Cálculo Integral Notas, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

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C´alculo integral de varias variables

Javier P´aez C´ardenas

• 1 Integral de Riemann Introducci´on i
  • 1.1 Los primeros pasos
  • 1.2 Construcci´on de la integral de Riemann
  • 1.3 Propiedades de la integral de Riemann
  • 1.4 Medida de Jordan
  • 1.5 La integral sobre conjuntos Jordan-medibles
  • 1.6 Problemas
• 2 Calculando integrales
  • 2.1 Integrales iteradas
  • 2.2 Calculando integrales sobre otros conjuntos
  • 2.3 El Teorema de Cambio de Variable
  • 2.4 Algunos cambios de variable
  • 2.5 Masa y centro de masa
  • 2.6 Problemas
• 3 Integrando sobre curvas
  • 3.1 Curvas y trayectorias
  • 3.2 Integrando funciones escalares
  • 3.3 Integrando funciones vectoriales
  • 3.4 Campos conservativos (primera parte)
  • 3.5 Rotacional y divergencia en el plano
  • 3.6 El rotacional en el espacio
  • 3.7 Campos conservativos (segunda parte)
  • 3.8 Problemas
• 4 Integrando sobre superficies
  • 4.1 Superficies
  • 4.2 Integrando funciones escalares
  • 4.3 Integrando funciones vectoriales
  • 4.4 El teorema de Stokes
  • 4.5 Campos solenoides (primera parte)
  • 4.6 Divergencia y teorema de Gauss
  • 4.7 Campos solenoides (segunda parte)
  • 4.8 Problemas
• 5 Formas: el concepto que unifica
  • 5.1 Formas b´asicas
  • 5.2 Formas diferenciables
  • 5.3 Diferenciales exactas (primera parte)
  • 5.4 p−variedades parametrizadas
  • 5.5 Integrando formas
  • 5.6 El Gran Teorema Fundamental del C´alculo
  • 5.7 Diferenciales exactas (segunda parte)
• A El Teorema de Lebesgue

Introducci´on

Este texto trata sobre algunos de los distintos conceptos de integraci´on que existen para funciones de varias variables, tema que constituye el n´ucleo central del curso de C´alculo Diferencial e Integral IV que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico. Dado que el curso de C´alculo Diferencial e Integral IV es un curso de matem´aticas que forma parte del tronco com´un de materias de cuatro de las cinco licenciaturas que se ofrecen en la Fac- ultad, el objetivo principal de este texto es el de exponer los conceptos y resultados matem´aticos relacionados con el tema de la integral de funciones de varias variables. En general, casi todos los conceptos que aqu´ı se exponen se tratan de motivar a partir de problemas espec´ıficos, la mayor´ıa de ellos tomados de la f´ısica o de la geometr´ıa. De esta forma, las definiciones de rotacional o de divergencia, se obtienen como resultado del intento de medir “la rotaci´on producida” por un campo de fuerzas o “la expansi´on (o contracci´on)” de un flu´ıdo. Una vez hecho lo anterior, se camina hacia la obtenci´on de los resultados que reflejen las estructuras matem´aticas subyacentes a estos conceptos. Es importante mencionar que, aun cuando el objetivo es mantener un nivel de rigor y formalismo matem´atico adecuado a lo largo de todo el texto, hay conceptos y resultados que se discuten en t´erminos puramente “intuitivos” en virtud del espacio y tiempo que habr´ıa que dedicarles a su formalizaci´on. En este sentido, su definici´on rigurosa y la prueba de algunos teoremas no se incluyen en este texto y s´olo se mencionan con la intenci´on de que el estudiante los conozca y tenga una visi´on m´as global del tema en cuesti´on. Este texto est´a dirigido a aquellos estudiantes que ya han pasado por los primeros tres cursos de C´alculo de la Facultad, lo que significa que se parte del supuesto de que conocen y manejan el C´alculo diferencial e integral de funciones de una variable y el C´alculo diferencial de funciones de varias variables, adem´as de los cursos b´asicos de Geometr´ıa Anal´ıtica, Algebra Superior y un primer curso de Algebra Lineal. El texto est´a organizado en cinco cap´ıtulos y a continuaci´on se da una somera y r´apida des- cripci´on del contenido de cada uno de ellos. En el primero se aborda el tema de la integral de Riemann para funciones de varias variables y valores reales. Se hace la construcci´on formal de este concepto y despu´es se usa para introducir el de medida de Jordan de subconjuntos de Rn. Una vez hecho lo anterior, se extiende el concepto de integral de Riemann justo a los conjuntos Jordan-medibles. El segundo cap´ıtulo se dedica al desarrollo de las herramientas que permiten el c´alculo de integrales. Los resultados m´as importantes de este cap´ıtulo son el teorema de Fubini y el teorema de Cambio de Variable, y es justo en el caso de este ´ultimo teorema, la primera vez que no se incluye la prueba de un resultado. A cambio de ella, se hace un an´alisis detallado de c´omo se aplica este teorema y su relaci´on con los diferentes sistemas coordenados que suelen usarse con m´as frecuencia, tanto en R^2 (polares) como en R^3 (cil´ındricas y esf´ericas). El cap´ıtulo concluye con una secci´on en la que se muestra c´omo usar toda esta herramienta para obtener la masa de un objeto, y c´omo definir y calcular su centro de masa.

