Calculo Integral de Funcion continua., Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga Calculo Integral de Funcion continua. y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!

C·lculo en una variable real:

Integral Riemann para continuas

Joel Cruz RamÌrez

ii

• 1. Sumas de Riemman e Integral DeÖnida IntroducciÛn V
  • 1.1. Particiones y etiquetas
    • 1.1.1. Dos particiones b·sicas
  • 1.2. Suma de Riemann
  • 1.3. Integral deÖnida
    • 1.3.1. C·lculo de integrales de funciones elementales
• 2. C·lculo de Integrales deÖnidas
     • 2.0.2. Integrales de funciones elementales
     • 2.0.3. Propiedad de linealidad
  • 2.1. Cambio de variable
    • 2.1.1. Cambio de variable lineal
    • 2.1.2. Con sustituciÛn trigonomÈtrica
    • 2.1.3. Con cuadr·ticas simples
    • 2.1.4. Con identidades trigonomÈtricas
  • 2.2. Por fracciones parciales
    • 2.2.1. El denominador se factoriza en factores lineales simples
      • tienen multiplicidad 2.2.2. El denominador se factoriza por medio de factores lineales y algunos
      • ducibles reales simples 2.2.3. El denominador se factoriza por medio de factores cuadr·ticos irre-
      • ducibles reales con multiplicidad 2.2.4. El denominador se factoriza por medio de factores cuadr·ticos irre-
  • 2.3. SustituciÛn universal
  • 2.4. Mas con cambio de variable
  • 2.5. IntegraciÛn por partes iv ÕNDICE GENERAL
• 3. Teorema fundamental y desigualdades
  • 3.1. Teorema fundamental del c·lculo
• 4. Integral impropia
  • 4.1. Sobre intervalo no acotado
  • 4.2. Para funciÛn no cotada

IntroducciÛn

La colecciÛn de temas para desarrollar en C·lculo Integral de funciÛn continua son las sumas de Riemann, c·lculo de integrales deÖnida, propiedades de la integral, y teorema fundamental del c·lculo, e integral impropia. Los temas en su presentaciÛn favorecen en primer lugar a la interpretaciÛn y enseguida el c·lculo operacional. Esta recopilaciÛn se maneja como una guÌa tem·tica en que sobre- salen la ejercitaciÛn, los ejercicios y problemas que han de auxiliar al alumno para adquirir y fortalecer sus habilidades matem·ticas emanadas y sustentadas por el c·lculo integral.

En capÌtulo1, se da el panorama de las sumas de Rieman

En el capÌtulo 2, se muestran tÈcnicas para el c·lculo de integrales deÖnidas. Para este capÌtulo se requiere el c·lculo en derivadas.

En el capÌtulo 3, se presentan las consecuencias de la integral deÖnida para funciones continuas, esto obedece a interpretar teÛricamente la integral, que para concebir la nociÛn se recurre a las sumas de Riemann. Se analizan las propiedades generales de la integral deÖnida y se destacan los teoremas fundamentales del c·lculo.

En el capÌtulo 4, contin˙a la apreciaciÛn teÛrica de la integral con la integral impropia en sus dos vertientes, sobre intervalos no acotados y de funciÛn inÖnitamente grande en torno a un punto. Se acentuan aspectos teÛricos de convergencia de las integrales impropias. Al Önal del proceso de enseÒanza aprendizaje del c·lculo integral aunado al c·lculo diferencial y en derivadas, el alumno alcanza un peldaÒo m·s en su formaciÛn. En este nivel

v

CapÌtulo 1

Sumas de Riemman e Integral

DeÖnida

1.1. Particiones y etiquetas

Una particiÛn P del intervalo cerrado [a; b]  R es una colecciÛn de n + 1 puntos diferentes del intervalo, fx 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : ; xn 1 ; xng  [a; b], tal que

x 0 = a y xn = b

adem·s x 0 < x 1 < x 2 < : : : < xn 1 < xn.

La longitud de cada subintervalo [xk 1 ; xk] es
xk = xk xk 1 con k = 1; 2 ; : : : ; n y con esto se tiene

x 0 = a x 1 = a +
x 1 x 2 = a +
x 1 +
x 2 ...

xk = a +
x 1 +
x 2 +


+
xk ...

xn = a +
x 1 +
x 2 +


+
xk +


+
xn:

La norma de la particiÛn P es kP k = 1 mkaxn f
xkg.

2 CAPÕTULO 1. SUMAS DE RIEMMAN E INTEGRAL DEFINIDA

DeÖniciÛn. Si en la particiÛn P = fx 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : ; xn 1 ; xng  [a; b] en cada subin- tervalo [xk 1 ; xk] se elige un punto k, entonces la particiÛn

 P : a = x 0   1  x 1   2  x 2   3  : : :  n 1  xn 1  n  xn = b

se llama una particiÛn etiquetada de P con etiquetas k.

