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TEMA 4: CÁLCULO INTEGRAL
1. Integrales inde nidas
La integral inde nida de un función f se de ne como el conjunto de todas sus primitivas y se representa: ˆ f (x)dx = F (x) + C ∀C∈ R
Propiedades. Tres propiedades de las integrales inde nidas:
k · f (x)dx = k
f (x)dx ∀k ∈ R
[f (x) + g(x)] dx =
f (x)dx +
g(x)dx
[f (x) − g(x)] dx =
f (x)dx −
g(x)dx
1.1. Integrales inmediatas
kdx = kx + C ∀k ∈ R
xndx = n
n+ n + 1
x dx^ = ln^ |x|^ +^ C
exdx = ex^ + C
axdx = a
x ln a +^ C^ ∀a^ ∈^ R
sin xdx = − cos x + C
cos xdx = sin x + C
cos^2 x dx^ =^
1 + tan^2 x
dx = tan x + C
1 + x^2 dx^ = arctan^ x^ +^ C 1.2. Integrales por cambio de variable ˆ
f (x)dx =
[
x = ϕ(t) dx = ϕ′(t)dt
]
f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt
1.3. Integrales por partes (^) ˆ udv = u · v −
vdu
1.2. Integrales racionales (^) ˆ P (x) Q(x) dx
Cuando el grado del numerado es mayor o igual que el grado del denominador, es decir, el grado de P (x) ≥el grado de Q(x) tenemos que dividir: (^) ˆ P (x) Q(x) dx^ =
C(x)dx +
ˆ (^) R(x) Q(x) dx
Donde C(x) es el cociente de la división, R(x) es el resto de la división y Q(x) es el divisor de la división. Así conseguimos que el grado del numerado sea menor que el grado del denominador. Una vez que el grado del denominador es menor que el denominador tenemos que hallar las raices del denominador y nos podemos encontrar con 3 casos diferentes, que por tanto se resuelven de forma distinta:
- Todas las raices del denominador son reales y distintas.
- Todas las raices del denominador son reales pero alguna raiz es múltiple (es decir, no son todas distintas).
- Las raices del denominador son complejas (es decir, no son reales).
2. Integrales de nidas
2.1. Regla de Barrow La integral de nida de una función f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia de los valores que toma una primitiva F (x) cualquiera en los extremos superior e inferior del intervalo [a, b].
ˆ^ b
a
f (x)dx = (^) F (x)
b a^ =^ F^ (b)^ −^ F^ (a)
2.2. Integrales impropias La integrales imporpias son aquellas integrales de nidas en las que se dan alguna de las siguientes circuntancias:
- El intervalo de integración [a, b] no está acotado. Es decir, es del tipo [a, ∞] o [−∞, b] o [−∞, ∞].
- La funcíon no esta de nida en todo el intervalo [a, b]. Es decir, algun punto del intervalo [a, b] no pertenece al dominio de la función.
Si se dan alguna de estas circuntamcias tenemos que calculas la integral con límites. Y podemos encontrarnos con 2 casos: que la integral converja (si el límite da un valor nito); o que la integral diverja (si el límite da ∞ ).
3. Funciones eulerianas: las funciones gamma y beta
3.1. Funciones Gamma Sea la función Γ : [0, ∞) −→ R se de ne como:
Γ(p) =
0
xp−^1 e−xdx
Propiedades. Las funciones Gamma tienen las siguientes propiedades:
- Para todo p > 0 se tiene que la función Γ es siempre convergente.
- Para todo p > 0 se tiene que Γ(p + 1) = p · Γ(p).
- Para todo n ∈ N se tiene que Γ(n) = n − 1!^1.
- Γ(^12 ) = √π.
3.2. Funciones Beta Sea la función β : [0, ∞) × [0, ∞) −→ R se de ne como:
β(p, q) =
ˆ^1
0
xp−^1 (1 − x)q−^1 dx
Propiedades. Las funciones Beta tienen las siguientes propiedades: (^1) Recordar que 0!=