i

Introducci´on

Despu´es de mostrar que los teoremas de Green, Stokes y Gauss son casos particulares de este gran teorema, en la ´ultima secci´on se formulan un par de resultados que dan respuesta al problema de las diferenciales exactas. Es importante mencionar que en este cap´ıtulo no se incluy´o una lista de problemas, en virtud de que su objetivo s´olo es el de proporcionar un panorama general de la estructura matem´atica que subyace a todos estos temas.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido escrito despu´es de haber impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en varias ocasiones y a lo largo de varios a˜nos, el curso de C´alculo Diferencial e Integral IV. Por esta raz´on, las primeras personas a las que quiero agradecer su “colaboraci´on”, son todos aquellos estudiantes que me permitieron hablarles de estos temas y aprehenderlos junto con ellos. Para los que no tenemos mucha habilidad para escribir, nos resultan muy importantes aquellos que conf´ıan en que s´ı podemos hacerlo y nos impulsan (o nos “obligan”) a intentarlo. Para este libro, a quienes tengo que agradecer que hayan jugado ese importante papel son: Ana Irene (Ram´ırez) y H´ector (M´endez Lango). Una vez que se ha logrado escribir los primeros borradores de un libro como este, el que algunas personas se tomen el (a veces ingrato) trabajo de leerlos, es algo que uno realmente aprecia mucho. En este aspecto, todav´ıa tengo una deuda de agradecimiento con el profesor “Marmol” (Quico Marmolejo), quien ley´o y cuestion´o constructivamente una buena parte del material contenido en esta obra. No conforme con lo anterior, adem´as tuvo la generosidad de darse a la tarea de realizar un buen n´umero de las figuras que ilustran este texto (y que seguramente el lector podr´a identificar f´acilmente porque son las que est´an mejor hechas). Adem´as del profesor “Marmol”, tambi´en tuve la suerte de que Ceci (Neve) y Erik (Schwarz), un par de ex-alumnos, se dieran a la tarea de leer minuciosamente la totalidad (o parte) de este trabajo, haci´endome una buena cantidad de importantes sugerencias, y marc´andome un buen n´umero de errores tipogr´aficos. Para ellos, mi m´as sincero agradecimiento. Muchas otras personas me han hecho observaciones o me han ayudado con la siempre dif´ıcil tarea de darle un buen “formato” a este libro (¡ingrato latex!); ser´ıa muy largo mencionarlas a todas, pero no por ello quiero dejar de expresarles mi agradecimiento por su valiosa ayuda.

