
Ak = l´ım x→xk
Pn(x)(x − xk)
Qm(x)
, k = 1, 2 , ..., m. (A.9)
Teorema A.11 (Primitivas de las fracciones simples m´as elementales)
7
A
x − a
dx = A log |x − a| + C;
B
(x − a) k
dx =
B
1 − k
(x − a) k− 1
M x + N
x 2
dx =
M
log |x
2
2 N − M p √
4 q − p 2
arctan
2 x + p √
4 q − p 2
+ C.
(A.10)
Ejemplo A.
a) Calcular
x
x 2 − 3 x + 2
dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:
x
x 2 − 3 x + 2
x
(x − 1)(x − 2)
A
x − 1
B
x − 2
Luego, utilizando (A.9) obtenemos
A = l´ım x→ 1
x(x − 1)
(x − 1)(x − 2)
= − 1 , B = l´ım x→ 2
x(x − 2)
(x − 1)(x − 2)
Finalmente, utilizando (A.10) obtenemos
x
x 2 − 3 x + 2
dx =
∫ (^
x − 1
x − 2
dx = − log |x − 1 | + 2 log |x − 2 | + C.
a) Calcular
x
(x − 1) 2 (x 2
dx. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:
x
(x − 1) 2 (x 2
A
(x − 1) 2
B
x − 1
Cx + D
x 2
A(x
2
2
- 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)
2
(x − 1) 2 (x 2
Para encontrar los coeficientes A, B, C, D igualamos los polinomios de los numeradores:
x = A(x
2
2
- 1)(x − 1) + (Cx + D)(x − 1)
2 .
Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias x
3 , x
2 , x y x
0 son iguales,
por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:
x
3 : B + C = 0
x
2 : A − B − 2 C + D = 0
x
1 : B + C − 2 D = 1
x
0 : A − B + D = 0
cuya soluci´on es
A =
1 2
B = 0
C = 0
D = −
1 2
Tambi´en es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado n que toman
n − 1 valores iguales en n + 1 puntos dados son id´enticamente iguales, es decir, si Pn(xk) = Qn(xk)
para ciertos x 1 , ..., xn+1 (distintos entre si), entonces Pn(x) ≡ Qn(x) para todo x ∈ R. En nuestro
7 Se supone que x 2
- px + q no tiene ra´ıces reales.
A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 81
b) Calcular la integral
cos
3 x dx. Esta integral es del tipo 2. Luego,
cos
3 x dx =
t = sen x dx =
dt √ 1 −t^2
cos x =
1 − t 2 sen x = t
1 − t
2 dt = t−
t
3 +C = sen x−
sen
3 x
+C.
c) Calcular la integral
tan
3 x dx. Esta integral es del tipo 3. Luego,
tan
3 x dx =
t = tan x dx =
dt 1+t^2
cos x =
1 √ 1+t^2
sen x =
t √ 1+t^2
t
3
1 + t 2
dt =
∫ [
t −
t
1 + t 2
]
dt =
t
2
log(1 + t
2 ) + C =
tan
2 x
log(1 + tan
2 x) + C =
tan
2 x
A.4. Integrales irracionales.
En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma
f (x,
x 2 ± a 2 ) dx,
f (x,
a 2 − x 2 ) dx
y
f
x,
n
ax+b cx+d
dx.
A.4.1. Las integrales
f (x,
x
2
± a
2
) dx y
f (x,
a
2
− x
2
) dx.
Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonom´etricas mediante los cambios:
f (x,
a
2 − x
2 ) dx, cambio x = a sen t
f (x,
x 2 − a 2 ) dx, cambio x =
a
sen t
f (x,
x 2
- a 2 ) dx, cambio x = a tan t
Ejemplo A.
a) Calcular la integral
a 2 − x 2 dx. Esta integral es del tipo 1. Luego,
a 2 − x 2 dx =
x = a sen t
dx = a cos tdt
= a
2
cos
2 tdt =
a
2
t +
a
2
sen 2t + C,
pero, sen 2t = 2sent cos t = 2 sen t
1 − sen
2 t =
2 x a^2
a
2 − x
2 , por tanto
a 2 − x 2 dx =
a
2
arc sen
x
a
x
a 2 − x 2
b) Calcular la integral
x 2 − a 2 dx. Esta integral es del tipo 2. Luego,
x 2 − a 2 dx =
x =
a
sen t
dx = −
a cos t
sen
2 t
dt
= −a
2
cos 2 t
sen 3 t
dt =
y = cos t dt = −
dy √ 1 −y^2
sen t =
1 − y 2 cos t = y
= a
2
y
2
(1−y 2 ) 2
dt =
a
2
∫ [^
(1−y) 2
(1−y)
(1+y) 2
(1+y)
]
dt =
a
2
[
2 y
1 −y 2
+log
y− 1
y+
]
+ C,
A ANEXO: C
ALCULO DE PRIMITIVAS 82
pero, y = cos t =
1 − sen 2 t =
√ x^2 −a^2 x
, por tanto
x 2 − a 2 dx =
x
x 2 − a 2 −
a
2
log
x −
x 2 − a 2
x +
x 2 − a 2
+C =
x
x 2 − a 2 −
a
2
log
∣x^ +^
x 2 − a 2
∣+C.
c) Calcular la integral
x 2
- a 2 dx. Esta integral es del tipo 3. Luego,
x 2
x = a tan t
dx =
dt
cos 2 t
= a
2
cos 3 t
dt =
y = sen t dt =
dy √ 1 −y^2
cos t =
1 − y 2 sen t = y
= a
2
(1 − y
2 )
2
dt =
a
2
∫ [
(1−y)
2
(1−y)
(1+y)
2
(1+y)
]
dt =
a
2
[
2 y
1 −y
2
y + 1
y − 1
]
+ C,
pero, y = sen t =
tan t √ 1+tan^2 t
x √ x^2 +a^2
, por tanto
x 2
x
x 2
a
2
log
x +
x 2
x −
x
2
2
+C =
x
x 2
a
2
log
∣x +
x 2
∣+C.
A.4.2. Las integrales
f
x,
n
ax + b
cx + d
dx.
Las integrales del tipo ∫
f
x,
n
ax + b
cx + d
dx,
se racionalizan mediante el cambio t =
n
ax+b cx+d
Ejemplo A.
Calcular la integral
d x
3
x + 1
. Esta integral se racionaliza con el cambio t =
3
x + 1. Luego,
d x
3
x + 1
t =
3
x + 1
dx = 3t 2 dt
t
2 d t
1 + t
(t−1)dt+
dt
t + 1
t(t−2)+3 log(1+t)+C,
de donde, deshaciendo el cambio t =
3
x + 1, obtenemos
3
x + 1(
3
x + 1 − 2) + 3 log(1 +
3
x + 1) + C.
El c´alculo de primitivas es necesario para calcular integrales definidas de funciones continuas.
Teorema A.17 Teorema fundamental del c´alculo y F´ormula de Newton-Leibniz. Sea f : [a, b] 7 → R
continua en [a, b]. Entonces f tiene primitiva en [a, b] y una de ellas es la funci´on
F (x) =
x
c
f (t) dt, c ∈ (a, b). (A.11)
Adem´as, f (x) es integrable en [a, b] y
b
a
f (x) dx = Φ(x)
b
a
= Φ(b) − Φ(a), (A.12)
siendo Φ(x) una primitiva cualquiera de f (x).