Ejercicio

1.- Sobre el intervalo [2; 9] dibujar puntos de una particiÛn con 4 ; 7 ; 11 ; o 15 puntos.

Elegir etiquetas como el punto medio de cada subintervalo.

1.1.1. Dos particiones b·sicas

Se tienen dos particiones elementales una la de la norma uniforme, la otra la de la pro- gesiÛn geomÈtrica. Cada una de estas particiones es utilizada de acuerdo a las necesidades que imperen. 1.- ParticiÛn de norma uniforme. Se toma la longitud ba del intervalo [a; b] para hacer kP k = b^ n^ a= h para producir los elementos de la particiÛn fx 0 ; x 1 ; x 2 ; : : : ; xn 1 ; xng

x 0 = a x 1 = a + h x 2 = a + 2h ...

xk = a + kh ...

xn = a + nh = a + nb^ n^ a= b.

2.- ParticiÛn con elementos distribuidos en progresiÛn geomÈtrica. Se toma el n˙mero n

r b a considerando el intervalo^ [a; b]^ con^ a >^0.

4 CAPÕTULO 1. SUMAS DE RIEMMAN E INTEGRAL DEFINIDA

1.- Sobre el intervalo [2; 7] dar particiones arbitrarias para n = 5; 7 ; 10 ; y 13 puntos,

para calcular las sumas de Riemann sobre cada particiÛn con la funciÛn

f (x) = 5

p x^3 1

con las etiquetas k = xk 1 + xk^ x 2 k^1.

2.- Sobre el intervalo [2; 7] calcular las sumas de Riemann sobre la particiÛn de norma

uniforme para n = 4; 7 ; 11 ; y 15 de la funciÛn

f (x) = 5

p x^3 1

para k = xk 1 , k = xk.

3.- Sobre el intervalo [2; 9] calcular las sumas de Riemann sobre la particiÛn de la

progresiÛn geomÈtrica, para n = 4; 7 ; 11 ; y 15 de la funciÛn

f (x) = 3

p x 2

para k = xk 1 , k = xk.

4.- Sobre el intervalo [2; 7] dar particiones arbitrarias para n = 5; 7 ; 10 ; y 13 puntos,

para calcular las sumas de Riemann sobre cada particiÛn con la funciÛn

f (x) = (^5) x 4 9

con las etiquetas k = xk + xk^ 2 x k^1.

5.- Sobre el intervalo [2; 9] calcular las sumas de Riemann sobre la particiÛn de norma

uniforme para n = 4; 7 ; 11 ; y 15 de la funciÛn

f (x) = (^5) x 4 9

para k = xk 1 , k = xk.

6.- Sobre el intervalo [2; 7] dar particiones arbitrarias para n = 5; 7 ; 10 ; y 13 puntos,

para calcular las sumas de Riemann sobre cada particiÛn con la funciÛn

f (x) = ln

x^2 3

1.2. SUMA DE RIEMANN 5

con las etiquetas k = xk + xk^ 2 x k^1.

7.- Sobre el intervalo [2; 9] calcular las sumas de Riemann sobre la particiÛn de norma

uniforme para n = 4; 7 ; 11 ; y 15 de la funciÛn

f (x) = ln x^2 3

para k = xk 1 , k = xk.

8.- Sobre el intervalo [2; 9] calcular las sumas de Riemann sobre la particiÛn de la

progresiÛn geomÈtrica, para n = 4; 7 ; 11 ; y 15 de la funciÛn

f (x) = ln

x^2 3

para k = xk 1 , k = xk.

Ejemplo 1 de caracter algebraico

1.- SimpliÖcar la suma de Riemann para f (x) = ex^ con x 2 [a; b], puntos de la particiÛn

de norma uniforme y etiquetas el extremo inferior del subintervalo.

La suma de Riemann con particiÛn puntos en norma uniforme para n se toma h =

1.2. SUMA DE RIEMANN 7

R (ex; P ) =

X^ n k=

ek^
xk

X^ n k=

ea+(k1)hh

= h

X^ n k=

eae(k1)h

= eah

X^ n k=

eh
(k1)

= eah^1 ^

eh

n 1 eh = eah^1 ^ e

nh 1 eh = eah^1 ^ e

ba 1 eh = he

a (^) eaeba 1 eh = (^1) h eh

ea^ eb

= (^) eh h 1 eb^ ea
^.

Ejercicio de caracter algebraico

1.- SimpliÖcar la suma de Riemann para f (x) = ex^ con x 2 [a; b], puntos de la particiÛn

de norma uniforme y etiquetas el extremo superior del subintervalo. Escribirlo en forma deasrrollada y despuÈs con notaciÛn sigma.