iii J. P´aez

Cap´ıtulo 1

Integral de Riemann

1.1 Los primeros pasos

Del mismo modo que para el caso real, el concepto de integral de Riemann^1 de funciones de varias variables (y valores reales), encuentra su motivaci´on en problemas de diversa ´ındole. Por ejemplo, sup´ongase que se tiene una l´amina de metal cuyo grosor no es homog´eneo. Supongamos que tenemos la suerte de contar con una funci´on ρ que nos dice cu´al es la “densidad” de la l´amina en cada uno de sus puntos (es decir, una funci´on que en “cada punto P de la l´amina” nos asocia un n´umero real ρ(P ) que nos indica la “cantidad de masa (por unidad de ´area) contenida alrededor de dicho punto”). La pregunta ser´ıa entonces: ¿c´omo, a partir de esta funci´on ρ, podr´ıamos saber la masa total de la l´amina? Supongamos por ahora que la l´amina tiene la forma de un rect´angulo R (v´ease la figura 1.1).

Ri p • i





















Figura 1.1: L´amina rectangular

Si a este rect´angulo R lo subdividimos en rect´angulos m´as peque˜nos, R 1 ,... , Rk y en cada uno de estos subrect´angulos escogemos cualesquiera puntos p 1 ,... , pk, entonces el producto ρ(pi)· ´area(Ri) nos dar´ıa un valor aproximado de la cantidad de masa contenida en el pedazo de l´amina representado por el subrect´angulo Ri (obs´ervese que en t´erminos de unidades, todo est´a bien, ya que la densidad se mide en unidades de masa por (o sobre) unidades de ´area, que al multiplicarlas por el ´area de Ri, obtenemos unidades de masa). As´ı, una aproximaci´on a la masa total de la l´amina (representada por el rect´angulo R) estar´ıa dada por

∑^ k

i=

ρ(pi) · ´area(Ri) (1.1)

(^1) Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matem´atico alem´an que realiz´o contribuciones muy importantes en an´alisis y geometr´ıa diferencial.

1

1.2. Construcci´on de la integral de Riemann Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann

1.2 Construcci´on de la integral de Riemann

A fin de “construir” una respuesta al problema planteado, precisaremos algunos de los t´erminos que hemos venido utilizando.

Definici´on 1.1 R es un rect´angulo en Rn^ si es un conjunto de la forma

R = [a 1 , b 1 ] × · · · × [an, bn]

en donde cada [ai, bi] es un intervalo cerrado de n´umeros reales. Al n´umero

d(R) =

(b 1 − a 1 )^2 + · · · + (bn − an)^2

lo llamaremos la diagonal de R, y al n´umero

m(R) = (b 1 − a 1 ) ·... · (bn − an)

se le llamar´a la medida de R.

N´otese que m(R) ≥ 0 y que en el caso de R^2 esta medida es el ´area de R, mientras que en R^3 coincide con ser el volumen de R. Diremos que un rect´angulo es no degenerado si m(R) > 0. Todos los rect´angulos que conside- remos de aqu´ı en adelante ser´an de este tipo, a menos que se indique lo contrario.

 



  



 

 



 

 



 





 

Figura 1.3: No-particiones

Existen muchas formas de subdividir a un rect´angulo R, como las que se muestran en la figura 1.3. Sin embargo, para la construcci´on que vamos a hacer, ser´a suficiente con que consideremos a aquellas que se obtienen de hacer subdivisiones en cada uno de los intervalos [ai, bi], como se muestra en la figura 1.4.

