Cálculo Integral, Diapositivas de Matemáticas

¡Descarga Cálculo Integral y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Bienvenid@s

Universidad Nacional Toribio Rodríguez de Mendoza

Amazonas – Perú

2022

CÁLCULO INTEGRAL

TEMARIO

Integración de la función homográfica irracional. Integración por sustitución de Chebyshev. Integración por el método alemán.

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN

HOMOGRÁFICA IRRACIONAL

Procedimiento:

; n^

ax b

R x dx

cx d

Hacemos: n^

ax b z cx d

=

Despejamos la variable x:

dz b x a cz

−

−

Derivamos con respecto a x: 2 2

2 ( )

( )

z ad bc dx dz a cz

−

−

Reemplazamos en la integral y efectuamos

operaciones, obteniendo una función racional.

Son integrales de la forma:

EJEMPLO

2 1 1 3 2

x dx x x

−

 − Resolver: I

2 1 3 2

x z x

−

−

(^2 )

3 2

x z x

−

−

2

2

1 2

2 3

z x z

−

−

Hacemos:

Elevamos al cuadrado:

Despejamos la variable x:

Derivamos: 2 2

2

(2 3 )

z dx dz z

−

−

Reemplazamos en la integral

2 2 2

2

1 2

1 2 (2 3 )

2 3

z z dz z z

z

−

− −

−

I 

2 (^2) (1 2 2 ) (2 3 2 )

z dz z z

= − − −

I 

Efectuamos operaciones:

Tenemos:

Entonces:

Integramos:

Efectuamos operaciones:

Expresamos en función de x:

z z

Ln Ln

z z

I

2 2 2 2

dz dz

z z

 (^) −  −

I

z z

Ln Ln

z z

I

x x

Ln x^ Ln x

x x

x x

= − −^ + −

I

2 2 2 2

dz dz

z z

 (^) −  −

I

EJEMPLO

INTEGRACIÓN DEL BINOMIO

DIFERENCIAL

Son integrales que tienen la siguiente estructura:

Donde: m , n , p son números racionales y a , b son números reales.

( )

m n p x ax + b dx 

INTEGRACIÓN DEL BINOMIO

DIFERENCIAL

CASO I

( )

m n p x ax + b dx 

Cuando p^  Z

PROCEDIMIENTO

Considerar: x = z s , donde : s = MCM ( denom m ( ), denom n ( ))

Luego hallar: dx = sz s −^1 dz

Reemplazar los resultados anteriores en la integral original y obtendremos un integrando

racional simple, sin radicales ni exponentes fraccionarios.

Resolver:

EJEMPLO

RESOLUCIÓN

I = (^)  x (2 x +1) dx

Consideramos: x = z^2 , donde : 2 = MCM (2, 2)

Reemplazamos los resultados anteriores en la integral:

Simplificamos el integrando:

Derivamos: dx = 2 z dz

I = z^3 (2 z +1) 202 z dz 

Efectuamos operaciones: I^ =^2  z^^4 (2^ z^ +1)^20 dz

Realizamos un nuevo cambio de variable:

1

2 2 1 1

2

u z z u

dz du

 −  = 

• =  (^)   (^) = 

I = ( z 2 3/2) (2( z 2 1/2) +1) 202 zdz 

Tenemos que:

3 2 1 2 20

m

n

p

=

=

=

Efectuamos operaciones:

Efectuamos la potencia:

(^1) ( 4 4 3 6 2 4 1) 20

16

I = (^)  u − u + u − u + u dz

Efectuamos la multiplicación:

4 2 1 20 1 2 2

u I u du

 −  = (^)    



Integramos:

Reemplazamos los resultados anteriores en la integral:

(^1) ( 1) 4 20 16

I = (^)  u − u du

(^1) ( 24 4 23 6 22 4 21 20 )

16

I = (^)  u − u + u − u + u dz

1 25 24 6 23 2 22 21

16 25 6 23 11 21

u u u u u I C

  = (^)  − + − + (^) +    

Reescribimos en z:

1 (2 1) 25 (2 1) 24 6 (2 1) 23 2 (2 1) 22 (2 1)^21 16 25 6 23 11 21

z z z z z I C

 (^) + + + + +  = (^)  − + − + (^) +    

Reescribimos en x:

1 (2 1)^25 (2 1) 24 6 (2 1)^23 2 (2 1) 22 (2 1)^21 16 25 6 23 11 21

x x x x x I C

 (^) + + + + +  = (^)  − + − + (^) +    

EJEMPLO

Resolver:

1 1, 1 2

m = n = p =

1 1 1 1 2

m Z n

= = 

Tenemos:

Estamos en el CASO II

Consideremos:^3 x = z  x = z^3  dx = 3 z dz^2

3 3

2 x

dx

x



I

2 z (^) 3 z dz 2

z

−



I

Simplificamos: = 3 z (2 − z )1/2 dz 

I

Tenemos:



RESOLUCIÓN

Consideramos:

Efectuamos operaciones:

Reemplazamos los resultados anteriores en la integral: = 3 ( u^2 −2) ( u 2 1/2) 2 u du 

I

2 2 2 2 2

z u z u dz u du

 (^) = −

• =  (^)   =

Efectuamos la multiplicación:

Integramos:

= 6 ( u^2 −2) u^2 du 

I

= 6 ( u^4 − 2 u^2 ) du 

I

5 2 3 6 5 3

u u C

  = (^)  − (^) +  

I

Reescribimos en z:

5/ 6(2 ) (^) 4 (2 )3/ 5

z z C

I = − + +

Reescribimos en x:

3 5/ 6(2 ) (^) 4 (2 3 )3/ 5

x x C

I = − + +

EJEMPLO

Resolver:

3 2, 2 2

m = − n = p = −

1 2 1 3 1 3 2 2 2 2 2

m p Z n

• − +
• = − = − − = − 

Tenemos:

Despejamos la variable x:

Estamos en el CASO III

Reescribimos el integrando:

2 2 3/

1

(1 )

dx x x

=  +

I

= x −^2 (1 + x^2 )−3/2 dx 

I

RESOLUCIÓN



Resolvemos:

Reescribimos la integral:

Derivamos: − 2 x −^3 dx = 2 z dz  x −^3 dx = − zdz

2 2 2

1 x z x

= De donde: x −^2 + 1 = z^2

( )

2 2 3/ x 1 x dx −^ − = + 

I