Ejemplo 2 de caracter algebraico

1.- SimpliÖcar la suma de Riemann para f (x) = x^4 con x 2 [a; b], puntos de la

particiÛn de en progresiÛn geomÈtrica y etiquetas el extremo inferior del subintervalo.

SoluciÛn. Para n  3 se tiene q = n

q (^) b a por lo que los puntos^ xk^ =^ aqk^ para^ k^ =

8 CAPÕTULO 1. SUMAS DE RIEMMAN E INTEGRAL DEFINIDA

1 ; 2 ; : : : ; n, k = aqk^1 y
xk = aqk^ aqk^1. Por lo que

R

x^4 ; P

X^ n k=

^4 k
xk

=

X^ n k=

aqk 1
4 aqk (^) aqk 1

X^ n k=

a^4 q4(k1)aqk^1 (q 1)

= a^5 (q 1)

X^ n k=

q5(k1)

= a^5 (q 1)

X^ n k=

q^5

(k1)

= a^5 (q 1)^1 ^ (q

(^5) )n 1 q^5 = a^5 (q 1)^1 ^ (q

n)^5 1 q^5

= a^5 (q 1)

 (^) b a

1 q^5

= (q 1)

a^5 a^5 b

5 a^5 1 q^5 = 1 q q^15

a^5 b^5

= (^11) qq 5

b^5 a^5

= (^) (1 q) (1 + 1 q^ +^ qq (^2) + q (^3) + q (^4) )^ b^5 a^5

= (^) (1 + q + q (^21) + q (^3) + q (^4) )^ b^5 a^5

Ejercicio de caracter algebarico

1.- SimpliÖcar la suma de Riemann para f (x) = x^4 con x 2 [a; b], puntos de la

particiÛn de en progresiÛn geomÈtrica y etiquetas el extremo superior del subintervalo.

2.- SimpliÖcar la suma de Riemann para f (x) = x^3 con x 2 [a; b], puntos de la particiÛn

de en progresiÛn geomÈtrica y etiquetas el extremo inferior del subintervalo. DespuÈs con etiqueta el extremo superior.

10 CAPÕTULO 1. SUMAS DE RIEMMAN E INTEGRAL DEFINIDA

= (^) 2 sinh h 2

sin

h 2 + a

sin

a +

n (^12)

h

= (^) 2 sinh h 2

sin

h 2 + a

• sin

a + nh 12 h

= (^) 2 sinh h 2

sin

h 2 + a

• sin

a + b a 12 h

= (^) 2 sinh h 2

sin

h 2 + a

• sin

b 12 h

= (^) 2 sinh h 2

sin

b 12 h

• sin

a h 2

Ejercicio

1.- Para f (x) = sin x con x 2 [a; b] simpliÖcar la suma de Riemann con puntos de

particiÛn de la norma uniforme y etiquetas el extremo inferior, y luego con etiqueta el extremo superior.

Ejemplos

1.- Para la funciÛn f (x) = xex^ deÖnida en el intervalo cerrado [a; b] simpliÖcar la

suma de Riemann para la particiÛn uniforme con etiquetas el extremo inferior o bien con etiquetas el extremo superior. SoluciÛn. Se toma etiquetas el extremo inferior, X^ n k=