Definici´on 1.2 Sea R = [a 1 , b 1 ] × · · · × [an, bn]. Si Pi es una partici´on del intervalo [ai, bi] (recu´erdese que Pi es entonces un subconjunto finito del intervalo [ai, bi] que incluye a los extremos ai, bi) para cada i = 1,... , n, decimos que

P = P 1 × · · · × Pn

es una partici´on de R. Obs´ervese que P es un subconjunto finito de R, que consta de los v´ertices de cada uno de los subrect´angulos de R inducidos por P. A la partici´on Pi le llamaremos la i-´esima partici´on coordenada de P. Denotaremos por PR al conjunto de todas las particiones del rect´angulo R.

3 J. P´aez

Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann 1.2. Construcci´on de la integral de Riemann

X

Y

a^ | 1 b^ | 1

a 2 −

b 2 −

| | | | | | |

− −

− − −

 

X

Z

Y

a 1

a 2

a 3

b 3

b 2

b 1

− − − −

















 

  

 







  

 

 















 

















































 





















^        

             ^ 

Figura 1.4: Particiones buenas

Hablando de particiones, que son a final de cuentas las que nos permitir´an hablar de las diferentes subdivisiones que podemos hacer de un rect´angulo R, cabe preguntarse: ¿qu´e relaci´on tendr´a que haber entre dos diferentes particiones de R de tal forma que podamos asegurar que la subdivisi´on inducida por una de ellas es “m´as fina” que la subdivisi´on inducida por la otra? Esta idea queda expresada en la siguiente definici´on

Definici´on 1.3 Sean P y Q dos particiones de R, con P = P 1 × · · · × Pn y Q = Q 1 × · · · × Qn. Decimos que Q refina a P si Pi ⊂ Qi para cada i = 1,... , n.

N´otese que, de acuerdo a esta definici´on, si Q refina a P entonces P ⊂ Q y que lo rec´ıproco tambi´en es cierto (afirmaci´on que se deja probar al lector como un problema). La figura 1.5 muestra (para el caso de R^2 ) que, en efecto, la subdivisi´on inducida por una partici´on Q que refina a otra partici´on P, es “m´as fina” que la subdivisi´on inducida por P. Dada una partici´on P = P 1 × · · · × Pn, la partici´on Q = (P 1 ∪ {c}) × P 2 × · · · × Pn, donde c ∈ [a 1 , b 1 ]\P 1 , es una de las particiones m´as sencillas que refinan a P. En particular, es importante hacer notar que los subrect´angulos inducidos por cada una de ellas son casi los mismos, salvo por algunos subrect´angulos de P, que se pueden poner como la uni´on de dos de los subrect´angulos inducidos por esta Q (probar esta afirmaci´on es m´as un problema de notaci´on que de otra ´ındole) (ver figura 1.6).

J. P´aez 4

Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann 1.2. Construcci´on de la integral de Riemann

En general, dadas dos particiones P y Q de un rect´angulo R, no necesariamente existe una relaci´on de refinamiento entre ellas. Sin embargo, es posible construir una tercera partici´on que refine a ambas; la denotaremos por P  Q y si P = P 1 × · · · × Pn y Q = Q 1 × · · · × Qn entonces

P  Q = (P 1 ∪ Q 1 ) × · · · × (Pn ∪ Qn)

(N´otese el s´ımbolo especial de uni´on que usamos, en virtud de que P  Q no coincide con P ∪ Q) (ver figura 1.7).

P

X

Y

a^ | 1 b| 1

a 2 −

b 2 −

| |

− −

• • • •
• • • •
• • • •
• • • •

 

Q

X

Y

a^ | 1 b^ | 1

a 2 −

b 2 −

|

−

−

• • •
• • •
• • •
• • •

 

P

Q

X

Y

a^ | 1 b^ | 1

a 2 −

b 2 −

| | |

− − −

• • • • •
• • • • •
  • • • •
• • • • •
• • • • •

 

^ P^

Q

X

Y

a^ | 1 b^ | 1

a 2 −

b 2 −

| | |

− − −

• • • • •
• • •
  • • • •
• • • •
• • • • •

 

