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TEMA 4- Derivadas y aplicaciones.
Primitivas e integrales.
1.Derivada de una función en un punto.
La derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto de abcisa 𝑎𝑎 se denota por 𝑓𝑓’(𝑎𝑎) y es el valor del
siguiente límite, si existe y es finito:
′
(𝑎𝑎) = lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
Si en esta definición hacemos 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + ℎ, la fórmula es equivalente a:
′
) = lim
ℎ→
2.Función derivada. Derivadas de funciones elementales.
La función derivada de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es otra función denominada 𝑓𝑓’(𝑥𝑥), que asocia a cada
punto 𝑥𝑥 la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en ese punto.
′
) = lim
ℎ→
2.1. Derivada de la suma de funciones.
La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de dichas funciones.
[
)]
′
′
2.2. Derivada del producto de un número por una función.
La derivada del producto de un número por una función es el producto del número por la
derivada de la función.
[
)]
′
2.3. Derivada del producto y el cociente de funciones.
La derivada del producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin
derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda.
[𝑓𝑓(𝑥𝑥) · 𝑔𝑔(𝑥𝑥)]
′
′
La derivada del cociente de funciones es otro cociente tal que el numerador es la derivada del
numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del
denominador, y el denominador es el cuadrado del denominador sin derivar.
′
′
′
[
)]
2
2.4. Derivadas de las funciones elementales.
Para hallar las derivadas de algunas funciones elementales no es necesario utilizar la
definición, pues existen reglas que facilitan su cálculo. Dichas reglas quedan resumidas en la
siguiente tabla.
DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
2.5. Derivada de la función compuesta (o “Regla de la Cadena”).
La derivada de la función f compuesta con g se obtiene utilizando la regla de la cadena:
[(
)]
′
′
- Ejemplo: Calculamos a derivada de 𝑓𝑓
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 cos 𝑥𝑥
4
En primer lugar, escribimos la función como la función compuesta de otras funciones,
𝑓𝑓 y 𝑔𝑔.
4
4
) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 cos 𝑥𝑥
4
En segundo lugar, determinamos la derivada de estas funciones.
′
3
′
2
Finalmente, aplicamos la regla de la cadena.
[(𝑔𝑔 𝑜𝑜 𝑓𝑓)(𝑥𝑥)]
′
′
′
4
2
3
3
8
3.Aplicaciones de las derivadas: Representación de funciones,
problemas de optimización.
3.1. Teoremas de Rolle y del Valor Medio.
El Teorema de Rolle nos indica bajo qué condiciones podemos asegurar que hay un punto con
tangente horizontal en un intervalo dado.
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) una función continua en el intervalo cerrado [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], y derivable en el intervalo
abierto (𝑎𝑎, 𝑏𝑏), si 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏), entonces existe un punto 𝑎𝑎 del intervalo (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) en el
que 𝑓𝑓’(𝑎𝑎) = 0.
El Teorema del Valor Medio nos dice lo siguiente:
Sea f(x) y g (x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b], y derivables en el
intervalo abierto (a,b). Entonces existe un punto c del intervalo (a,b) en el que: (f(b)-
f(a))g´(c)=(g(b)-g(a))f´(c).
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) una función continua en el intervalo cerrado [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], y derivable en el intervalo
abierto (𝑎𝑎, 𝑏𝑏). Entonces existe un punto 𝑎𝑎 del intervalo (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) en el que:
𝑓𝑓(𝑏𝑏)−𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑏𝑏−𝑎𝑎
Nos garantiza bajo qué condiciones existe un punto en el que la recta tangente es
paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))
3.2. La Regla de L’Hôpital.
Sean 𝑓𝑓 y 𝑔𝑔 dos funciones derivables en un entorno del punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎. Si lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
u existe el límite lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)
𝑔𝑔
′
(𝑥𝑥)
= 0, entonces también existe el lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)
𝑔𝑔
′
(𝑥𝑥)
y es:
lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
= lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
′
′
La regla de L’Hôpital también puede usarse si lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∞ y lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = ∞, e incluso si 𝑥𝑥
tiende a ∞.