(a + (k 1) h) ea+(k1)hh =

X^ n k=

(a + (k 1) h) eae(k1)hh

= hea

Xn k=

(a + (k 1) h) e(k1)h

= hea

" (^) Xn

k=

ae(k1)h^ +

X^ n k=

(k 1) he(k1)h

= hea

a

X^ n k=

eh
k (^1) + hX^ n k=

(k 1) eh
k^1

= heaa

X^ n k=

eh
k (^1) + eah 2 X^ n k=

(k 1) eh
k^1

= heaa^1 ^

eh

n 1 eh^ +^ e

ah 2 h eh (^) + 2 eh
^2 + 3 eh
^3 +


+ (n 1) eh
n^1 i

1.2. SUMA DE RIEMANN 11

= heaa^1 ^

eh

n 1 eh^ +^ e

ah (^2) eh^ h 1 + 2eh (^) + 3 eh
^2 +


+ (n 1) eh
n^2 i

= heaa^1 ^

eh
n 1 eh^ +^ e

ah (^2) eh 1 ^ n^

eh
n (^1) + (n 1) eh
n (1 eh)^2

= heaa^1 ^

eh
n 1 eh^ +^ e

ah 2 eh^ ^ n^

eh
n (^) + (n 1) eh
n+ (1 eh)^2 = eaa^1 ^

eh
n 1 heh^ +^ e

a eh^ ^ n^

eh
n (^) + (n 1) eh
n (^) eh (^1 eh)^2 h^2

= eaa^1 ^ e

ba 1 heh^ +^ e

a eh^ ^ neba ^ + (n^ ^ 1)^ ebaeh 1 heh^ ^2

= eaa^1 ^ e

ba 1 heh^ +^ e

a eh^ ^ ebaeh^ +^ neba^

eh^ 1

 1 eh h

= eaa^1 ^ e

ba 1 heh^ +^ e

a e

h 1 eba
^ + eba( 1 eh^1 ) ^ n 1 heh^ ^2

= eaa^1 ^ e

ba 1 heh^ +^ e

a^ e

h 1 eba
^ + (b a) eba( beha^1 )  n 1 heh^ ^2

= ae

a (^) eb 1 heh^ +^ e

a e

h 1 eba
^ + (b a) eba^ eh h 1   1 eh h

2.- Para la funciÛn f (x) =^1 x deÖnida en el intervalo cerrado [a; b] para a > 0 simpliÖcar

la suma de Riemann para la particiÛn geomÈtrica con etiquetas el extremo inferior o bien con etiquetas el extremo superior. SoluciÛn. Se toma n

q (^) b a =^ q,^ xk^ =^ qk^ para^ k^ = 0;^1 ;^2 ; : : : n,^ k^ el extremo inferior, entonces para k  1 1 k^
xk^ =^

aqk^1 (xk^ ^ xk^1 ) =^

aqk^1

aqk^ aqk^1

= (^) qk^1 1 qk^ qk^1
^ = q 1

X^ n k=

(q 1) = n (q 1)

1.3. INTEGRAL DEFINIDA 13

1.3. Integral deÖnida

DeÖniciÛn. Para la funciÛn f : [a; b]! R con kP k la norma de la particiÛn P de [a; b] su integral deÖnida es

kP^ l{m k! 0 S

f;

 P

= (^) kPl{m k! 0

X^ n k=

f (k) (xk xk 1 ) =

Z (^) b a

f.

Para la particiones de norma uniforme y la puntos distribuidos en progresiÛn geomÈtrica Z (^) b a

f = (^) nl!1{m

X^ n k=

f (k) (xk xk 1 )

ya que kP k = b^ n^ a y kP k = aqn^ aqn^1 , respectivamente, y kP k! 0 si, y sÛlo si, n! 1.

1.3.1. C·lculo de integrales de funciones elementales

Ejemplos

1.- Calcular

R (^) b a exdx^ con la particiÛn de norma uniforme y^ k^ =^ xk^1.

S

ex;

 P

X^ n^1 k=

ea+khh =

X^ n^1 k=

eaekhh

= eah

X^ n^1 k=

ekh^ = eah

nX 1

k=

eh
k

= ea^1 ^

eh

n 1 eh^ h^ =^ e

ah^1 ^ enh 1 eh

Al tomar h tendiendo a 0

eal h{m! 01 ^ e

ba 1 eh^ h^ =^ e

al{m h! 0

1 eba
(^) h 1 eh = ea^

1 eba

l h{m! (^01) ^ h eh

= ea^

1 eba

(1) = eb^ ea^ =

Z (^) b a

exdx.

Por lo tanto (^) Z (^) b

a

exdx = eb^ ea.

2.- Calcular R^ ab sin (x) dx con la particiÛn de norma uniforme y k = xk 1.

14 CAPÕTULO 1. SUMAS DE RIEMMAN E INTEGRAL DEFINIDA

S

sin (x) ;

 P

X^ n^1 k=

sin (a + kh) h

= (^) 2 sin^1 h 2

cos a h 2
^ cos b h 2
^ h

=

h 2 sin

h 2

l h{m! 0 cos a h 2
^ cos b h 2


Al tomar h tendiendo a 0

l h{m! 0

h 2 sin

h 2

l h{m! 0 cos a h 2
^ cos b h 2
^ = cos (a) cos (b)

=

Z (^) b a

sin (x) dx.

Por lo tanto (^) Z (^) b

a

sin (x) dx = cos (b) + cos (a).

3.- Calcular

R (^) b a cos (x)^ dx^ con la particiÛn de norma uniforme y^ k^ =^ xk^1.

S

cos (x) ;

 P

X^ n k=

cos (a + kh) h

= (^) 2 sin^1 h 2

 sin a + h 2
^ + sin b + h 2
^ h

=

h 2 sin

h 2

l h{m! 0  sin a + h 2
^ + sin b + h 2


Al tomar h! 0

l h{m! 0

h 2 sin

h 2

l h{m! 0  sin a + h 2
^ + sin b + h 2
^ = sin (a) + sin (b)

=

Z (^) b a

cos (x) dx. Z (^) b a

cos (x) dx = sin (b) sin (a).

Ejercicios

1.- Calcular

R (^) b a x^3 dx^ con la particiÛn de puntos en progresiÛn geomÈtrica y^ k^ =^ xk^1.