Figura 1.7: P  Q no coincide con P ∪ Q

Una vez que hemos precisado estos conceptos, el siguiente paso consistir´a en construir sumas como las que aparecen en 1.1. Para ello, supondremos que tenemos una cierta funci´on f , que est´a definida en R, y que toma valores reales. Es importante destacar que para construir sumas como las de 1.1 (que a partir de este momento empezaremos a llamar por su nombre: sumas de Riemann), adem´as de contar con una partici´on P de R (que induce una subdivisi´on de R), tambi´en tenemos que hacer una elecci´on de un punto en cada uno de los subrect´angulos inducidos por dicha partici´on. As´ı pues, por cada partici´on P, podemos obtener una infinidad de sumas de Riemann (tantas como formas diferentes haya de elegir dichos puntos). Veremos que no se necesita hacer tanto. En realidad, por cada partici´on P de R s´olo vamos a construir un par de sumas. Si, (como dijimos anteriormente y para el caso de R^2 ), nuestro problema se puede ver como el c´alculo de un volumen (el que est´a por “debajo” de la gr´afica de f ), para alcanzar dicho volumen bastar´ıa entonces con tomar sumas de Riemann, s´olo que en lugar de evaluar a la funci´on f en alg´un punto del subrect´angulo Ri, ser´ıa suficiente con tomar el m´ınimo valor de f sobre dicho subrect´angulo. Como podr´a suponerse, el otro tipo se sumas que vamos a tomar en cuenta ser´an aquellas en las que, en lugar de tomar el valor m´ınimo, tomaremos el valor m´aximo de f sobre el subrect´angulo Ri. La “intuici´on dice” que con cualquiera de estas sumas deber´ıa de ser suficiente para aproximarnos al “volumen por debajo de la gr´afica de f ”, con la peculiaridad de que con las primeras nos aproximamos “por abajo” de dicho volumen, y con las segundas los hacemos “por arriba” del mismo volumen (ver figuras 1.8 y 1.9). Una vez que hemos llegado hasta este punto, s´olo resta aclarar un “detalle”. En general, para que podamos asegurar que una funci´on alcanza su valor m´ınimo y su valor m´aximo sobre un conjunto, sabemos que es “suficiente” con que dicha funci´on sea continua sobre el conjunto y que

J. P´aez 6

1.2. Construcci´on de la integral de Riemann Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann

Z

X

Y

^   

    

^   



 



^   

  







  

^        

^      ^  

^ 

















     



 

Figura 1.8: Suma inferior

Z

X

Y

    ^   

 

  ^   

   ^     

 

^     

^      



 











     



 

Figura 1.9: Suma superior

´este sea cerrado y acotado. Como esta construcci´on no la queremos “restringir” s´olo a este tipo de funciones, y a este tipo de conjuntos (aunque un rect´angulo s´ı es un conjunto cerrado y acotado), en lugar del tomar el valor m´ınimo y el valor m´aximo de f sobre cada subrect´angulo Ri, tomaremos el ´ınfimo y el supremo de los valores de f sobre este subrect´angulo. Tomar este camino s´olo nos obliga a suponer que la funci´on f est´a acotada sobre el rect´angulo R, que comparada con la hip´otesis de continuidad, esta nueva condici´on nos sale m´as barata. As´ı pues, de aqu´ı en adelante supondremos que nuestra funci´on f , adem´as de estar definida sobre R, tambi´en est´a acotada (sobre R). Aclarado el punto, procedemos a dar las siguientes definiciones:

Definici´on 1.4 Sean, f una funci´on (de valores reales) definida y acotada sobre un rect´angulo R contenido en Rn, y P una partici´on de R. Si R 1 ,... , Rk son los subrect´angulos de R inducidos por la partici´on P, definimos la suma inferior de f correspondiente a la partici´on P, que denotaremos

7 J. P´aez

1.2. Construcci´on de la integral de Riemann Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann

Proposici´on 1.2 Sean P, Q ∈ PR. Si Q refina a P entonces S(f, P) ≤ S(f, Q) y S(f, Q) ≤ S(f, P).