Calcula lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙𝑥𝑥
1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥
Como si llamamos 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙𝑥𝑥; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1 − 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑥𝑥 𝑥𝑥 se verifica que lim
𝑥𝑥→
lim
𝑥𝑥→
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0, podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
lim
𝑥𝑥→
1 − cos 𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→
De nuevo, tanto el numerador como el denominador se anula para 𝑥𝑥 = 0, luego
aplicamos otra vez la regla de L’Hôpital.
lim
𝑥𝑥→
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥
= lim
𝑥𝑥→
Calcula lim
𝑥𝑥→
7𝑥𝑥
2
−3𝑥𝑥+
5𝑥𝑥
2
+8𝑥𝑥−
Comprobamos que se verifica que lim
𝑥𝑥→∞
) = lim
𝑥𝑥→∞
∞, por lo que podemos
aplicar la regla de L’Hôpital:
lim
𝑥𝑥→∞
2
2
= lim
𝑥𝑥→∞
= lim
𝑥𝑥→∞
3.3. Crecimiento y derivada.
Una función es creciente en un punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 cuando la derivada de la función en ese punto es
positiva.
′
Una función es decreciente en un punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 cuando la derivada de la función en ese punto
es negativa.
′
Si una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) presenta un máximo o un mínimo en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 se cumplirá que 𝑓𝑓’(𝑎𝑎) = 0.
- Ejemplo: Decide en qué intervalos la función 𝑓𝑓
3
2
en cuáles decreciente. ¿Presenta máximos o mínimos?
En primer lugar, hallamos la función derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 𝑓𝑓
′
2
En segundo lugar, resolvemos la ecuación 𝑓𝑓
′
para determinar los posibles
máximos y mínimos de la función.
Si calculamos la derivada de la función 𝑓𝑓′(𝑥𝑥), obtenemos otra función que llamamos derivada
segunda de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y que escribimos 𝑓𝑓
′′
(𝑥𝑥). Análogamente podremos determinar las derivadas
tercera, cuarta… Calculando así las derivadas sucesivas de una función.
Una función tiene un mínimo en un punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 si la derivada se anula y la derivada segunda
es positiva en dicho punto.
′
′′
(𝑎𝑎) > 0 → 𝑓𝑓(𝑎𝑎) tiene un mínimo en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎.
Una función tiene un máximo en un punto 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 si la derivada se anula y la derivada segunda
es negativa en dicho punto.
′
′′
tiene un máximo en 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎.
Una función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es convexa en un intervalo [𝒂𝒂, 𝒃𝒃] si 𝒇𝒇’(𝒙𝒙) es estrictamente creciente y
Una función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es cóncava en un intervalo [𝒂𝒂, 𝒃𝒃] si 𝒇𝒇’(𝒙𝒙) es estrictamente decreciente y
Una función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) tiene un punto de inflexión en 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂 si 𝒇𝒇’(𝒂𝒂) = 𝟎𝟎 y existe 𝒇𝒇’’(𝒂𝒂).
- Ejemplo: Determina los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y
convexidad de la función 𝑓𝑓
5
Calculamos la derivada segunda 𝑓𝑓
′′
3
. Se anula en 𝑥𝑥 = 0. Calculamos las
derivadas sucesivas:
′′′
2
𝐼𝐼𝐼𝐼)
𝐼𝐼)
𝐼𝐼)
La primera derivada que no se anula en 𝑥𝑥 = 0 es la quinta, es impar, luego en (0,2)
hay un punto de inflexión y como no se anula la derivada primera, no es un punto de
inflexión de tangente horizontal.
La derivada segunda 𝑓𝑓
′′
3
es positiva si 𝑥𝑥 > 0 y negativa si 𝑥𝑥 < 0, por lo
tanto la función es convexa en el primer caso y cóncava en el segundo.
3.6. Cálculo de la recta tangente a una función en un punto.
La pendiente de la recta tangente de la gráfica de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto (𝑎𝑎, 𝑓𝑓
es igual a
𝑓𝑓′(𝑎𝑎). Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:
′
- Ejemplo:
Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥
3
en 𝑥𝑥 = 1 buscamos la recta de pendiente 𝑓𝑓
′
que pase por el punto (1, 𝑓𝑓
3
′
2
′
2
Ecuación de una recta de pendiente 7 que pasa por el punto
3.7. Representación de funciones.
Otra de las aplicaciones de la derivada es la representación gráfica de funciones. El orden a
seguir sería el siguiente:
a) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
b) Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento de la función en el infinito.
c) Derivada primera: Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
d) Derivada segunda: Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Haz un esbozo de la gráfica de la función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
−2𝑥𝑥+
𝑥𝑥+
- Puntos de intersección con los ejes coordenados
Rama I no corta al eje de abscisas. La rama II tampoco. Si 𝑥𝑥 = 0 en la rama II
tenemos que 𝑓𝑓(0) = 2, el punto 𝐵𝐵(0,2) de la gráfica.
- Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito.
La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es continua en todos los puntos salvo en {0,-1}
Comportamiento en 𝑥𝑥 = 0: lim
𝑥𝑥→
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
� = +∞. A la izquierda de 0 toma el valor 2.
En x = -1 tiene una asíntota vertical.
Comportamiento en 𝑥𝑥 tiende a ∞: lim
𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
= +∞; lim
𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥
2
−2𝑥𝑥+
𝑥𝑥+
- Derivada primera: crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
′
𝑥𝑥
2
2
2
En 𝑥𝑥 = 0 no es derivable pues no es continua.
Observando el signo de la derivada tenemos que la función es creciente en el
intervalo (−∞, − 1 − √5), decreciente en (− 1 − √5, −1), decreciente en (−1,0),
y es decreciente en (0, 1) y creciente en (1, +∞)
En 𝑥𝑥 = 1 hay un mínimo: 𝐴𝐴(1, 𝑥𝑥).
En 𝑥𝑥 = − 1 − √ 5 hay un máximo, en el punto C de la gráfica.
- Derivada segunda: concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
′
𝑥𝑥
2
3
3
La derivada segunda no se anula en la rama I ni en la rama II. No hay puntos de
inflexión. Es cóncava de
y convexa de
y de
3.8. Problemas de Optimización.
∫
(5𝑥𝑥
4
5 𝑥𝑥
4
𝑑𝑑𝑥𝑥 + ∫
2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
5
2
5
2
′
4
5.Integrales de funciones elementales. Métodos de integración.
5.1. Integrales de funciones elementales.
Para hallar las integrales de algunas funciones elementales existen reglas que facilitan su
cálculo. Dichas reglas quedan resumidas en la siguiente tabla.
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
a) ∫ 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 + 𝑘𝑘
b) ∫
c) ∫ 𝑥𝑥
5
𝑥𝑥
5+
5+
𝑥𝑥
6
6
d) ∫ √𝑥𝑥
3
1 / 3
𝑥𝑥
1
3
1
3
𝑥𝑥
4
3
4
3
3
4
4
3
𝑑𝑑𝑥𝑥 = cos 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐
2
3
cos 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐
�[1 − (𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 𝑐𝑐)
2
]
3
cos 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐
�(cos
2
3
cos 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐
cos
3
cos
2
Esta primitiva es inmediata:
cos
2
Finalmente, deshacemos el cambio:
2
3
En este caso, la expresión final es bastante fea, pero podemos mejorarla. Si en
lugar de deshacer el cambio directamente buscamos la relación entre el seno y la
tangente:
cos 𝑐𝑐
2
Obtenemos:
cos
2
2
2
3
2
Integración por partes: La integración por partes es un método que nos permite calcular la
integral del producto de dos funciones de naturaleza diferente, una fácilmente derivable y
otra fácilmente integrable. Los casos más frecuentes son arcos, logaritmos, polinomios,
exponenciales y trigonométricas (senos y cosenos), que nos permiten crear la regla
mnemotécnica A-L-P-E-S.
Con el método de integración por partes transformaremos integrales de la forma
′
(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥, donde 𝑣𝑣’(𝑥𝑥) es la función fácil de integrar, en otra expresión más sencilla en
la que aparece una nueva integral más fácil de calcular que la de partida. Se utiliza la siguiente
fórmula: ∫ 𝑢𝑢 · 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑢𝑢 · 𝑣𝑣 − ∫ 𝑣𝑣 · 𝑑𝑑𝑢𝑢
Observaciones:
Como norma general, se elige como 𝑢𝑢 a la primera función de la palabra ALPES y como
𝑑𝑑𝑣𝑣 al resto del integrando, pudiendo darse el caso de tener que plantear 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑥𝑥.
2
2
2
2
2
Sabremos que estamos aplicando correctamente el método si obtenemos una integral
más simple que la inicial.
𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑣𝑣 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − cos 𝑥𝑥
⇒ 𝑥𝑥 · (− cos 𝑥𝑥
− �(− cos 𝑥𝑥) · 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
= −𝑥𝑥 · cos 𝑥𝑥 + � cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −𝑥𝑥 · cos 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
El proceso de integración por partes puede aplicarse varias veces. En ese caso se debe
mantener la elección inicial de 𝑢𝑢 y 𝑣𝑣. Si se invierte, volveremos a la integral de partida.
2
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
Si la integral inicial es el producto de una exponencial por una trigonométrica, se
obtiene lo que se denominan integrales cíclicas. Al aplicar por segunda vez el método
de integración por partes, se obtiene la integral de partida, y se debe resolver como
una ecuación.
2𝑥𝑥
· cos 3𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑣𝑣 = cos 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑣𝑣 = � cos 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· cos 3𝑥𝑥
� 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· cos 3𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
1
3
· 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 3 𝑥𝑥 −
2
3
· �𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· �−
1
3
cos 3𝑥𝑥� − �(−
1
3
cos 3𝑥𝑥) · 2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· 𝑑𝑑𝑥𝑥� ⇒
� 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· cos 3𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
1
3
· 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑙𝑙 3 𝑥𝑥 −
2
9
· 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
cos 3𝑥𝑥 −
4
9
� 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
cos 3𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥
Observaos que obtenemos la integral de partida. Si denotamos 𝐼𝐼 = ∫ 𝑥𝑥
2𝑥𝑥
· cos 3𝑥𝑥 · 𝑑𝑑𝑥𝑥:
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
cos 3𝑥𝑥 −
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
cos 3𝑥𝑥 ⇒ 𝐼𝐼 =
2𝑥𝑥
2𝑥𝑥
Consideraremos sólo el caso en el que el grado del numerador 𝑃𝑃(𝑥𝑥) es menor que el grado del
denominador 𝑄𝑄(𝑥𝑥), teniendo el denominador sólo raíces simples.
Sean 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, … 𝑙𝑙 las raíces de 𝑄𝑄(𝑥𝑥), polinomio mónico como ya se ha dicho. Entonces, podemos
factorizarlo en la forma 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) · (𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) · … · (𝑥𝑥 − 𝑙𝑙). El procedimiento consiste en
descomponer el cociente como:
Con 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, … 𝑁𝑁 ∈ ℝ. Así expresamos la integral de partida como suma de integrales inmediatas:
= 𝐴𝐴 · ln|𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
𝐵𝐵 · ln|𝑥𝑥 − 𝑏𝑏
⋯ + 𝑁𝑁 · ln|𝑥𝑥 − 𝑙𝑙
2
Calculamos las raíces del denominador y factorizamos el denominador:
2
2
Por tanto, expresamos la fracción como suma de fracciones simples:
2
Calculamos los coeficientes:
Y calculamos A y B dando a 𝑥𝑥 los valores de las raíces encontradas:
- si 𝑥𝑥 = − 4 ⇒ 5 = 0 · 𝐴𝐴 − 5 · 𝐵𝐵 ⇒ 𝐵𝐵 = − 1
- si 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 5 = 5 · 𝐴𝐴 + 0 · 𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴 = 1
De aquí ya obtenemos las dos integrales logarítmicas:
2
𝑑𝑑𝑥𝑥 = ln|𝑥𝑥 − 1| − ln|𝑥𝑥 + 4| + 𝐶𝐶 = ln �
6.Integral definida. Aplicaciones de la integral.
6.1. Integral definida.
Sea una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) continua y no negativa en un intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Definimos la integral
definida entre 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) como la expresión ∫
𝑏𝑏
𝑎𝑎
. Su valor es el área comprendida
entre la gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), el eje de abscisas, y las rectas 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 y 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏. Los valores de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 se
llaman límites de integración.
Propiedades:
Si los límites de integración son iguales, la integral definida vale cero: ∫
𝑎𝑎
𝑎𝑎
Si la curva está por encima del eje 𝑋𝑋 (𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0), la integral es positiva, ∫ 𝑓𝑓
𝑏𝑏
𝑎𝑎
0 , mientras que si la curva está por debajo del eje 𝑋𝑋 (𝑓𝑓
, la integral es
negativa, ∫
𝑏𝑏
𝑎𝑎
Sea 𝑎𝑎 ∈
entonces podemos descomponer la integral de la forma:
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑐𝑐
Si intercambiamos los límites de integración, la integral cambia de signo.