Dem. Sean R 1 ,... , Rk los subrect´angulos de R inducidos por P, y sean Ri 1 ,... , Riki los sub- rect´angulos inducidos por Q que unidos nos dan Ri para alguna i ∈ { 1 ,.. ., k}. Dado que cada Rij est´a contenido en Ri, tenemos que {f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } ⊂ {f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} y por lo tanto inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} ≤ inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } y sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } ≤ sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} para cada j = 1,... , ki, de modo que multiplicando estas desigualdades por m(Rij), que es un n´umero no negativo, se tiene que

inf{f (ˆx) | ˆx ∈ Ri} · m(Rij) ≤ inf{f (ˆx) | ˆx ∈ Rij } · m(Rij )

y sup{f (ˆx) | ˆx ∈ Rij } · m(Rij) ≤ sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} · m(Rij)

Si ahora sumamos ambas desigualdades, corriendo el ´ındice j de 1 a ki, tenemos que

∑^ ki

j=

inf{f (ˆx) | ˆx ∈ Ri} · m(Rij) ≤

∑^ ki

j=

inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } · m(Rij)

y ∑ki

j=

sup{f (ˆx) | ˆx ∈ Rij } · m(Rij) ≤

∑^ ki

j=

sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} · m(Rij)

Ahora, como el subrect´angulo Ri es la uni´on de los subrect´angulos Ri 1 ,... , Riki , se tiene que m(Ri) = ∑^ ki

j=

m(Rij) y por lo tanto

inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} · m(Ri) ≤

∑^ ki

j=

inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij} · m(Rij)

y ∑ki

j=

sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } · m(Rij ) ≤ sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} · m(Ri)

Si en estas desigualdades sumamos con respecto del ´ındice i, corriendo de 1 a k, tenemos que

∑^ k

i=

inf{f (ˆx) | ˆx ∈ Ri} · m(Ri) ≤

∑^ k

i=

∑^ ki

j=

inf{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } · m(Rij )

y ∑^ k

i=

∑^ ki

j=

sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Rij } · m(Rij )

∑^ k

i=

sup{f (ˆx) | xˆ ∈ Ri} · m(Ri)

Recordando la definici´on de suma inferior y suma superior, tenemos entonces que

S(f, P) ≤ S(f, Q)

y S(f, Q) ≤ S(f, P)

9 J. P´aez

Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann 1.2. Construcci´on de la integral de Riemann

que es lo que quer´ıamos demostrar.

Obs´ervese que de las dos proposiciones anteriores podemos concluir, bajo el supuesto de que la partici´on Q refina a la partici´on P, que

S(f, P) ≤ S(f, Q)

y S(f, Q) ≤ S(f, P) De hecho, si recurrimos nuevamente a la interpretaci´on geom´etrica, estas desigualdades no nos deben de causar sorpresa puesto que cualquier suma inferior debe de “estar por debajo” del volumen que queremos calcular, y de manera an´aloga, cualquier suma superior debe de “estar por arriba”. Por lo anterior, debiera ser cierto que, dadas cualesquiera dos particiones P y Q de R, se debe tener que S(f, P) ≤ S(f, Q). Esta propiedad, que ser´a muy importante para la construcci´on que estamos realizando, la dejaremos establecida en la siguiente

Proposici´on 1.3 Si P y Q son cualesquiera dos particiones del rect´angulo R entonces se cumple que S(f, P) ≤ S(f, Q)

Dem. Consideremos la partici´on P  Q. Como dijimos anteriormente, esta partici´on refina tanto a P como a Q de tal forma que, por la proposici´on 1.2 debemos tener que

S(f, P) ≤ S(f, P  Q)

y S(f, P  Q) ≤ S(f, Q)

Como S(f, P  Q) ≤ S(f, P  Q) (proposici´on 1.1), se tiene que S(f, P) ≤ S(f, Q).

La conclusi´on de la proposici´on anterior resultar´a fundamental para la obtenci´on (cuando menos “te´orica”) de ese n´umero I al cual se deben de parecer las sumas de Riemann de una cierta funci´on f. N´otese que esta proposici´on nos dice dos cosas relevantes:

1. el conjunto de todas las sumas inferiores que se obtiene para una funci´on f definida sobre un rect´angulo R, es un conjunto acotado superiormente y adem´as cualquier suma superior es una cota superior de dicho conjunto, y
2. el conjunto de todas las sumas superiores que se obtiene para una funci´on f definida sobre un rect´angulo R, es un conjunto acotado inferiormente y adem´as cualquier suma inferior es una cota inferior de dicho conjunto.

As´ı pues, cuando menos desde un punto de vista te´orico, podr´ıamos esperar que existiera algo as´ı como “la suma inferior m´as grande” o “la suma superior m´as peque˜na”, y si todo funciona bien, cualquiera de estos dos n´umeros debiera de coincidir con el tan famoso y anhelado “volumen que hay por debajo de la gr´afica de f ”. A continuaci´on daremos una definici´on m´as precisa de estos n´umeros. Denotaremos por S(f ) al conjunto de todas las sumas inferiores de una funci´on f (definida sobre el rect´angulo R) y como S(f ) al conjunto de todas las sumas superiores, es decir:

S(f ) = {S(f, P) | P ∈PR}

J. P´aez 10

Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann 1.3. Propiedades de la integral de Riemann

Esta ´ultima desigualdad se obtiene muy f´acilmente a partir de la proposici´on 1.3; baste recordar que de esa proposici´on se deduce que cualquier suma superior es una cota superior del conjunto de todas las sumas inferiores por lo que

−R f^ (que es el supremo de todas las sumas inferiores y por lo tanto la m´as peque˜na de todas las cotas superiores de este mismo conjunto) debe cumplir que

−R f^ ≤^ S(f,^ P) para cualquier partici´on^ P^ de^ R.^ De aqu´ı, se tiene que^

−R f^ es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores, por lo que dicho n´umero debe ser menor o igual que el ´ınfimo del conjunto de todas las sumas superiores, que es

∫^ R^ f^.^ Por tanto, se tiene que −R f^ ≤^

R f^ (este mismo trabalenguas se puede decir de otra forma si ahora empezamos diciendo que cualquier suma inferior es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores, lo que tambi´en se sabe por la misma proposici´on. ¡Int´entelo!) As´ı, de entre las funciones que est´an definidas y son acotadas sobre un rect´angulo R, fijaremos nuestra atenci´on en aqu´ellas para las cuales se tiene que

R f^ =^

−R f^. Este tipo de funciones ser´an conocidas como funciones Riemann-integrables (o simplemente integrables) sobre R, como quedar´a establecido en la siguiente

Definici´on 1.6 Sea f : R ⊂ Rn^ → R acotada sobre el rect´angulo R. Decimos que f es Riemann- integrable (o simplemente integrable) sobre R si se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre R son iguales. Es decir, si ∫−

R

f =

−R

f.

En este caso, a este n´umero lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por

R f^.

1.3 Propiedades de la integral de Riemann

Existen muchas propiedades del concepto que acabamos de definir, pero hay una en particular que sin duda tiene que ser la primera en aparecer. Se trata de una proposici´on que nos da un criterio alternativo para saber cuando una funci´on es integrable. Este criterio tiene la ventaja (o desventaja, seg´un se vea) de establecer cu´ando una funci´on es integrable sin necesidad de saber cu´al es el valor de la integral, algo as´ı como el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones. Si una funci´on es integrable, significa que la integral inferior y la integral superior de dicha funci´on son iguales, digamos a un cierto n´umero I. De las propiedades del ´ınfimo y el supremo sabemos entonces que, para cualquier cantidad positiva que demos (por peque˜na que esta sea), existen particiones P y Q para las cuales las correspondientes suma inferior (S(f, Q)) y suma superior (S(f, P)) distan de este n´umero I en menos que la mitad de la cantidad positiva que dimos, y por lo tanto la distancia entre estos n´umeros ser´a menor a la distancia original (ver figura 1.11).