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
Dadas dos funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) continuas en el intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], se tiene que:
� [𝑓𝑓
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥] = � 𝑓𝑓
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑎𝑎
� [𝑓𝑓
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥] = � 𝑓𝑓
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑎𝑎
Dada una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) continua en el intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] y una constante 𝑘𝑘 ∈ ℝ, se tiene:
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑎𝑎
Dadas dos funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) continuas en el intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], verificando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤
∀𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏], se tiene:
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑎𝑎
6.2. Teorema fundamental del Cálculo Integral. Regla de Barrow.
Teorema Fundamental del Cálculo Integral: Sea 𝑓𝑓 una función continua en el intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] y
sea 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ∫
𝑥𝑥
𝑎𝑎
, con 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] la función integral. Entonces 𝐹𝐹 es derivable en (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) y
′
𝑓𝑓(𝑥𝑥) para cualquier punto 𝑥𝑥 ∈
Desde el punto de vista práctico, si tenemos la representación gráfica de la función se puede
plantear el área como suma o resta de las regiones donde la función es positiva o negativa,
respectivamente.
Halla el área encerrada entre la gráfica de la función 𝑓𝑓
2
− 2 𝑥𝑥 − 3 , el eje 𝑋𝑋 y las
rectas 𝑥𝑥 = − 3 y 𝑥𝑥 = 4.
La función 𝑓𝑓
2
− 2 𝑥𝑥 − 3 es una función polinómica, luego es continua en todo
ℝ, y por tanto es continua en el intervalo [−3, 4].
La gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una parábola cóncava (∪).
Calculamos el vértice:
𝑏𝑏
2𝑎𝑎
2
2
= 1 Si 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑓𝑓
2
Tenemos: 𝑣𝑣(1, −4)
Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X.
Para ello, resolvemos la ecuación 𝑓𝑓
2
Hallamos una primitiva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥):
2
3
2
Hemos obtenido tres regiones. El área total será la suma del área de cada región:
Área = �∫ (𝑥𝑥
2
−
−
2
3
−
2
4
3
2
Por tanto, el área de la región es igual a
71
3
2
También podríamos plantear, ya que tenemos la representación gráfica de la función:
a 𝑥𝑥
1
2
b
f(x)
Á𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 = Á𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎
1
− Á𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎
2
3
= � (𝑥𝑥
2
− 2 𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑥𝑥 − � (𝑥𝑥
2
− 2 𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥
2
− 2 𝑥𝑥 − 3)𝑑𝑑𝑥𝑥
4
3
3
−
−
−
Es decir:
Á𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 = �
3
2
−
−
3
2
−
3
2
`
2
Para calcular el área comprendida entre las gráficas de las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) en el
intervalo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] es igual que al área que se encierra entre la función diferencia (𝑓𝑓 − 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) y el
eje 𝑋𝑋 en ese intervalo: 𝐴𝐴 = ∫
[𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥)] 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
, siendo 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Si no se determina qué
función está por encima de la otra, podemos escribir la expresión general:
𝑏𝑏
𝑎𝑎
Sin embargo, desde el punto de vista práctico, en el caso en el que las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
tengan varios puntos de corte, será conveniente hallar las diferentes regiones y determinar las
áreas por separado.
Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥
2
𝑥𝑥 entre las rectas 𝑥𝑥 = − 1 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 3.
Las representaciones gráficas de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑔𝑔(𝑥𝑥) son una parábola y una recta,
respectivamente, así que es de esperar que haya dos cortes entre ellas y por tanto es
posible que haya varias regiones diferenciadas a tener en cuenta.
La gráfica de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥
2
- 4𝑥𝑥 es una parábola convexa. Hallamos su vértice:
𝑥𝑥 = −
𝑏𝑏
2 𝑎𝑎
= −
4
2 · (−1)
= −
4
− 2
𝑆𝑆𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 2 ⇒ 𝑓𝑓(2) = − 2
2
- 4 · 2 = −4 + 8 = 4 ⇒ 𝑉𝑉(2,4)
Calculamos los puntos de corte de la función con el eje 𝑋𝑋, resolviendo la ecuación
2
Buscamos los puntos de corte entre las dos funciones, resolviendo la ecuación 𝑓𝑓
2
2
2
Por tanto, el área que queremos calcular será:
Á𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 = � |(𝑓𝑓 − 𝑔𝑔)(𝑥𝑥)|𝑑𝑑𝑥𝑥
3
−