(^0)  I^ −^
ε/^2 • I  I•^ +^ ε/^2 ^    S(f, Q)

   

 

S(f, P)

Figura 1.11: Si una funci´on f es integrable y su integral es igual a un n´umero I, dada una cantidad positiva ε > 0 , existen particiones Q y P tales que S(f, Q) y S(f, P) difieren de I en menos que ε/ 2

J. P´aez 12

1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann

As´ı, podemos asegurar que, para cualquier cantidad positiva que demos (digamos ε > 0), se pueden encontrar particiones P y Q tales que S(f, P) − S(f, Q) < ε. De hecho, vamos a mostrar que se puede conseguir una sola partici´on para la cual vale la misma desigualdad. Lo mejor de todo esto es que esta propiedad no s´olo es necesaria (como acabamos de platicarlo) sino que tambi´en es una propiedad suficiente (que es la parte m´as interesante y m´as comunmente usada); es decir, si para cada cantidad positiva que demos, existe una partici´on P para la cual se tiene que S(f, P) − S(f, P) < ε entonces podremos estar seguros de que la funci´on f es integrable. Esta importante propiedad la estableceremos en el siguiente

Teorema 1.1 Sea f : R ⊂ Rn^ → R acotada sobre el rect´angulo R. f es integrable sobre R si y s´olo si para cada ε > 0 existe P partici´on de R tal que

S(f, P) − S(f, P) < ε

Dem. Probemos la necesidad. Sea ε > 0. Como f es integrable, sabemos que

R f^ =^

−R f^. Llamemos I a este n´umero. Como I =

−R f^ = sup{S(f,^ P)^ | P ∈PR}, de las propiedades del supremo sabemos que para ε/ 2 > 0, existe P′^ partici´on de R tal que

I − ε/ 2 < S(f, P′) ≤ I

Por otra parte, como I =

R f^ = inf{S(f,^ P)^ | P ∈PR}, de las propiedades del ´ınfimo sabemos que para ε/ 2 > 0, existe Q partici´on de R tal que

I ≤ S(f, Q) < I + ε/ 2

Si ahora hacemos P = P′^  Q, sabemos que P refina tanto a P′^ como a Q de tal forma que, por la proposici´on 1.2 tenemos que

S(f, P′) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, Q)

y por lo tanto, de las desigualdades anteriores obtenemos que

I − ε/ 2 < S(f, P) ≤ S(f, P) < I + ε/ 2

De estas ´ultimas desigualdades concluimos que

S(f, P) − S(f, P) < ε

que es lo que se quer´ıa demostrar. Para la prueba de la suficiencia, tenemos que demostrar que la funci´on f es integrable, lo que significa que tenemos que probar que

R f^ =^

−R f^ para lo cual basta con demostrar que^

∫^ R^ f^ − −R f^ = 0. Como sabemos que 0^ ≤^

R f^ −^

−R f^ , es suficiente con demostrar que este n´umero se puede hacer m´as peque˜no que cualquier cantidad positiva (digamos ε > 0). Siendo as´ı la cosa, sea ε > 0. De acuerdo a nuestra hip´otesis, existe P partici´on de R tal que

S(f, P) − S(f, P) < ε

Por otra parte, como

−R f^ = sup{S(f,^ P)^ | P ∈PR}^ y^

R f^ = inf{S(f,^ P)^ | P ∈PR}, sabemos que

S(f, P) ≤

−R

f ≤

∫^ −

R

f ≤ S(f, P)

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